2021年北京市昌平区中考数学二模试卷

这是一份2021年北京市昌平区中考数学二模试卷，共30页。

A．10.15×106B．1.015×106C．0.1015×107D．1.015×107
2．（2分）下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．圆
C．正方形D．正六边形
4．（2分）实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．|a|＜|b|B．ad＞0C．a+c＞0D．d﹣a＞0
5．（2分）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD和正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比是，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则点C的坐标为（ ）
A．（6，2）B．（6，4）C．（4，4）D．（8，4）
7．（2分）疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2个测温通道，分别记为A、B通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园．某日早晨该校所有学生体温正常．小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（2分）世界各国温度的计量单位尚不统一，常用的有摄氏温度（℃）和华氏温度（℉）两种，它们之间的换算关系如表所示：
那么当华氏度与摄氏度对应相等时的温度值是（ ）
A．32B．﹣20C．﹣40D．40
二、填空题（本题共16分，每小题2分
9．（2分）代数式有意义时，x应满足的条件是 ．
10．（2分）将一副三角板如图摆放，斜边AB与直角边DE相交于点F，则∠BFE＝ ．
11．（2分）写出一个比小的正整数是 ．
12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ADB的面积大小关系为：S△ABC S△ADB（填“＞”“＝”或“＜”）．
13．（2分）方程组的解为 ．
14．（2分）今年五月某中学举行一次“新冠”防疫知识竞赛，该校九年级1班、2班各选派了6名学生参赛，为了全面了解、比较两个班级的参赛学生的实力，请你根据表格成绩对他们进行统计分析：
请问： ，s12 s22．（填“＞”“＝”或“＜”）
15．（2分）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x＝4；
乙：顶点到x轴的距离为2．
请你写出一个符合条件的解析式： ．
16．（2分）盒子里有甲、乙、丙三种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子．例如一颗甲粒子和一颗乙粒子发生碰撞则变成一颗丙粒子，现有甲粒子6颗，乙粒子4颗，丙粒子5颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩下1颗粒子，给出下列结论：
①最后一颗粒子可能是甲粒子；
②最后一颗粒子一定不是乙粒子；
③最后一颗粒子可能是丙粒子．
其中正确结论的序号是： ．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
17．（5分）计算：﹣（）﹣1+|﹣2|﹣4sin45°．
18．（5分）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
19．（5分）已知x2+x﹣1＝0，求代数式（3x+1）2﹣x（x﹣2）的值．
20．（5分）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．
已知：∠AOB．
求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB．
作法：如图，
①在射线OB上任取一点C；
②作线段OC的垂直平分线，交OA于点D，交OB于点E，连接DC．
所以∠ADC即为所求的角．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明（说明：括号里填写作图依据）．
证明：∵DE是线段OC的垂直平分线，
∴OD＝ （ ），
∴∠AOB＝ （ ），
∵∠ADC＝∠AOB+∠DCO，
∴∠ADC＝2∠AOB．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解．
22．（5分）如图，矩形ABCD，延长AD至点F，使DF＝AD，连接AC，CF，过点A作AE∥CF交CD的延长线于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ACFE是菱形；
（2）连接BE交AD于点G．当AB＝2，tan∠ACB＝时，求BE的长．
23．（6分）为了解昌平区两校学生对垃圾分类知识的掌握情况，从甲、乙两所学校各随机抽取40名学生进行垃圾分类知识的测试，获得了他们的成绩（百分制）并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如表：
（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）
b．甲校成绩在70≤x＜80这一组的是：70，70，71，72，73，74，76，77，79．
c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中n的值；
（2）估计乙校200名学生中，成绩优秀的学生人数是 ；
（3）假设甲校200名学生都参加此次测试，并决定年级排名在前100名的学生都可以被评为“垃圾分类知识标兵”荣誉称号，预估甲校学生至少要达到 分可以获得此荣誉称号．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与直线l：y＝﹣x﹣2交于点A（a，﹣4），直线l与x轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）在y轴上存在一点C，使得S△ABC＝3，求点C的坐标．
25．（6分）如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，且＝，过点C作CE∥BD，交AB延长线于点E．
（1）求证：CE为⊙O切线；
（2）过点C作CF⊥AE交BD于H点，∠E＝30°，CH＝6，求BE的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）与x轴的交点为点A（1，0）和点B．
（1）直接写出抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）分别过点P（t，0）和点Q（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．
①当a＝2时，画出抛物线的图象，根据图象直接写出m﹣n的最小值；
②若存在实数t，使得m﹣n＝2，直接写出a的取值范围．
27．（7分）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是CA延长线上一点，点E是AB延长线上一点，且AD＝BE，过点A作DE的垂线交DE于点F，交BC的延长线于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）当∠AED＝α，请你用含α的式子表示∠AGC；
（3）用等式表示线段CG与AD之间的数量关系，并写出证明思路．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）．特殊地，当图形M与图形N有公共点时，规定d（M，N）＝0．
已知点A（﹣2，0），B（0，2），C（2，0），D（0，m）．
（1）①求d（点O，线段AB）；
②若d（线段CD，直线AB）＝1，直接写出m的值；
（2）⊙O的半径为r，若d（⊙O，线段AB）≤1，直接写出r的取值范围；
（3）若直线y＝x+b上存在点E，使d（E，△ABC）＝1，直接写出b的取值范围．
2021年北京市昌平区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）自2021年1月1日起，全市启动九类重点人群新冠疫苗接种工作．昌平设置46个疫苗接种点位，共配备医务人员1200多名．截至3月28日18时，昌平区累计新冠疫苗接种共完成1015000人次，整体接种秩序井然．将1015000用科学记数法表示应为（ ）
A．10.15×106B．1.015×106C．0.1015×107D．1.015×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1015000用科学记数法表示为：1.015×106．
故选：B．
2．（2分）下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
C、主视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
D、主视图和俯视图完全相同，是等圆，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（2分）下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．圆
C．正方形D．正六边形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形．故本选项符合题意；
B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：A．
4．（2分）实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．|a|＜|b|B．ad＞0C．a+c＞0D．d﹣a＞0
【分析】根据实数在数轴上的位置，得出各个数的大小关系，再根据绝对值的大小，判断相关代数式的符号．
【解答】解：由实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置可知，a＜b＜0＜c＜d，
∴|a|＞|b|，ad＜0，a+c＜0，d﹣a＞0，
因此选项D正确，
故选：D．
5．（2分）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故选：B．
6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD和正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比是，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则点C的坐标为（ ）
A．（6，2）B．（6，4）C．（4，4）D．（8，4）
【分析】根据位似图形的概念得到BC∥EF，进而证明△OBC∽△OEF，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵正方形ABCD和正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比是，正方形BEFG的边长为12，
∴BC∥EF，＝，BC＝4，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝＝，即＝，
解得，OB＝6，
∴点C的坐标为（6，4），
故选：B．
7．（2分）疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2个测温通道，分别记为A、B通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园．某日早晨该校所有学生体温正常．小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有4个等可能的结果，小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的结果有2个，
∴小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率为＝，
故选：C．
8．（2分）世界各国温度的计量单位尚不统一，常用的有摄氏温度（℃）和华氏温度（℉）两种，它们之间的换算关系如表所示：
那么当华氏度与摄氏度对应相等时的温度值是（ ）
A．32B．﹣20C．﹣40D．40
【分析】根据题意目中的数据可以求得y与x的函数关系式，令y＝x即可解答本题．
【解答】解：设华氏度y与摄氏度x的函数关系式是y＝kx+b，
，解得：，
即y与x的函数关系式是y＝x+32；
令y＝x，
则x＝x+32，
解得，x＝﹣40，
即当华氏度与摄氏度对应相等时的温度值是﹣40度．
故选：C．
二、填空题（本题共16分，每小题2分
9．（2分）代数式有意义时，x应满足的条件是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到2x﹣4≥0，求解即可．
【解答】解：由题意，得2x﹣4≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
10．（2分）将一副三角板如图摆放，斜边AB与直角边DE相交于点F，则∠BFE＝ 60° ．
【分析】根据已知条件得到∠DAE＝∠E＝45°，∠CAF＝30°，根据角的和差得到∠EAF＝∠DAE﹣∠DAF＝15°，由外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠DAE＝∠E＝45°，∠CAF＝30°，
∴∠EAF＝∠DAE﹣∠DAF＝15°，
∴∠BFE＝∠FAE+∠E＝15°+45°＝60°，
故答案为：60°．
11．（2分）写出一个比小的正整数是 2 ．
【分析】先估计的大小，再根据条件确定答案．
【解答】解：∵4＜8＜9，
∴2＜＜3，
∴写出一个比小的正整数是2．
故答案为：2（答案不唯一）．
12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ADB的面积大小关系为：S△ABC ＝ S△ADB（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】根据勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角形，然后分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．
【解答】解：∵AB2＝8，BC2＝2，AC2＝10，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝××2＝2，S△ABD＝×2×2＝2，
∴S△ABC＝S△ABD，
故答案为：＝．
13．（2分）方程组的解为 ．
【分析】①+②得出3x＝6，求出x把x＝2代入②求出y即可．
【解答】解：，
①+②，得3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入②，得2﹣y＝2，
解得：y＝0，
所以方程组的解是，
故答案为：．
14．（2分）今年五月某中学举行一次“新冠”防疫知识竞赛，该校九年级1班、2班各选派了6名学生参赛，为了全面了解、比较两个班级的参赛学生的实力，请你根据表格成绩对他们进行统计分析：
请问： ＝ ，s12 ＜ s22．（填“＞”“＝”或“＜”）
【分析】根据算术平均数和方差的定义分别列式计算即可．
【解答】解：∵＝＝72，＝＝72，
∴s12＝×[（65﹣72）2+3×（70+72）2+（75﹣72）2+（82﹣72）2]＝，
s22＝×[（55﹣72）2+2×（70+72）2+（75﹣72）2+（82﹣72）2+（80﹣72）2]＝，
∴＝，s12＜s22．
故答案为：＝，＜．
15．（2分）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x＝4；
乙：顶点到x轴的距离为2．
请你写出一个符合条件的解析式： y＝2x2﹣16x﹣34（答案不唯一） ．
【分析】设抛物线y＝ax2+bx+c，根据对称轴公式得对称轴x＝﹣＝4，顶点到x轴的距离为2，即可得顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），把顶点坐标代入抛物线解析式，即2b+c＝±2，满足这样条件的抛物线不唯一．设a＝2，根据b、c的关系取值即可得到抛物线解析式．
【解答】解：设抛物线y＝ax2+bx+c，
对称轴x＝﹣＝4，
顶点到x轴的距离为2，
即顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），
把顶点坐标代入抛物线解析式得：
16a2+4b+c＝±2，
∵﹣＝4，
即：2b+c＝±2，
满足这样条件的抛物线不唯一．
设a＝2，2b+c＝2时
则
设a＝2，2b+c＝﹣2时，
则，
故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x2﹣16x﹣34．
故答案为：y＝﹣2x2﹣16x﹣34．答案不唯一．
16．（2分）盒子里有甲、乙、丙三种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子．例如一颗甲粒子和一颗乙粒子发生碰撞则变成一颗丙粒子，现有甲粒子6颗，乙粒子4颗，丙粒子5颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩下1颗粒子，给出下列结论：
①最后一颗粒子可能是甲粒子；
②最后一颗粒子一定不是乙粒子；
③最后一颗粒子可能是丙粒子．
其中正确结论的序号是： ①③ ．
【分析】由题目可知每次碰撞都会减少一个粒子，分别从每种粒子的角度分析碰撞后有没有剩余来判断最后的粒子是什么粒子．
【解答】解：由题目知每次碰撞都会减少一个粒子，现在共有15颗粒子，碰撞14次后只剩1颗粒子，
（1）每次碰撞后乙粒子的数量增多或者减少一个，题目中开始有8颗乙粒子，14次碰撞之后剩余的乙粒子也是偶数不可能是1个；
（2）每次碰撞之后，甲，丙粒子的总数不变或者减少两个，题目中甲和丙粒子之和为11个，无论碰撞多少次甲和丙都没有了是不可能的，
综上，剩下的粒子可能是甲或丙不可能是乙，
故答案为：①③．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
17．（5分）计算：﹣（）﹣1+|﹣2|﹣4sin45°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣2+2﹣4×
＝2﹣2+2﹣2
＝0．
18．（5分）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式4x﹣6＜2x，得：x＜3，
解不等式＞，得：x＞，
则不等式组的解集为＜x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
19．（5分）已知x2+x﹣1＝0，求代数式（3x+1）2﹣x（x﹣2）的值．
【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式把原式化简，把已知等式变形，代入计算即可．
【解答】解：（3x+1）2﹣x（x﹣2）
＝9x2+6x+1﹣x2+2x
＝8x2+8x+1，
∵x2+x﹣1＝0，
∴x2+x＝1，
∴原式＝8（x2+x）+1＝9．
20．（5分）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．
已知：∠AOB．
求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB．
作法：如图，
①在射线OB上任取一点C；
②作线段OC的垂直平分线，交OA于点D，交OB于点E，连接DC．
所以∠ADC即为所求的角．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明（说明：括号里填写作图依据）．
证明：∵DE是线段OC的垂直平分线，
∴OD＝ DC （ 线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 ），
∴∠AOB＝ DCO （ 等边对等角 ），
∵∠ADC＝∠AOB+∠DCO，
∴∠ADC＝2∠AOB．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到OD＝DC，则根据等腰三角形的性质得到∠O＝∠DCO，然后根据三角形外角性质得到∠ADC＝2∠AOB．
【解答】解：（1）如图，
∠ADC即为所求作：
（2）证明：∵ED是线段OC的垂直平分线，
∴OD＝DC（线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），
∴∠O＝∠DCO（等边对等角），
∵∠ADC＝∠O+∠DCO（三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和），
∴∠ADC＝2∠AOB，
故答案为线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝42﹣4×1×a＞0，然后解不等式即可．
（2）根据（1）中a的取值范围，任取一a的值，然后解方程即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根．
∴△＝42﹣4×1×a＞0，
解得a＜4．
（2）由（1）知，实数a的取值范围为a＜4，
故取a＝3，
则x2﹣4x+3＝0，即（x﹣3）（x﹣1）＝0，
解得，x1＝3，x2＝1．
22．（5分）如图，矩形ABCD，延长AD至点F，使DF＝AD，连接AC，CF，过点A作AE∥CF交CD的延长线于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ACFE是菱形；
（2）连接BE交AD于点G．当AB＝2，tan∠ACB＝时，求BE的长．
【分析】（1）利用矩形的性质证得AF⊥CE，利用垂直平分线的性质证得AE＝EF，AC＝CF，进而证得AE＝EF＝AC＝CF，可求证；
（2）利用（1）可求得CE＝4，利用三角函数求得BC，进而利用勾股定理可求得．
【解答】解：（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠ADC＝90°，
∴AF⊥CE，
∵DF＝AD，
∴AE＝EF，AC＝CF，
∴∠AED＝∠FED，
∵AE∥CF，
∴∠AED＝∠ECF，
∴∠FED＝∠ECF，
∴EF＝CF，
∴AE＝EF＝AC＝CF，
∴四边形ACFE是菱形；
（2）解：如图，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC＝∠BCE＝90°，CD＝AB＝2，
由（1）知四边形ACFE是菱形，
∴CD＝DE＝2，
∴EC＝4，
∵AB＝2，tan∠ACB＝，
∴BC＝4，
∴BE＝＝4．
23．（6分）为了解昌平区两校学生对垃圾分类知识的掌握情况，从甲、乙两所学校各随机抽取40名学生进行垃圾分类知识的测试，获得了他们的成绩（百分制）并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如表：
（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）
b．甲校成绩在70≤x＜80这一组的是：70，70，71，72，73，74，76，77，79．
c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中n的值；
（2）估计乙校200名学生中，成绩优秀的学生人数是 60 ；
（3）假设甲校200名学生都参加此次测试，并决定年级排名在前100名的学生都可以被评为“垃圾分类知识标兵”荣誉称号，预估甲校学生至少要达到 70 分可以获得此荣誉称号．
【分析】（1）根据中位数的意义求解即可；
（2）求出乙校优秀学生占调查人数的百分比即可；
（3）根据中位数的意义进行判断即可．
【解答】解：（1）甲校40名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数，即第20、第21位的两个数都是70，因此中位数是70，即n＝70；
（2）200×＝60（人），
故答案为：60；
（3）由甲校学生成绩的中位数是70分，即一半学生在70分以上，一半学生在70分以下，
200名学生中的前100名，即一半获奖，因此至少要在70分，
故答案为：70．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与直线l：y＝﹣x﹣2交于点A（a，﹣4），直线l与x轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）在y轴上存在一点C，使得S△ABC＝3，求点C的坐标．
【分析】（1）先将点A坐标代入y＝﹣x﹣2中可求出a＝2，然后把A点坐标代入反比例函数y＝中可确定k的值；
（2）利用一次函数解析式可确定B点坐标，设C（0，t），利用三角形面积公式得到×|t+2|×2+×|t+2|×2＝3，然后求出t可得到C点坐标．
【解答】解：（1）将点A（a，﹣4）的坐标代入y＝﹣x﹣2中，
得﹣4＝﹣a﹣2，
解得a＝2；
∴点A（2，﹣4），
将点A（2，﹣4）的坐标代入反比例函数y＝中，
得k＝2×（﹣4）＝﹣8；
答：a，k的值为2，﹣8；
（2）当y＝0，﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0）．
设P（0，t），
∵S△ABC＝5，
∴×|t+2|×2+×|t+2|×2＝3，
即|t+2|＝，
∴t＝﹣或﹣，
∴C（0，﹣）或P（0，﹣）．
25．（6分）如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，且＝，过点C作CE∥BD，交AB延长线于点E．
（1）求证：CE为⊙O切线；
（2）过点C作CF⊥AE交BD于H点，∠E＝30°，CH＝6，求BE的长．
【分析】（1）连接CO，BD与AC交于点K，由垂径定理得出OC⊥BD，由平行线的性质得出OC⊥CE，则可得出结论；
（2）证明△BOC为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠CBO＝∠BCO＝60°，求出CK＝CH＝6，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）证明：连接CO，BD与AC交于点K，
∵＝，
∴OC⊥BD，
∵CE∥BD，
∴OC⊥CE，
∴CE为⊙O切线；
（2）解：在Rt△CEO中，∠E＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠CBO＝∠BCO＝60°，
∵BD⊥OC，CF⊥OB，
∴∠CBD＝∠OCF＝∠BCE＝30°，
∴∠CKH＝∠CHK＝∠KCH＝60°，BC＝BE，
∴CK＝CH＝6，
在Rt△BCK中，tan∠CBK＝tan30°＝，
∴BC＝BE＝6．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）与x轴的交点为点A（1，0）和点B．
（1）直接写出抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）分别过点P（t，0）和点Q（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．
①当a＝2时，画出抛物线的图象，根据图象直接写出m﹣n的最小值；
②若存在实数t，使得m﹣n＝2，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）根据A点的坐标代入函数可以得出系数关系式，根据对称轴公式可求出对称轴，再根据对称性求出B点坐标；
（2）①当a＝2时，根据函数解析式可以求出顶点坐标，根据给出的P、Q点坐标可以确定t值，即进一步确定G的图像，即可求出m﹣n最小值；
②分a＞0和a＜0两大情况，再每种情况下按t的取值范围分两小类，分别讨论a的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）与x轴的交点为点A（1，0），
∴0＝a+b+3a，
即b＝﹣4a，
∴对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵B点是函数图象与x轴的另一交点，
根据对称性可得，B（3，0）；
（2）①当a＝2时，函数解析式为y＝2x2﹣8x+6（a≠0），图像如右图，
∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣2），
∵图象G为函数图象的一部分，P（t，0）Q（t+2，0），
∴2﹣t＝t+2﹣2，
∴t＝1，
∵点P（t，0）和点Q（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，
∴M（1，0），N（3，0），
∵顶点坐标为（2，﹣2），
∴m﹣n的最大值为0﹣（﹣2）＝2；
②∵点P（t，0）和点Q（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，
由（1）知b＝﹣4a，
∴M（t，at2﹣4at+3a），N（t+2，a（t+2）2﹣4a（t+2）+3a），
又∵抛物线对称轴为2，顶点坐标为（2，﹣2），
∴根据M、N点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论a的取值：
（Ⅰ）当a＞0，且t≤0时，即图象G在对称轴左侧时，
此时M点的纵坐标最大，N点的纵坐标最小，
∴at2﹣4at+3a﹣[a（t+2）2﹣4a（t+2）+3a]＝2，
解得t＝1﹣，
又∵t≤0，a＞0，
∴1﹣≤0且a＞0，
∴0＜a≤1，
（Ⅱ）当a＞0，且t≥2时，即图象G在对称轴右侧时，
此时N点的纵坐标最大，M点的纵坐标最小，
∴a（t+2）2﹣4a（t+2）+3a﹣（at2﹣4at+3a）＝2，
解得t＝﹣1，
又∵t≥2，a＞0，
∴﹣1≥2且a＞0，
∴0＜a≤，
（Ⅲ）当a＜0，且t≤0时，即图象G在对称轴左侧时，
此时N点的纵坐标最大，M点的纵坐标最小，
∴a（t+2）2﹣4a（t+2）+3a﹣（at2﹣4at+3a）＝2，
解得t＝﹣1，
又∵t≥2，a＜0，
∴﹣1≥2且a＜0，
∴a＜0，
（Ⅳ）当a＜0，且t≥2时，即图象G在对称轴右侧时，
此时M点的纵坐标最大，N点的纵坐标最小，
∴at2﹣4at+3a﹣[a（t+2）2﹣4a（t+2）+3a]＝2，
解得t＝1﹣，
又∵t≤0，a＜0，
∴1﹣≤0且a＜0，
∴a≤﹣1，
综上，a的取值范围为a＜0或0＜a≤1．
27．（7分）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是CA延长线上一点，点E是AB延长线上一点，且AD＝BE，过点A作DE的垂线交DE于点F，交BC的延长线于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）当∠AED＝α，请你用含α的式子表示∠AGC；
（3）用等式表示线段CG与AD之间的数量关系，并写出证明思路．
【分析】（1）依题意补全图形即可；
（2）由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得AGC+∠CAG＝45°，再证∠CAG＝∠DAF＝α，即可求解；
（3）过G作GH⊥AC交AC的延长线于H，则△CGH是等腰直角三角形，得CH＝GH，CG＝GH，设AB＝AC＝a，AD＝BE＝b，CH＝GH＝m，再证△ADE∽△HGA，得＝，得出m＝b，即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意补全图形如图1所示：
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠AGC+∠CAG＝∠ACB＝45°，
∵∠AF⊥DE，
∴∠AFE＝90°＝∠DAE，
∴∠AED+∠EAF＝∠DAF+∠EAF＝90°，
∴∠DAF＝∠AED＝α，
∴∠CAG＝∠DAF＝α，
∴∠AGC＝45°﹣α；
（3）CG＝AD，证明思路如下：
过G作GH⊥AC交AC的延长线于H，如图2所示：
则∠GHA＝90°＝∠DAE，△CGH是等腰直角三角形，
得CH＝GH，CG＝GH，
设AB＝AC＝a，AD＝BE＝b，CH＝GH＝m，
由（2）可知，∠AED＝∠HAG，则△ADE∽△HGA，
得＝，即＝，
整理得：am+bm＝ab+bm，则m＝b，
故CG＝m＝b＝AD．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）．特殊地，当图形M与图形N有公共点时，规定d（M，N）＝0．
已知点A（﹣2，0），B（0，2），C（2，0），D（0，m）．
（1）①求d（点O，线段AB）；
②若d（线段CD，直线AB）＝1，直接写出m的值；
（2）⊙O的半径为r，若d（⊙O，线段AB）≤1，直接写出r的取值范围；
（3）若直线y＝x+b上存在点E，使d（E，△ABC）＝1，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）①如图1中，过点O作OH⊥AB于H．解直角三角形求出OH，可得结论．
②如图2中，过点D作DF⊥AB于F．由d（线段CD，直线AB）＝1，推出DF＝1，求出点D的坐标可得结论．
（2）求出两种特殊位置r的值即可判断．如图3中，当⊙O与直线AB相离时，d（⊙O，线段AB）＝1时，r＝﹣1．当线段AB在⊙O内部时，设⊙O与y轴交于W，当d（⊙O，线段AB）＝1时，W（0，2+1），此时r＝2+1，由此可得结论．
（3）分两种情形：如图4中，当直线y＝x+b在直线AB的上方时，设直线y＝x+b交x轴于P，过点A作AM⊥直线y＝x+b于M．当直线y＝x+b在直线AB的下方时，设直线y＝x+b交x轴于Q，过点C作CN⊥直线y＝x+b于N．分别求出AM＝CN＝1时b的值，可得结论．
【解答】解：（1）①如图1中，过点O作OH⊥AB于H．
∵A（﹣2，0），B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝30°，
∵∠OHB＝90°，
∴OH＝OB＝，
∴d（点O，线段AB）＝．
②如图2中，过点D作DF⊥AB于F．
∵d（线段CD，直线AB）＝1，
∴DF＝1，
∵∠DBF＝30°，∠DFB＝90°，
∴BD＝2DF＝2，
∴OD＝2﹣2，
∴D（0，2﹣2），
∴m＝2﹣2．
（2）如图3中，当⊙O与直线AB相离时，d（⊙O，线段AB）＝1时，r＝﹣1．
当线段AB在⊙O内部时，设⊙O与y轴交于W，
当d（⊙O，线段AB）＝1时，W（0，2+1），此时r＝2+1，
观察图象可知，满足条件的r的值为﹣1≤r≤2+1．
（3）如图4中，当直线y＝x+b在直线AB的上方时，设直线y＝x+b交x轴于P，过点A作AM⊥直线y＝x+b于M．
∵∠APM＝∠BAC＝60°，
∴AB∥PM，
当使d（E，△ABC）＝1时，AM＝1，
∴PA＝＝，
∴P（﹣2﹣，0），
把P点坐标代入y＝x+b，得到b＝2+2，
当直线y＝x+b在直线AB的下方时，设直线y＝x+b交x轴于Q，过点C作CN⊥直线y＝x+b于N．
同法可得Q（2+），
把Q点坐标代入y＝x+b中，得到b＝﹣2﹣2，
观察图象可知，满足条件的b的值为﹣2﹣2≤b≤2+2．
摄氏（单位℃）
…
0
1
2
3
4
5
6
…
华氏（单位℉）
…
32
33.8
35.6
37.4
39.2
41
42.8
…
1班
65
70
70
70
75
82
2班
55
70
70
75
80
82
成绩x
学校
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
甲
4
15
9
10
2
乙
6
3
15
14
2
学校
平均分
中位数
众数
甲
74.2
n
85
乙
73.5
76
84
摄氏（单位℃）
…
0
1
2
3
4
5
6
…
华氏（单位℉）
…
32
33.8
35.6
37.4
39.2
41
42.8
…
1班
65
70
70
70
75
82
2班
55
70
70
75
80
82
成绩x
学校
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
甲
4
15
9
10
2
乙
6
3
15
14
2
学校
平均分
中位数
众数
甲
74.2
n
85
乙
73.5
76
84