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2021年浙江省杭州市中考数学仿真试卷（word版 含答案）
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这是一份2021年浙江省杭州市中考数学仿真试卷（word版 含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省杭州市中考数学仿真试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a2b﹣1）2＝
B．（a+b）2＝a2+b2
C．﹣3＝﹣2
D．+＝
2．已知a+b＝2，ab＝﹣3，则（3﹣a）（3﹣b）的值为（ ）
A．2 B．﹣3 C．0 D．﹣1
3．如果x是最大的负整数，y是绝对值最小的整数，则﹣x2017+y的值是（ ）
A．﹣2017 B．﹣1 C．1 D．2017
4．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（ ）
A． B． C． D．
5．已知x＝4是关于x的方程kx+b＝0（k≠0，b＞0）的解，则关于x的不等式k（x﹣3）+2b＞0的解集是（ ）
A．x＞11 B．x＜11 C．x＞7 D．x＜7
6．函数y＝|x﹣1|的图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．某校为了解学生的出行方式，通过调查制作了如图所示的条形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ）
A．步行的人数最少
B．骑自行车的人数为90
C．步行与骑自行车的总人数比坐公共汽车的人数要多
D．坐公共汽车的人数占总人数的50%
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）
A．abc＞0
B．4ac﹣b2＜0
C．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根
D．关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根x1取值范围为：1＜x1＜2
9．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（ ）
A．40° B．50° C．55° D．70°
10．如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为A→B→C，动点Q的运动路线为B→D．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若关于x的分式方程＝2a无解，则a的值为 ．
12．（4分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝40°，则∠2＝ ．
13．（4分）若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是 ．
14．（4分）在﹣2，0，1，2这四个数中任取两数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为 ．
15．（4分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，点P为CD的中点，若点D在圆上逆时针运动的路径长为π，则点P运动的路径长为 ．
16．（4分）如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有 个．
三、解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：
（1）2（x+1）＝1﹣（x+3）．
（2）+1＝．
18．（8分）（1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项测试，他们各自的成绩如下表所示：
应聘者
专业知识
讲课
答辩
甲
70
85
80
乙
90
85
75
丙
80
90
85
按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权5：4：1．请计算三名应聘者的平均成绩，从成绩看，应该录取谁？
（2）我市举行了某学科实验操作考试，有A、B、C、D四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．小王，小张，小厉都参加了本次考试．
①小厉参加实验D考试的概率是 ；
②用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率．
19．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．
（1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE；
（2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB．
20．（10分）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．
（1）求v与t的函数关系式及t值的取值范围；
（2）客车上午8点从甲地出发．
①客车需在当天14点40分至15点30分（含14点40分与15点30分）间到达乙地，求客车行驶速度v的范围；
②客车能否在当天12点30分前到达乙地？说明理由．
21．（10分）已知，如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∠ADE＝90°，AD＝DE＝AC，连接BD，CE．
（1）如图1，当点D恰好在AC上时，则＝ ；
（2）如图2，如果∠ADE绕点A顺时针旋转一周，在旋转的过程中（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）若AC＝4，在旋转的过程中，请直接写出CE的最大值和最小值．
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．
（1）求证：MH为⊙O的切线．
（2）若MH＝，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．
23．（12分）已知抛物y＝ax2+bx．
（1）若抛物线与一次函数y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，求a、b满足的关系式；
（2）设点Q为抛物线上的顶点，点P为平面内一点，若点P坐标为（2，﹣2），S△OPQ＝3，且OP＞OQ，抛物线经过点A（m，n）和点B（4﹣m，n），直线PB与抛物线的另一交点为C．
①求抛物线的解析式；
②证明：对于任意实数m，直线AC必过一定点．
2021年浙江省杭州市中考数学仿真试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a2b﹣1）2＝
B．（a+b）2＝a2+b2
C．﹣3＝﹣2
D．+＝
【分析】根据积的乘方，完全平方公式，二次根式的加减，分式的加减，分别计算各选项即可．
【解答】解：A选项，原式＝4a4b﹣2＝，故该选项正确，符合题意；
B选项，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故该选项错误，不符合题意；
C选项，原式＝﹣2，故该选项错误，不符合题意；
D选项，原式＝＝＝，故该选项错误，不符合题意．
故选：A．
2．已知a+b＝2，ab＝﹣3，则（3﹣a）（3﹣b）的值为（ ）
A．2 B．﹣3 C．0 D．﹣1
【分析】利用多项式乘以多项式的计算法则进行计算，然后代入求值即可．
【解答】解：（3﹣a）（3﹣b）＝9﹣3a﹣3b+ab＝9﹣3（a+b）+ab，
∵a+b＝2，ab＝﹣3，
∴（3﹣a）（3﹣b）＝9﹣3×2+（﹣3）＝0，
故选：C．
3．如果x是最大的负整数，y是绝对值最小的整数，则﹣x2017+y的值是（ ）
A．﹣2017 B．﹣1 C．1 D．2017
【分析】根据有理数的有关概念得出x、y的值，再代入计算即可．
【解答】解：根据题意知x＝﹣1，y＝0，
则原式＝﹣（﹣1）2017+0
＝﹣（﹣1）
＝1，
故选：C．
4．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】在直角△ABC中，由tanα＝，可设AC＝4x，那么BC＝3x，根据勾股定理求出AB＝5x，那么A′B′＝AB＝5x．在直角△A′B′C中，根据勾股定理列出方程（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，求出x＝1，然后利用余弦函数的定义即可求解．
【解答】解：如图．∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，
∴可设AC＝4x，那么BC＝3x，
∴AB＝＝＝5x，
∴A′B′＝AB＝5x．
∵在直角△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝4x﹣1，B′C＝3x+1，
∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，
解得x＝1，
∴A′C＝3，B′C＝4，A′B′＝5，
∴cosβ＝．
故选：A．
5．已知x＝4是关于x的方程kx+b＝0（k≠0，b＞0）的解，则关于x的不等式k（x﹣3）+2b＞0的解集是（ ）
A．x＞11 B．x＜11 C．x＞7 D．x＜7
【分析】将x＝4代入方程，求出b＝﹣4k＞0，求出k＜0，把b＝﹣4k代入不等式，再求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵x＝4是关于x的方程kx+b＝0（k≠0，b＞0）的解，
∴4k+b＝0，
即b＝﹣4k＞0，
∴k＜0，
∵k（x﹣3）+2b＞0，
∴kx﹣3k﹣8k＞0，
∴kx＞11k，
∴x＜11，
故选：B．
6．函数y＝|x﹣1|的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数解析式求得该函数的性质，然后再作出选择．
【解答】解：∵函数y＝|x﹣1|＝，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小；
故选：B．
7．某校为了解学生的出行方式，通过调查制作了如图所示的条形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ）
A．步行的人数最少
B．骑自行车的人数为90
C．步行与骑自行车的总人数比坐公共汽车的人数要多
D．坐公共汽车的人数占总人数的50%
【分析】根据条形统计图中所反映的信息，逐项进行判断即可．
【解答】解：由条形统计图可知，出行方式中步行的有60人，骑自行车的有90人，乘公共汽车的有150人，
因此得出的总人数为60+90+150＝300（人），乘公共汽车占×100%＝50%，60+90＝150（人），
所以选项A、B、D都是正确的，因此不符合题意；
选项C是不正确的，因此符合题意；
故选：C．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）
A．abc＞0
B．4ac﹣b2＜0
C．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根
D．关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根x1取值范围为：1＜x1＜2
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，可对C进行判断；根据抛物线的对称性，可对D进行判断．
【解答】解：A．∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
故A正确；
B．∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，
故B正确；
C．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n），
∴函数有最大值n，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无实数根，
故C正确；
D．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根x1取值范围为：0＜x1＜1，
故D错误；
故选：D．
9．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（ ）
A．40° B．50° C．55° D．70°
【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解．
【解答】解：∵∠AOF＝40°，
∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠E＝∠FOB＝70°
故选：D．
10．如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为A→B→C，动点Q的运动路线为B→D．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况：P点在AB上运动和P点在BC上运动时；分别求出解析式即可．
【解答】解：（1）点P在AB上运动时，0＜x≤5，如右图，
∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥AB交AB于点E，
则有AP＝PQ＝x，∠EBQ＝∠DQC＝45°，
∴BP＝5﹣x，QE＝x，
∴△BPQ的面积为：y＝BP•QE＝＝﹣x2+x（0＜x≤5），
∴此时图象为抛物线开口方向向下；
（2）点P在BC上运动时，5＜x≤5，如右图，
∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥BC交BC于点E，
则有AP+BP＝BQ＝x，∠DQC＝45°，
∴BP＝x﹣5，QE＝x，
∴△BPQ的面积为：y＝BP•QE＝×（x﹣5）×x＝x2﹣x（5＜x≤5），
∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大；
综上，只有选项B的图象符合，
故选：B．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若关于x的分式方程＝2a无解，则a的值为 0.5或1.5 ．
【分析】直接解分式方程，再分类讨论当1﹣2a＝0时，当1﹣2a≠0时，分别得出答案．
【解答】解：＝2a，
去分母得：x﹣2a＝2a（x﹣3），
整理得：（1﹣2a）x＝﹣4a，
当1﹣2a＝0时，方程无解，故a＝0.5；
当1﹣2a≠0时，x＝＝3时，分式方程无解，则a＝1.5，
则a的值为0.5或1.5．
故答案为：0.5或1.5．
12．（4分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝40°，则∠2＝ 80° ．
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，
由题意得，∠3＝60°，
∵∠1＝40°，
∴∠4＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠2＝80°，
故答案为：80°．
13．（4分）若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是 2 ．
【分析】设另一个因式是x+a，根据已知得出（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，再进行化简，即可求出a、m值．
【解答】解：∵多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，
∴设另一个因式是x+a，
则（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，
∵（x2﹣x+2）（x+a）
＝x3+ax2﹣x2﹣ax+2x+2a
＝x3+（a﹣1）x2+（﹣a+2）x+2a，
∴a﹣1＝0，2a＝m，
解得：a＝1，m＝2，
故答案为：2．
14．（4分）在﹣2，0，1，2这四个数中任取两数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为 ．
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，根据二次函数的性质确定顶点在坐标轴上的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的结果数为6，
所以二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率＝＝，
故答案为：．
15．（4分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，点P为CD的中点，若点D在圆上逆时针运动的路径长为π，则点P运动的路径长为 π ．
【分析】如图，连接OA，OB，AD，OP，OD，过点O作OH⊥AB于H．证明△OHA≌△CPO（AAS），推出OP＝AH＝3，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OP为半径的圆，求出点D旋转的角度即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA，OB，AD，OP，OD，过点O作OH⊥AB于H．
∵AC⊥BD，
∴∠DAC+∠ADB＝90°，
∵∠DOC＝2∠DAC，∠AOB＝2∠ADB，
∴∠DOC+∠AOB＝180°，
∵OH⊥AB，DP＝PC，
∴OP⊥CD，AH＝HB＝AB＝3，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴∠AOH＝∠BOH，∠COP＝∠DOP，
∴∠AOH+∠COP＝90°，
∵∠AOH+∠OAH＝90°，
∴∠COP＝∠OAH，
∵∠AHO＝∠CPO＝90°，OA＝OC，
∴△OHA≌△CPO（AAS），
∴OP＝AH＝3，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OP为半径的圆，
∵点D在圆上逆时针运动的路径长为π，设圆心角为n，
∴＝π，
∴n＝60°，
∵OD，OP的旋转角度相等，
∴点P的运动路径的长＝＝π．
故答案为：π．
16．（4分）如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有 4 个．
【分析】此题应分四种情况考虑：
①∠POQ＝∠OAH＝60°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标；
②∠POQ＝∠AOH＝30°，此时∠POH＝60°，即直线OP：y＝x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH＝OQ、AH＝PQ，由此得到点A的坐标．
③当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠AOH＝30°时，此时△QOP≌△AOH；
④当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠OAH＝60°，此时△OQP≌△AOH；
【解答】解：①当∠POQ＝∠OAH＝60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH＝30°，设A坐标为（a，b），
在直角三角形OAH中，tan∠AOH＝tan30°＝＝，
设直线OA的方程为y＝kx，把A的坐标代入得k＝＝，
所以直线OA：y＝x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 ，；
故A（，）；
②当∠POQ＝∠AOH＝30°，此时△POQ≌△AOH；
易知∠POH＝60°，则直线OP：y＝x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 ，；
故P（，3），那么A（3，）；
③当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠AOH＝30°时，此时△QOP≌△AOH；
易知∠POH＝60°，则直线OP：y＝x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 、，
故P（，3），
∴OP＝2，QP＝2，
∴OH＝OP＝2，AH＝QP＝2，
故A（2，2）；
④当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠OAH＝60°，此时△OQP≌△AOH；
此时直线OP：y＝x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 、，
∴P（，），
∴QP＝，OP＝，
∴OH＝QPQP＝，AH＝OP＝，
故A（，）．
综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：（，）或（3，）或（2，2）或（，）．
故答案为：4．
三、解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：
（1）2（x+1）＝1﹣（x+3）．
（2）+1＝．
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）去括号得：2x+2＝1﹣x﹣3，
移项合并得：3x＝﹣4，
解得：x＝﹣；
（2）去分母得：10x﹣14+12＝9x﹣3，
移项合并得：x＝﹣1．
18．（8分）（1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项测试，他们各自的成绩如下表所示：
应聘者
专业知识
讲课
答辩
甲
70
85
80
乙
90
85
75
丙
80
90
85
按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权5：4：1．请计算三名应聘者的平均成绩，从成绩看，应该录取谁？
（2）我市举行了某学科实验操作考试，有A、B、C、D四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．小王，小张，小厉都参加了本次考试．
①小厉参加实验D考试的概率是 ；
②用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率．
【分析】（1）根据加权平均数分别计算三人的平均成绩，比较大小即可得；
（2）①根据概率公式即可得；②列表得出所有等可能的情况数，找出两位同学抽到同一实验的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：（1）＝＝77（分），
＝＝86.5（分），
＝＝84.5（分），
因为乙的平均成绩最高，
所以应该录取乙；
（2）①小厉参加实验D考试的概率是，
故答案为：；
②解：列表如下：
A
B
C
D
A
AA
BA
CA
DA
B
AB
BB
CB
DB
C
AC
BC
CC
DC
D
AD
BD
CD
DD
所有等可能的情况有16种，其中两位同学抽到同一实验的情况有AA，BB，CC，DD，4种情况，
所以小王、小张抽到同一个实验的概率为＝．
19．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．
（1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE；
（2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB．
【分析】（1）利用AC＝BD得到＝，则＝，然后根据圆周角定理得到∠ADB＝∠CAD，从而得到结论；
（2）作直径CF，连接DF，如图2，先利用垂直定义得到∠ADE+∠CAD＝90°，再利用圆周角定理得到∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，∠CDF＝90°，然后根据等角的余角相等得到结论．
【解答】证明：（1）∵AC＝BD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴∠ADB＝∠CAD，
∴AE＝DE；
（2）作直径CF，连接DF，如图2，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，
∴∠ACB+∠F＝90°，
∵CF为直径，
∴∠CDF＝90°，
∴∠F+∠FCD＝90°，
∴∠ACB＝∠FCD，
即∠OCD＝∠ACB．
20．（10分）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．
（1）求v与t的函数关系式及t值的取值范围；
（2）客车上午8点从甲地出发．
①客车需在当天14点40分至15点30分（含14点40分与15点30分）间到达乙地，求客车行驶速度v的范围；
②客车能否在当天12点30分前到达乙地？说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①当t＝（8点到下午14点40分）时，v＝＝600÷＝90（千米/小时），当t＝时，v＝＝600÷＝80（千米/小时），即可求解；
②当天12点30分到达时，t＝4.5小时＜5，而5≤t≤10，即可求解．
【解答】解：（1）设v与t的函数关系式为v＝，
将（5，120）代入v＝，得：120＝，
解得：k＝600，
∴v与t的函数关系式为v＝（5≤t≤10）；
（2）①当t＝（8点到下午14点40分）时，v＝＝600÷＝90（千米/小时），
当t＝时，v＝＝600÷＝80（千米/小时），
∴客车行驶速度v的范围为80千米/小时≤v≤90千米/小时；
②当天12点30分到达时，t＝4.5小时＜5，
而5≤t≤10，
故客车不能在当天12点30分前到达乙地．
21．（10分）已知，如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∠ADE＝90°，AD＝DE＝AC，连接BD，CE．
（1）如图1，当点D恰好在AC上时，则＝ ；
（2）如图2，如果∠ADE绕点A顺时针旋转一周，在旋转的过程中（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）若AC＝4，在旋转的过程中，请直接写出CE的最大值和最小值．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可求BD＝CD，CE＝CD，即可求解；
（2）通过证明△DAB∽△EAC，可得结论；
（3）由点D在以点A为圆心，AD为半径的圆上，可得当点D在线段AB上时，BD有最小值为2﹣2，当点D在BA的延长线上时，BD有最大值为2+2，即可求解．
【解答】解：（1）当点D恰好在AC上时，
∵AD＝AC，
∴AD＝DC＝AC＝DE，
∵∠ABC＝90°＝∠ADE，
∴BD＝CD，CE＝CD，
∴＝，
故答案为：；
（2）结论仍然成立，理由如下：
连接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝45°，
∴，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴，
∴，∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，，
∴△DAB∽△EAC，
∴；
（3）∵AD＝AC，AC＝4，
∴AD＝2，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，AC＝4，
∴AB＝BC＝2，
∵∠ADE绕点A顺时针旋转一周，
∴点D在以点A为圆心，AD为半径的圆上，如图3，
∴当点D在线段AB上时，BD有最小值为2﹣2，
当点D在BA的延长线上时，BD有最大值为2+2，
∵＝，
∴CE的最大值为4+2，最小值为4﹣2．
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．
（1）求证：MH为⊙O的切线．
（2）若MH＝，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．
【分析】（1）连接OH、OM，易证OH是△ABC的中位线，利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH，所以∠HCO＝∠HMO＝90°，从而可知MH是⊙O的切线；
（2）由切线长定理可知：MH＝HC，再由点M是AC的中点可知AC＝3，由tan∠ABC＝，所以BC＝4，从而可知⊙O的半径为2；
（3）连接CN，AO，CN与AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切线可知AO⊥CN，利用等面积可求出可求得CI的长度，设CE为x，然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ．
【解答】解：（1）连接OH、OM，
∵H是AC的中点，O是BC的中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH∥AB，
∴∠COH＝∠ABC，∠MOH＝∠OMB，
又∵OB＝OM，
∴∠OMB＝∠MBO，
∴∠COH＝∠MOH，
在△COH与△MOH中，
，
∴△COH≌△MOH（SAS），
∴∠HCO＝∠HMO＝90°，
∴MH是⊙O的切线；
（2）∵MH、AC是⊙O的切线，
∴HC＝MH＝，
∴AC＝2HC＝3，
∵tan∠ABC＝，
∴＝，
∴BC＝4，
∴⊙O的半径为2；
（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，
∵AC与AN都是⊙O的切线，
∴AC＝AN，AO平分∠CAD，
∴AO⊥CN，
∵AC＝3，OC＝2，
∴由勾股定理可求得：AO＝，
∵AC•OC＝AO•CI，
∴CI＝，
∴由垂径定理可求得：CN＝，
设OE＝x，
由勾股定理可得：CN2﹣CE2＝ON2﹣OE2，
∴﹣（2+x）2＝4﹣x2，
∴x＝，
∴OE＝，
由勾股定理可求得：EN＝，
∴由垂径定理可知：NQ＝2EN＝．
另解：先证明：△AOC∽△CNE，
∴，
由勾股定理可知：OA2＝4+9＝13，
∴OA＝，
在△AOC中，CI⊥OA，
CI×OA＝2×3，
∴CI＝，
∴CN＝，
∴＝，
∴NE＝，
∴NQ＝2EN＝．
23．（12分）已知抛物y＝ax2+bx．
（1）若抛物线与一次函数y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，求a、b满足的关系式；
（2）设点Q为抛物线上的顶点，点P为平面内一点，若点P坐标为（2，﹣2），S△OPQ＝3，且OP＞OQ，抛物线经过点A（m，n）和点B（4﹣m，n），直线PB与抛物线的另一交点为C．
①求抛物线的解析式；
②证明：对于任意实数m，直线AC必过一定点．
【分析】（1）根据题意，列出一元二次方程后，根据根的判别式等于0，列方程即可；
（2）①由抛物线经过点A（m，n）和点B（4﹣m，n），可求得对称轴为x＝2，根据S△OPQ＝3，可求得点Q的坐标，进而可求得抛物线解析式；
②运用待定系数法和根与系数关系表示出AC解析式，根据解析式即可判断经过的定点．
【解答】解：（1）由题意得，方程ax2+bx＝﹣x﹣1有两个相等的实数根，
∴（b+1）2﹣4a＝0，
∴a＝；
（2）①∵抛物线经过点A（m，n）和点B（4﹣m，n），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝2，
设Q（2，q），
∵P（2，﹣2），
∴PQ∥y轴，
∵S△OPQ＝PQ×2＝PQ，S△OPQ＝3，
∴PQ＝3，
∵OP＞OQ，
∴Q点的坐标为（2，1），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，把（0，0）代入得：a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1，即y＝﹣x2+x；
②证明：设直线PB的解析式为y＝kx+b，把P（2，﹣2）代入得：﹣2＝2k+b，
∴b＝﹣2﹣2k，
∴直线PB的解析式为y＝kx﹣2﹣2k，
∵直线PB与抛物线y＝﹣x2+x交于B，C，
∴﹣x2+x＝kx﹣2﹣2k，
化简得：x2+（k﹣1）x﹣2﹣2k＝0，
∴xB+xC＝﹣4（k﹣1），xB•xC＝﹣8﹣8k，
设直线AC的解析式为y＝fx+d，与抛物线交于点B，C，
∴﹣x2+x＝fx+d，
化简得：x2+（f﹣1）x+d＝0，
∴xA+xC＝﹣4（f﹣1），xA•xC＝4d，
∴xB+xC+xA+xC＝﹣4（k﹣1）﹣4（f﹣1），xB•xC+xA•xC＝﹣8﹣8k+4d，
∵xA+xB＝4，
∴xC＝﹣2k﹣2f+2，xC＝d﹣2﹣2k，
∴﹣2k﹣2f+2＝d﹣2﹣2k，
∴﹣2f+4＝d，
∴直线AC的解析式为y＝fx﹣2f+4＝f（x﹣2）+4，
当x＝2时，y＝4，
∴直线AC必过定点（2，4）．
2021年浙江省杭州市中考数学仿真试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a2b﹣1）2＝
B．（a+b）2＝a2+b2
C．﹣3＝﹣2
D．+＝
2．已知a+b＝2，ab＝﹣3，则（3﹣a）（3﹣b）的值为（ ）
A．2 B．﹣3 C．0 D．﹣1
3．如果x是最大的负整数，y是绝对值最小的整数，则﹣x2017+y的值是（ ）
A．﹣2017 B．﹣1 C．1 D．2017
4．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（ ）
A． B． C． D．
5．已知x＝4是关于x的方程kx+b＝0（k≠0，b＞0）的解，则关于x的不等式k（x﹣3）+2b＞0的解集是（ ）
A．x＞11 B．x＜11 C．x＞7 D．x＜7
6．函数y＝|x﹣1|的图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．某校为了解学生的出行方式，通过调查制作了如图所示的条形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ）
A．步行的人数最少
B．骑自行车的人数为90
C．步行与骑自行车的总人数比坐公共汽车的人数要多
D．坐公共汽车的人数占总人数的50%
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）
A．abc＞0
B．4ac﹣b2＜0
C．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根
D．关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根x1取值范围为：1＜x1＜2
9．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（ ）
A．40° B．50° C．55° D．70°
10．如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为A→B→C，动点Q的运动路线为B→D．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若关于x的分式方程＝2a无解，则a的值为 ．
12．（4分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝40°，则∠2＝ ．
13．（4分）若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是 ．
14．（4分）在﹣2，0，1，2这四个数中任取两数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为 ．
15．（4分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，点P为CD的中点，若点D在圆上逆时针运动的路径长为π，则点P运动的路径长为 ．
16．（4分）如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有 个．
三、解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：
（1）2（x+1）＝1﹣（x+3）．
（2）+1＝．
18．（8分）（1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项测试，他们各自的成绩如下表所示：
应聘者
专业知识
讲课
答辩
甲
70
85
80
乙
90
85
75
丙
80
90
85
按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权5：4：1．请计算三名应聘者的平均成绩，从成绩看，应该录取谁？
（2）我市举行了某学科实验操作考试，有A、B、C、D四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．小王，小张，小厉都参加了本次考试．
①小厉参加实验D考试的概率是 ；
②用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率．
19．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．
（1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE；
（2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB．
20．（10分）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．
（1）求v与t的函数关系式及t值的取值范围；
（2）客车上午8点从甲地出发．
①客车需在当天14点40分至15点30分（含14点40分与15点30分）间到达乙地，求客车行驶速度v的范围；
②客车能否在当天12点30分前到达乙地？说明理由．
21．（10分）已知，如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∠ADE＝90°，AD＝DE＝AC，连接BD，CE．
（1）如图1，当点D恰好在AC上时，则＝ ；
（2）如图2，如果∠ADE绕点A顺时针旋转一周，在旋转的过程中（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）若AC＝4，在旋转的过程中，请直接写出CE的最大值和最小值．
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．
（1）求证：MH为⊙O的切线．
（2）若MH＝，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．
23．（12分）已知抛物y＝ax2+bx．
（1）若抛物线与一次函数y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，求a、b满足的关系式；
（2）设点Q为抛物线上的顶点，点P为平面内一点，若点P坐标为（2，﹣2），S△OPQ＝3，且OP＞OQ，抛物线经过点A（m，n）和点B（4﹣m，n），直线PB与抛物线的另一交点为C．
①求抛物线的解析式；
②证明：对于任意实数m，直线AC必过一定点．
2021年浙江省杭州市中考数学仿真试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a2b﹣1）2＝
B．（a+b）2＝a2+b2
C．﹣3＝﹣2
D．+＝
【分析】根据积的乘方，完全平方公式，二次根式的加减，分式的加减，分别计算各选项即可．
【解答】解：A选项，原式＝4a4b﹣2＝，故该选项正确，符合题意；
B选项，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故该选项错误，不符合题意；
C选项，原式＝﹣2，故该选项错误，不符合题意；
D选项，原式＝＝＝，故该选项错误，不符合题意．
故选：A．
2．已知a+b＝2，ab＝﹣3，则（3﹣a）（3﹣b）的值为（ ）
A．2 B．﹣3 C．0 D．﹣1
【分析】利用多项式乘以多项式的计算法则进行计算，然后代入求值即可．
【解答】解：（3﹣a）（3﹣b）＝9﹣3a﹣3b+ab＝9﹣3（a+b）+ab，
∵a+b＝2，ab＝﹣3，
∴（3﹣a）（3﹣b）＝9﹣3×2+（﹣3）＝0，
故选：C．
3．如果x是最大的负整数，y是绝对值最小的整数，则﹣x2017+y的值是（ ）
A．﹣2017 B．﹣1 C．1 D．2017
【分析】根据有理数的有关概念得出x、y的值，再代入计算即可．
【解答】解：根据题意知x＝﹣1，y＝0，
则原式＝﹣（﹣1）2017+0
＝﹣（﹣1）
＝1，
故选：C．
4．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】在直角△ABC中，由tanα＝，可设AC＝4x，那么BC＝3x，根据勾股定理求出AB＝5x，那么A′B′＝AB＝5x．在直角△A′B′C中，根据勾股定理列出方程（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，求出x＝1，然后利用余弦函数的定义即可求解．
【解答】解：如图．∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，
∴可设AC＝4x，那么BC＝3x，
∴AB＝＝＝5x，
∴A′B′＝AB＝5x．
∵在直角△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝4x﹣1，B′C＝3x+1，
∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，
解得x＝1，
∴A′C＝3，B′C＝4，A′B′＝5，
∴cosβ＝．
故选：A．
5．已知x＝4是关于x的方程kx+b＝0（k≠0，b＞0）的解，则关于x的不等式k（x﹣3）+2b＞0的解集是（ ）
A．x＞11 B．x＜11 C．x＞7 D．x＜7
【分析】将x＝4代入方程，求出b＝﹣4k＞0，求出k＜0，把b＝﹣4k代入不等式，再求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵x＝4是关于x的方程kx+b＝0（k≠0，b＞0）的解，
∴4k+b＝0，
即b＝﹣4k＞0，
∴k＜0，
∵k（x﹣3）+2b＞0，
∴kx﹣3k﹣8k＞0，
∴kx＞11k，
∴x＜11，
故选：B．
6．函数y＝|x﹣1|的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数解析式求得该函数的性质，然后再作出选择．
【解答】解：∵函数y＝|x﹣1|＝，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小；
故选：B．
7．某校为了解学生的出行方式，通过调查制作了如图所示的条形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ）
A．步行的人数最少
B．骑自行车的人数为90
C．步行与骑自行车的总人数比坐公共汽车的人数要多
D．坐公共汽车的人数占总人数的50%
【分析】根据条形统计图中所反映的信息，逐项进行判断即可．
【解答】解：由条形统计图可知，出行方式中步行的有60人，骑自行车的有90人，乘公共汽车的有150人，
因此得出的总人数为60+90+150＝300（人），乘公共汽车占×100%＝50%，60+90＝150（人），
所以选项A、B、D都是正确的，因此不符合题意；
选项C是不正确的，因此符合题意；
故选：C．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）
A．abc＞0
B．4ac﹣b2＜0
C．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根
D．关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根x1取值范围为：1＜x1＜2
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，可对C进行判断；根据抛物线的对称性，可对D进行判断．
【解答】解：A．∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
故A正确；
B．∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，
故B正确；
C．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n），
∴函数有最大值n，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无实数根，
故C正确；
D．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根x1取值范围为：0＜x1＜1，
故D错误；
故选：D．
9．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（ ）
A．40° B．50° C．55° D．70°
【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解．
【解答】解：∵∠AOF＝40°，
∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠E＝∠FOB＝70°
故选：D．
10．如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为A→B→C，动点Q的运动路线为B→D．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况：P点在AB上运动和P点在BC上运动时；分别求出解析式即可．
【解答】解：（1）点P在AB上运动时，0＜x≤5，如右图，
∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥AB交AB于点E，
则有AP＝PQ＝x，∠EBQ＝∠DQC＝45°，
∴BP＝5﹣x，QE＝x，
∴△BPQ的面积为：y＝BP•QE＝＝﹣x2+x（0＜x≤5），
∴此时图象为抛物线开口方向向下；
（2）点P在BC上运动时，5＜x≤5，如右图，
∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥BC交BC于点E，
则有AP+BP＝BQ＝x，∠DQC＝45°，
∴BP＝x﹣5，QE＝x，
∴△BPQ的面积为：y＝BP•QE＝×（x﹣5）×x＝x2﹣x（5＜x≤5），
∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大；
综上，只有选项B的图象符合，
故选：B．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若关于x的分式方程＝2a无解，则a的值为 0.5或1.5 ．
【分析】直接解分式方程，再分类讨论当1﹣2a＝0时，当1﹣2a≠0时，分别得出答案．
【解答】解：＝2a，
去分母得：x﹣2a＝2a（x﹣3），
整理得：（1﹣2a）x＝﹣4a，
当1﹣2a＝0时，方程无解，故a＝0.5；
当1﹣2a≠0时，x＝＝3时，分式方程无解，则a＝1.5，
则a的值为0.5或1.5．
故答案为：0.5或1.5．
12．（4分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝40°，则∠2＝ 80° ．
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，
由题意得，∠3＝60°，
∵∠1＝40°，
∴∠4＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠2＝80°，
故答案为：80°．
13．（4分）若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是 2 ．
【分析】设另一个因式是x+a，根据已知得出（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，再进行化简，即可求出a、m值．
【解答】解：∵多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，
∴设另一个因式是x+a，
则（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，
∵（x2﹣x+2）（x+a）
＝x3+ax2﹣x2﹣ax+2x+2a
＝x3+（a﹣1）x2+（﹣a+2）x+2a，
∴a﹣1＝0，2a＝m，
解得：a＝1，m＝2，
故答案为：2．
14．（4分）在﹣2，0，1，2这四个数中任取两数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为 ．
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，根据二次函数的性质确定顶点在坐标轴上的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的结果数为6，
所以二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率＝＝，
故答案为：．
15．（4分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，点P为CD的中点，若点D在圆上逆时针运动的路径长为π，则点P运动的路径长为 π ．
【分析】如图，连接OA，OB，AD，OP，OD，过点O作OH⊥AB于H．证明△OHA≌△CPO（AAS），推出OP＝AH＝3，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OP为半径的圆，求出点D旋转的角度即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA，OB，AD，OP，OD，过点O作OH⊥AB于H．
∵AC⊥BD，
∴∠DAC+∠ADB＝90°，
∵∠DOC＝2∠DAC，∠AOB＝2∠ADB，
∴∠DOC+∠AOB＝180°，
∵OH⊥AB，DP＝PC，
∴OP⊥CD，AH＝HB＝AB＝3，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴∠AOH＝∠BOH，∠COP＝∠DOP，
∴∠AOH+∠COP＝90°，
∵∠AOH+∠OAH＝90°，
∴∠COP＝∠OAH，
∵∠AHO＝∠CPO＝90°，OA＝OC，
∴△OHA≌△CPO（AAS），
∴OP＝AH＝3，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OP为半径的圆，
∵点D在圆上逆时针运动的路径长为π，设圆心角为n，
∴＝π，
∴n＝60°，
∵OD，OP的旋转角度相等，
∴点P的运动路径的长＝＝π．
故答案为：π．
16．（4分）如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有 4 个．
【分析】此题应分四种情况考虑：
①∠POQ＝∠OAH＝60°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标；
②∠POQ＝∠AOH＝30°，此时∠POH＝60°，即直线OP：y＝x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH＝OQ、AH＝PQ，由此得到点A的坐标．
③当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠AOH＝30°时，此时△QOP≌△AOH；
④当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠OAH＝60°，此时△OQP≌△AOH；
【解答】解：①当∠POQ＝∠OAH＝60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH＝30°，设A坐标为（a，b），
在直角三角形OAH中，tan∠AOH＝tan30°＝＝，
设直线OA的方程为y＝kx，把A的坐标代入得k＝＝，
所以直线OA：y＝x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 ，；
故A（，）；
②当∠POQ＝∠AOH＝30°，此时△POQ≌△AOH；
易知∠POH＝60°，则直线OP：y＝x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 ，；
故P（，3），那么A（3，）；
③当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠AOH＝30°时，此时△QOP≌△AOH；
易知∠POH＝60°，则直线OP：y＝x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 、，
故P（，3），
∴OP＝2，QP＝2，
∴OH＝OP＝2，AH＝QP＝2，
故A（2，2）；
④当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠OAH＝60°，此时△OQP≌△AOH；
此时直线OP：y＝x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 、，
∴P（，），
∴QP＝，OP＝，
∴OH＝QPQP＝，AH＝OP＝，
故A（，）．
综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：（，）或（3，）或（2，2）或（，）．
故答案为：4．
三、解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：
（1）2（x+1）＝1﹣（x+3）．
（2）+1＝．
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）去括号得：2x+2＝1﹣x﹣3，
移项合并得：3x＝﹣4，
解得：x＝﹣；
（2）去分母得：10x﹣14+12＝9x﹣3，
移项合并得：x＝﹣1．
18．（8分）（1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项测试，他们各自的成绩如下表所示：
应聘者
专业知识
讲课
答辩
甲
70
85
80
乙
90
85
75
丙
80
90
85
按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权5：4：1．请计算三名应聘者的平均成绩，从成绩看，应该录取谁？
（2）我市举行了某学科实验操作考试，有A、B、C、D四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．小王，小张，小厉都参加了本次考试．
①小厉参加实验D考试的概率是 ；
②用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率．
【分析】（1）根据加权平均数分别计算三人的平均成绩，比较大小即可得；
（2）①根据概率公式即可得；②列表得出所有等可能的情况数，找出两位同学抽到同一实验的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：（1）＝＝77（分），
＝＝86.5（分），
＝＝84.5（分），
因为乙的平均成绩最高，
所以应该录取乙；
（2）①小厉参加实验D考试的概率是，
故答案为：；
②解：列表如下：
A
B
C
D
A
AA
BA
CA
DA
B
AB
BB
CB
DB
C
AC
BC
CC
DC
D
AD
BD
CD
DD
所有等可能的情况有16种，其中两位同学抽到同一实验的情况有AA，BB，CC，DD，4种情况，
所以小王、小张抽到同一个实验的概率为＝．
19．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．
（1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE；
（2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB．
【分析】（1）利用AC＝BD得到＝，则＝，然后根据圆周角定理得到∠ADB＝∠CAD，从而得到结论；
（2）作直径CF，连接DF，如图2，先利用垂直定义得到∠ADE+∠CAD＝90°，再利用圆周角定理得到∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，∠CDF＝90°，然后根据等角的余角相等得到结论．
【解答】证明：（1）∵AC＝BD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴∠ADB＝∠CAD，
∴AE＝DE；
（2）作直径CF，连接DF，如图2，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，
∴∠ACB+∠F＝90°，
∵CF为直径，
∴∠CDF＝90°，
∴∠F+∠FCD＝90°，
∴∠ACB＝∠FCD，
即∠OCD＝∠ACB．
20．（10分）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．
（1）求v与t的函数关系式及t值的取值范围；
（2）客车上午8点从甲地出发．
①客车需在当天14点40分至15点30分（含14点40分与15点30分）间到达乙地，求客车行驶速度v的范围；
②客车能否在当天12点30分前到达乙地？说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①当t＝（8点到下午14点40分）时，v＝＝600÷＝90（千米/小时），当t＝时，v＝＝600÷＝80（千米/小时），即可求解；
②当天12点30分到达时，t＝4.5小时＜5，而5≤t≤10，即可求解．
【解答】解：（1）设v与t的函数关系式为v＝，
将（5，120）代入v＝，得：120＝，
解得：k＝600，
∴v与t的函数关系式为v＝（5≤t≤10）；
（2）①当t＝（8点到下午14点40分）时，v＝＝600÷＝90（千米/小时），
当t＝时，v＝＝600÷＝80（千米/小时），
∴客车行驶速度v的范围为80千米/小时≤v≤90千米/小时；
②当天12点30分到达时，t＝4.5小时＜5，
而5≤t≤10，
故客车不能在当天12点30分前到达乙地．
21．（10分）已知，如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∠ADE＝90°，AD＝DE＝AC，连接BD，CE．
（1）如图1，当点D恰好在AC上时，则＝ ；
（2）如图2，如果∠ADE绕点A顺时针旋转一周，在旋转的过程中（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）若AC＝4，在旋转的过程中，请直接写出CE的最大值和最小值．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可求BD＝CD，CE＝CD，即可求解；
（2）通过证明△DAB∽△EAC，可得结论；
（3）由点D在以点A为圆心，AD为半径的圆上，可得当点D在线段AB上时，BD有最小值为2﹣2，当点D在BA的延长线上时，BD有最大值为2+2，即可求解．
【解答】解：（1）当点D恰好在AC上时，
∵AD＝AC，
∴AD＝DC＝AC＝DE，
∵∠ABC＝90°＝∠ADE，
∴BD＝CD，CE＝CD，
∴＝，
故答案为：；
（2）结论仍然成立，理由如下：
连接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝45°，
∴，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴，
∴，∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，，
∴△DAB∽△EAC，
∴；
（3）∵AD＝AC，AC＝4，
∴AD＝2，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，AC＝4，
∴AB＝BC＝2，
∵∠ADE绕点A顺时针旋转一周，
∴点D在以点A为圆心，AD为半径的圆上，如图3，
∴当点D在线段AB上时，BD有最小值为2﹣2，
当点D在BA的延长线上时，BD有最大值为2+2，
∵＝，
∴CE的最大值为4+2，最小值为4﹣2．
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．
（1）求证：MH为⊙O的切线．
（2）若MH＝，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．
【分析】（1）连接OH、OM，易证OH是△ABC的中位线，利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH，所以∠HCO＝∠HMO＝90°，从而可知MH是⊙O的切线；
（2）由切线长定理可知：MH＝HC，再由点M是AC的中点可知AC＝3，由tan∠ABC＝，所以BC＝4，从而可知⊙O的半径为2；
（3）连接CN，AO，CN与AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切线可知AO⊥CN，利用等面积可求出可求得CI的长度，设CE为x，然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ．
【解答】解：（1）连接OH、OM，
∵H是AC的中点，O是BC的中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH∥AB，
∴∠COH＝∠ABC，∠MOH＝∠OMB，
又∵OB＝OM，
∴∠OMB＝∠MBO，
∴∠COH＝∠MOH，
在△COH与△MOH中，
，
∴△COH≌△MOH（SAS），
∴∠HCO＝∠HMO＝90°，
∴MH是⊙O的切线；
（2）∵MH、AC是⊙O的切线，
∴HC＝MH＝，
∴AC＝2HC＝3，
∵tan∠ABC＝，
∴＝，
∴BC＝4，
∴⊙O的半径为2；
（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，
∵AC与AN都是⊙O的切线，
∴AC＝AN，AO平分∠CAD，
∴AO⊥CN，
∵AC＝3，OC＝2，
∴由勾股定理可求得：AO＝，
∵AC•OC＝AO•CI，
∴CI＝，
∴由垂径定理可求得：CN＝，
设OE＝x，
由勾股定理可得：CN2﹣CE2＝ON2﹣OE2，
∴﹣（2+x）2＝4﹣x2，
∴x＝，
∴OE＝，
由勾股定理可求得：EN＝，
∴由垂径定理可知：NQ＝2EN＝．
另解：先证明：△AOC∽△CNE，
∴，
由勾股定理可知：OA2＝4+9＝13，
∴OA＝，
在△AOC中，CI⊥OA，
CI×OA＝2×3，
∴CI＝，
∴CN＝，
∴＝，
∴NE＝，
∴NQ＝2EN＝．
23．（12分）已知抛物y＝ax2+bx．
（1）若抛物线与一次函数y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，求a、b满足的关系式；
（2）设点Q为抛物线上的顶点，点P为平面内一点，若点P坐标为（2，﹣2），S△OPQ＝3，且OP＞OQ，抛物线经过点A（m，n）和点B（4﹣m，n），直线PB与抛物线的另一交点为C．
①求抛物线的解析式；
②证明：对于任意实数m，直线AC必过一定点．
【分析】（1）根据题意，列出一元二次方程后，根据根的判别式等于0，列方程即可；
（2）①由抛物线经过点A（m，n）和点B（4﹣m，n），可求得对称轴为x＝2，根据S△OPQ＝3，可求得点Q的坐标，进而可求得抛物线解析式；
②运用待定系数法和根与系数关系表示出AC解析式，根据解析式即可判断经过的定点．
【解答】解：（1）由题意得，方程ax2+bx＝﹣x﹣1有两个相等的实数根，
∴（b+1）2﹣4a＝0，
∴a＝；
（2）①∵抛物线经过点A（m，n）和点B（4﹣m，n），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝2，
设Q（2，q），
∵P（2，﹣2），
∴PQ∥y轴，
∵S△OPQ＝PQ×2＝PQ，S△OPQ＝3，
∴PQ＝3，
∵OP＞OQ，
∴Q点的坐标为（2，1），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，把（0，0）代入得：a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1，即y＝﹣x2+x；
②证明：设直线PB的解析式为y＝kx+b，把P（2，﹣2）代入得：﹣2＝2k+b，
∴b＝﹣2﹣2k，
∴直线PB的解析式为y＝kx﹣2﹣2k，
∵直线PB与抛物线y＝﹣x2+x交于B，C，
∴﹣x2+x＝kx﹣2﹣2k，
化简得：x2+（k﹣1）x﹣2﹣2k＝0，
∴xB+xC＝﹣4（k﹣1），xB•xC＝﹣8﹣8k，
设直线AC的解析式为y＝fx+d，与抛物线交于点B，C，
∴﹣x2+x＝fx+d，
化简得：x2+（f﹣1）x+d＝0，
∴xA+xC＝﹣4（f﹣1），xA•xC＝4d，
∴xB+xC+xA+xC＝﹣4（k﹣1）﹣4（f﹣1），xB•xC+xA•xC＝﹣8﹣8k+4d，
∵xA+xB＝4，
∴xC＝﹣2k﹣2f+2，xC＝d﹣2﹣2k，
∴﹣2k﹣2f+2＝d﹣2﹣2k，
∴﹣2f+4＝d，
∴直线AC的解析式为y＝fx﹣2f+4＝f（x﹣2）+4，
当x＝2时，y＝4，
∴直线AC必过定点（2，4）．
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