高考数学一轮复习第一章 1.3

这是一份高考数学一轮复习第一章 1.3，共12页。试卷主要包含了简单的逻辑联结词等内容，欢迎下载使用。

1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
概念方法微思考
含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？
提示 p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p与綈p：真假相反．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“3≥2”是真命题．( √ )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( √ )
(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( × )
(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √ )
题组二 教材改编
2．命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是( )
A．∃x0>0，使得xeq \\al(2,0)－x0＋3≤0
B．∃x0>0，使得xeq \\al(2,0)－x0＋3>0
C．∀x>0，都有x2－x＋3>0
D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0
答案 B
3．已知p：2是偶数，q：2是素数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．
4．下列全称命题中假命题是________．(填序号)
①2x＋1是整数(x∈R)；
②对所有的x∈R，x>3；
③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数；
④任何直线都有斜率．
答案 ①②④
题组三 易错自纠
5．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A.
6．(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有( )
A．∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－x0＋eq \f(1,4)0，所以AC均为特称命题且为假命题，故选AC.
7．若“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
答案 1
解析 ∵函数y＝tan x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上是增函数，
∴ymax＝tan eq \f(π,4)＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.
∴m的最小值为1.
含有逻辑联结词的命题及其真假
1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
答案 A
解析 命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)．
2．(多选)命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为真命题的是( )
A．p或q B．p且q C．q D．綈p
答案 ACD
解析 取x＝eq \f(π,3)，y＝eq \f(5π,6)，可知命题p是假命题；
由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．
3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：
①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．
其中，正确的是________．(填序号)
答案 ②
解析 命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式．
(2)判断其中命题p，q的真假．
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．
含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、特称命题的真假
例1 (1)下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x0∈R，lg x00
D．∀x∈R，ex－x－1≥0
答案 C
解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
(2)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．∃x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)x＋1，故B正确；
当x0，有a0＋eq \f(1,a0)≥2成立
答案 B
解析 特称命题的否定是全称命题，所以“∃a0>0，有a0＋eq \f(1,a0)0，有a＋eq \f(1,a)≥2成立”，故选B.
根据命题的真假求参数的取值范围
例3 (1)给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么实数a的取值范围为________________．
答案 (－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4))
解析 当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立”⇔a＝0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ0恒成立，可得－20)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f (x0)，则实数a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
解析 由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f (x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f (x)值域的子集．函数f (x)的值域是[－1,3]，因为a>0，所以函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤eq \f(1,2).故a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
16．已知命题p：∃x0∈R，ex0－mx0＝0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．
由ex－mx＝0，可得m＝eq \f(ex,x)，x≠0，
设f (x)＝eq \f(ex,x)，x≠0，则
f′(x)＝eq \f(xex－ex,x2)＝eq \f(x－1ex,x2)，
当x>1时，f′(x)>0，函数f (x)＝eq \f(ex,x)在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0