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高考数学一轮复习 导数中极值点偏移问题的处理策略
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这是一份高考数学一轮复习 导数中极值点偏移问题的处理策略，共10页。
所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于,两点，则的中点为，而往往.如下图所示.
极值点没有偏移
此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！
【问题特征】
【处理策略】
不含参数的问题.
例1.（2010天津理）已知函数 ，如果，且 ，
证明：
【解析】法一：，易得在上单调递增，在上单调递减，时，，，时，， 函
数在处取得极大值，且,如图所示.
由，不妨设，则必有，
构造函数，
则，所以在上单调递增，，也即对恒成立.
由，则，
所以，即，又因为，且在上单调递减，
所以，即证
法二：欲证，即证，由法一知，故，又因为在上单调递减，故只需证，又因为，
故也即证，构造函数，则等价于证明对恒成立.
由，则在上单调递增，所以，即已证明对恒成立，故原不等式亦成立.
法三：由，得，化简得…，
不妨设，由法一知，.令，则，代入式，得，反解出，则，故要证：，即证：，又因为，等价于证明：…，
构造函数，则，
故在上单调递增，，从而也在上单调递增，，即证式成立，也即原不等式成立.
法四：由法三中式，两边同时取以为底的对数，得，也即，从而，
令，则欲证：，等价于证明：…，
构造，则，
又令，则，由于对恒成立，故，在上单调递增，所以，从而，故在上单调递增，由洛比塔法则知：，即证，即证式成立，也即原不等式成立.
含参数的问题.
例2.已知函数有两个不同的零点，求证：.
【解析】思路1：函数的两个零点，等价于方程的两个实根，从而这一问题与例1完全等价，例1的四种方法全都可以用；
思路2：也可以利用参数这个媒介去构造出新的函数.解答如下：
因为函数有两个零点，
所以，
由得：，
要证明，只要证明，
由得：，即，
即证：，
不妨设，记，则，
因此只要证明：，
再次换元令，即证
构造新函数，
求导，得在递增，
所以，因此原不等式获证.
例3.已知函数，为常数，若函数有两个零点，
试证明：
【解析】法一：消参转化成无参数问题：
，是方程的两根，也是方
程的两根，则是，设，，则，从而，此问题等价转化成为例1，下略.
法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：
不妨设，
∵，∴，
∴，欲证明，即证.
∵，∴即证，
∴原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例2中思路二的解答，下略.
法三：直接换元构造新函数：
设，
则，
反解出：，
故，转化成法二，下同，略.
例4.设函数，其图像与轴交于两点，且.证明：.
【解析】由，易知：的取值范围为，在上单调递减，在上单调递增.
法一：利用通法构造新函数，略；
法二：将旧变元转换成新变元：
∵两式相减得：，
记，则，
设，则，所以在上单调递减，故,而，所以，
又∵是上的递增函数，且，∴.
容易想到，但却是错解的过程：
欲证：，即要证：，亦要证，也即证：，很自然会想到：对两式相乘得：，即证：.考虑用基本不等式，也即只要证：.由于.当取将得到，从而.而二元一次不等式对任意不恒成立，故此法错误.
拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：
函数在闭区间上连续；
函数在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得.
当时，即得到罗尔中值定理.
上述问题即对应于罗尔中值定理，
设函数图像与轴交于两点，因此
，∴，……
由于，显然与，与已知
不是充要关系，转化的过程中范围发生了改变.
例5.（11年，辽宁理）
已知函数
（I）讨论的单调性；
（II）设，证明：当时，；
（III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.
【解析】（I）易得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（II）法一：构造函数，利用函数单调性证明，方法上同，略；
法二：构造以为主元的函数，设函数，则，，由，解得，当时，，而， 所以，故当时，.
（III）由（I）知，只有当时，且的最大值，函数才会有两个零点，不妨设，则，故，由（II）得：，又由在上单调递减，所以，于是，由（I）知，.
【问题的进一步探究】
对数平均不等式的介绍与证明
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立.
只证：当时，.不失一般性，可设.证明如下：
（I）先证：……
不等式
构造函数，则.因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式成立；
（II）再证：……
不等式
构造函数，则.因为时，，所以函数在上单调递增，故，从而不等式成立；
综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立.
前面例题用对数平均不等式解决
例1.（2010天津理）已知函数 ，如果，且 ，
证明：
【解析】法五：由前述方法四，可得，利用对数平均不等式得：，即证：，秒证.
说明：由于例2，例3最终可等价转化成例1的形式，故此处对数平均不等式的方法省略.
例4.设函数，其图像与轴交于两点，且.证明：.
【解析】法三：由前述方法可得：，等式两边取以为底的对数，得，化简得：，由对数平均不等式知：，即，故要证
∵ ∴，
而
∴显然成立，故原问题得证.
例5.（11年，辽宁理）
已知函数
（I）讨论的单调性；
（II）设，证明：当时，；
（III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.
【解析】（I）（II）略，
（III）由
故要证
.根据对数平均不等，此不等式显然成立，故原不等式得证.
【挑战今年高考压轴题】
（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数有两个零点.证明：.
【解析】由，得，可知在上单调递减，在上单调递增.要使函数有两个零点，则必须.
法一：构造部分对称函数
不妨设，由单调性知，所以，又∵在单调递减，故要证：，等价于证明：，
又∵，且
∴，构造函数，由单调性可证，此处略.
法二：参变分离再构造差量函数
由已知得：，不难发现，，
故可整理得：
设，则
那么，当时，，单调递减；当时，，单调递增．
设，构造代数式：
设，
则，故单调递增，有．
因此，对于任意的，．
由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有
令，则有
而，，在上单调递增，因此：
整理得：．
法三：参变分离再构造对称函数
由法二，得，构造，利用单调性可证，此处略.
法四：构造加强函数
【分析说明】由于原函数的不对称，故希望构造一个关于直线对称的函数，使得当时，，当时，，结合图像，易证原不等式成立.
【解答】由，，故希望构造一个函数，使得，从而在上单调递增，在上单调递增，从而构造出（为任意常数），又因为我们希望，而，故取，从而达到目的.故，设的两个零点为，结合图像可知：，所以，即原不等式得证.
法五：利用“对数平均”不等式
,
,
由对数平均不等式得：
，
，
从而
等价于：
由，故，证毕.
所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于,两点，则的中点为，而往往.如下图所示.
极值点没有偏移
此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！
【问题特征】
【处理策略】
不含参数的问题.
例1.（2010天津理）已知函数 ，如果，且 ，
证明：
【解析】法一：，易得在上单调递增，在上单调递减，时，，，时，， 函
数在处取得极大值，且,如图所示.
由，不妨设，则必有，
构造函数，
则，所以在上单调递增，，也即对恒成立.
由，则，
所以，即，又因为，且在上单调递减，
所以，即证
法二：欲证，即证，由法一知，故，又因为在上单调递减，故只需证，又因为，
故也即证，构造函数，则等价于证明对恒成立.
由，则在上单调递增，所以，即已证明对恒成立，故原不等式亦成立.
法三：由，得，化简得…，
不妨设，由法一知，.令，则，代入式，得，反解出，则，故要证：，即证：，又因为，等价于证明：…，
构造函数，则，
故在上单调递增，，从而也在上单调递增，，即证式成立，也即原不等式成立.
法四：由法三中式，两边同时取以为底的对数，得，也即，从而，
令，则欲证：，等价于证明：…，
构造，则，
又令，则，由于对恒成立，故，在上单调递增，所以，从而，故在上单调递增，由洛比塔法则知：，即证，即证式成立，也即原不等式成立.
含参数的问题.
例2.已知函数有两个不同的零点，求证：.
【解析】思路1：函数的两个零点，等价于方程的两个实根，从而这一问题与例1完全等价，例1的四种方法全都可以用；
思路2：也可以利用参数这个媒介去构造出新的函数.解答如下：
因为函数有两个零点，
所以，
由得：，
要证明，只要证明，
由得：，即，
即证：，
不妨设，记，则，
因此只要证明：，
再次换元令，即证
构造新函数，
求导，得在递增，
所以，因此原不等式获证.
例3.已知函数，为常数，若函数有两个零点，
试证明：
【解析】法一：消参转化成无参数问题：
，是方程的两根，也是方
程的两根，则是，设，，则，从而，此问题等价转化成为例1，下略.
法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：
不妨设，
∵，∴，
∴，欲证明，即证.
∵，∴即证，
∴原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例2中思路二的解答，下略.
法三：直接换元构造新函数：
设，
则，
反解出：，
故，转化成法二，下同，略.
例4.设函数，其图像与轴交于两点，且.证明：.
【解析】由，易知：的取值范围为，在上单调递减，在上单调递增.
法一：利用通法构造新函数，略；
法二：将旧变元转换成新变元：
∵两式相减得：，
记，则，
设，则，所以在上单调递减，故,而，所以，
又∵是上的递增函数，且，∴.
容易想到，但却是错解的过程：
欲证：，即要证：，亦要证，也即证：，很自然会想到：对两式相乘得：，即证：.考虑用基本不等式，也即只要证：.由于.当取将得到，从而.而二元一次不等式对任意不恒成立，故此法错误.
拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：
函数在闭区间上连续；
函数在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得.
当时，即得到罗尔中值定理.
上述问题即对应于罗尔中值定理，
设函数图像与轴交于两点，因此
，∴，……
由于，显然与，与已知
不是充要关系，转化的过程中范围发生了改变.
例5.（11年，辽宁理）
已知函数
（I）讨论的单调性；
（II）设，证明：当时，；
（III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.
【解析】（I）易得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（II）法一：构造函数，利用函数单调性证明，方法上同，略；
法二：构造以为主元的函数，设函数，则，，由，解得，当时，，而， 所以，故当时，.
（III）由（I）知，只有当时，且的最大值，函数才会有两个零点，不妨设，则，故，由（II）得：，又由在上单调递减，所以，于是，由（I）知，.
【问题的进一步探究】
对数平均不等式的介绍与证明
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立.
只证：当时，.不失一般性，可设.证明如下：
（I）先证：……
不等式
构造函数，则.因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式成立；
（II）再证：……
不等式
构造函数，则.因为时，，所以函数在上单调递增，故，从而不等式成立；
综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立.
前面例题用对数平均不等式解决
例1.（2010天津理）已知函数 ，如果，且 ，
证明：
【解析】法五：由前述方法四，可得，利用对数平均不等式得：，即证：，秒证.
说明：由于例2，例3最终可等价转化成例1的形式，故此处对数平均不等式的方法省略.
例4.设函数，其图像与轴交于两点，且.证明：.
【解析】法三：由前述方法可得：，等式两边取以为底的对数，得，化简得：，由对数平均不等式知：，即，故要证
∵ ∴，
而
∴显然成立，故原问题得证.
例5.（11年，辽宁理）
已知函数
（I）讨论的单调性；
（II）设，证明：当时，；
（III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.
【解析】（I）（II）略，
（III）由
故要证
.根据对数平均不等，此不等式显然成立，故原不等式得证.
【挑战今年高考压轴题】
（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数有两个零点.证明：.
【解析】由，得，可知在上单调递减，在上单调递增.要使函数有两个零点，则必须.
法一：构造部分对称函数
不妨设，由单调性知，所以，又∵在单调递减，故要证：，等价于证明：，
又∵，且
∴，构造函数，由单调性可证，此处略.
法二：参变分离再构造差量函数
由已知得：，不难发现，，
故可整理得：
设，则
那么，当时，，单调递减；当时，，单调递增．
设，构造代数式：
设，
则，故单调递增，有．
因此，对于任意的，．
由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有
令，则有
而，，在上单调递增，因此：
整理得：．
法三：参变分离再构造对称函数
由法二，得，构造，利用单调性可证，此处略.
法四：构造加强函数
【分析说明】由于原函数的不对称，故希望构造一个关于直线对称的函数，使得当时，，当时，，结合图像，易证原不等式成立.
【解答】由，，故希望构造一个函数，使得，从而在上单调递增，在上单调递增，从而构造出（为任意常数），又因为我们希望，而，故取，从而达到目的.故，设的两个零点为，结合图像可知：，所以，即原不等式得证.
法五：利用“对数平均”不等式
,
,
由对数平均不等式得：
，
，
从而
等价于：
由，故，证毕.
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