高考数学一轮复习第八章 8.5 第1课时

这是一份高考数学一轮复习第八章 8.5 第1课时，共19页。试卷主要包含了椭圆的概念，椭圆的标准方程和几何性质等内容，欢迎下载使用。
§8.5　椭　圆


1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c0，c>0，且a，c为常数．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图形


性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点
坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c
的关系
a2＝b2＋c2

概念方法微思考
1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　√　)
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　√　)
题组二　教材改编
2．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　)
A．4 B．8
C．4或8 D．12
答案　C
解析　当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.
∴m＝4或8.
3．过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　由题意知c2＝5，可设椭圆方程为＋＝1(λ>0)，则＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
4．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．
答案　或
解析　设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．
由题意可得点P到x轴的距离为1，
所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，
得x＝±，又x>0，所以x＝，
所以P点坐标为或.
题组三　易错自纠
5．若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是(　　)
A．(－3,5) B．(－5,3)
C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)
答案　C
解析　由方程表示椭圆知
解得－3|C1C2|＝6，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.
2.如图，△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．

答案　4
解析　∵a2＝3，∴a＝.
△ABC的周长为|AC|＋|AB|＋|BC|＝|AC|＋|CF2|＋|AB|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a＝4.
3．设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
答案　
解析　由题意知，c＝.又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
∴|F1P|·|PF2|＝，
∴＝|F1P|·|PF2|sin 60°＝××＝.

4．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
答案　6＋　6－
解析　椭圆方程化为＋＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，
∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，
∴|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
思维升华　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
椭圆的标准方程
命题点1　定义法
例1　(1)(2020·湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8，则椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　如图，由椭圆的定义可知，△F1AB的周长为4a，

∴4a＝8，a＝2，又离心率为，
∴c＝1，
b2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.

(2)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，

令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.
由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，
故|F2A|＝a＝|F1A|，
则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．
令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.
在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，
因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.
又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，
椭圆C的方程为＋＝1，故选B.
命题点2　待定系数法
例2　(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为__________．
答案　＋＝1
解析　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．
由
解得m＝，n＝.
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
答案　＋＝1
解析　方法一　(待定系数法)：设所求椭圆方程为＋＝1(k|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(2)椭圆的标准方程的两个应用
①方程＋＝1与＋＝λ(λ>0)有相同的离心率．
②与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
跟踪训练1　(1)(2019·福建泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　C
解析　设|MF1|＝m，|MF2|＝n，∵MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2，∴m2＋n2＝20，mn＝8，
∴(m＋n)2＝36，∴m＋n＝2a＝6，∴a＝3.∵c＝，∴b＝＝2.∴椭圆的方程是＋＝1.
(2)与椭圆＋＝1有相同离心率且经过点(2，－)的椭圆标准方程为________．
答案　＋＝1或＋＝1
解析　方法一　∵e＝＝＝＝＝，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝1(m>n>0)，则1－2＝.从而2＝，＝.
又＋＝1，∴m2＝8，n2＝6.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的方程为＋＝1(m>n>0)，
则＋＝1，且＝，解得m2＝，n2＝.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为
＋＝t(t>0)，将点(2，－)代入，得
t＝＋＝2.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设方程为＋＝λ(λ>0)代入点(2，－)，得λ＝，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
椭圆的几何性质
命题点1　离心率
例3　(1)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如图，作PB⊥x轴于点B.

由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得|PB|＝，|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝＝＝，
解得a＝4，所以e＝＝.
(2)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，

因为|OB|＝a，所以|OA|＝a，
所以点A的坐标为，
又点A在椭圆上，所以＋＝1，所以a2＝3b2，
所以a2＝3(a2－c2)，所以3c2＝2a2，
所以椭圆的离心率e＝＝.
(3)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
答案　
解析　若存在点P，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，
则∠F1BF2≥90°(B为短轴端点)，
即b≤c0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　由题意知2a＝6,2c＝×6，所以a＝3，c＝1，则b＝＝2，所以此椭圆的标准方程为＋＝1.
4．(2020·湖北八市重点高中联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过点F作圆x2＋y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如图，由题意可得，b＝c，则2b2＝c2，

即2(a2－c2)＝c2，则2a2＝3c2，
∴＝，即e＝＝.
5．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为(　　)
A.－1 B．2－ C. D.
答案　A
解析　∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，
∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，
∴|MF1|＝c，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，∴椭圆的离心率e＝＝－1.
6．(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设P，F1(－c,0)，F2(c,0)，由线段PF1的中垂线过点F2得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，得m2＝4c2－2＝－＋2a2＋3c2≥0，即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，又00)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
解　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，
由＝2，得
解得x＝，y＝－.代入＋＝1，得＋＝1.
即＋＝1，解得a2＝3.
所以椭圆方程为＋＝1.

13．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
答案　A
解析　∵椭圆的方程为＋＝1.

∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，
∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0,1)，如图所示，
根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，
∴|PB|＝4－|PC|，
∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5.
14．(2019·浙江)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
答案　
解析　如图，左焦点F(－2,0)，右焦点F′(2,0)．

线段PF的中点M在以O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，
因此|OM|＝2.
在△FF′P中，OM綊PF′，
所以|PF′|＝4.
根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝6，
所以|PF|＝2.
又因为|FF′|＝4，
所以在Rt△MFF′中，
tan∠PFF′＝＝＝，
即直线PF的斜率是.

15．(2019·衡水模拟)阿基米德(公元前287年－公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　由题意可得解得a＝4，b＝3，
因为椭圆的焦点坐标在y轴上，
所以椭圆方程为＋＝1.
16．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，求该椭圆的离心率的取值范围．
解　由＝得＝.
又由正弦定理得＝，
所以＝，即|PF1|＝|PF2|.
又由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝，|PF1|＝，
因为PF2是△PF1F2的一边，
所以有2c－0(0