高考数学一轮复习　第七章 第2节空间点、直线、平面的位置关系

这是一份高考数学一轮复习　第七章 第2节空间点、直线、平面的位置关系，共20页。试卷主要包含了平行公理和等角定理，异面直线所成的角等内容，欢迎下载使用。

知 识 梳 理
1.平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
3.平行公理(公理4)和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4.异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
[微点提醒]
1.公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.
2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )
(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.( )
解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.
(4)由于a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )
A.30° B.45°C.60° D.90°
解析 连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.
答案 C
3.(必修2P45例2改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
解析 如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形.
答案 B
4.(2019·聊城调研)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )
A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行
解析 依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.
答案 D
5.(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
解析 法一 对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A项中直线AB与平面MNQ不平行.

图(1) 图(2)
法二 对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.
答案 A
6.(2018·宁波月考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条.
解析 在EF上任意取一点M，如图，
直线A1D1与M确定一个平面，
这个平面与CD有且仅有1个交点N，
当M取不同的位置就确定不同的平面，
从而与CD有不同的交点N，
而直线MN与这3条异面直线都有交点.
故在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有无数条.
答案 无数
考点一 平面的基本性质及应用
【例1】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点.
证明 (1)如图，连接CD1，EF，A1B，
因为E，F分别是AB和AA1的中点，
所以EF∥A1B且EF＝eq \f(1,2)A1B.
又因为A1D1綉BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形.
所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，
所以EF与CD1确定一个平面α.
所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面.
(2)由(1)知，EF∥CD1，且EF＝eq \f(1,2)CD1，
所以四边形CD1FE是梯形，
所以CE与D1F必相交.设交点为P，
则P∈CE⊂平面ABCD，
且P∈D1F⊂平面A1ADD1，
所以P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.
又因为平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，
所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线共点.
规律方法 1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.
2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.
3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
【训练1】 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.
证明 (1)∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD.
∵在△BCD中，eq \f(BG,GC)＝eq \f(DH,HC)＝eq \f(1,2)，
∴GH∥BD，∴EF∥GH.
∴E，F，G，H四点共面.
(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，
∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点.
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
∴P∈AC，∴P，A，C三点共线.
考点二 判断空间直线的位置关系
【例2】 (1)(一题多解)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A.l与l1，l2都不相交
B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交
D.l至少与l1，l2中的一条相交
(2)将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )
A.相交且垂直 B.相交但不垂直
C.异面且垂直 D.异面但不垂直
解析 (1)法一 由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.
法二 如图(1)，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图(2)，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.
(2)折起前AD⊥BC，折起后有AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.又AD与BC不相交，故AD与BC异面且垂直.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.异面直线的判定方法：
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.
(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.
【训练2】 (1)(2018·湘潭调研)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有( )
A.①③ B.②③
C.②④ D.②③④
(2)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则( )
A.m与n异面
B.m与n相交
C.m与n平行
D.m与n异面、相交、平行均有可能
解析 (1)由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH与MN异面.故选C.
(2)在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误.故选D.
答案 (1)C (2)D
考点三 异面直线所成的角 多维探究
角度1 求异面直线所成的角或其三角函数值
【例3－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq \r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),6) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(2),2)
解析 法一 如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角.
因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq \r(3)，
AD1＝eq \r(AD2＋DDeq \\al(2,1))＝2，
DM＝eq \r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AB))\s\up12(2))＝eq \f(\r(5),2)，
DB1＝eq \r(AB2＋AD2＋DDeq \\al(2,1))＝eq \r(5).所以OM＝eq \f(1,2)AD1＝1，OD＝eq \f(1,2)DB1＝eq \f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，
得cs∠MOD＝eq \f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×1×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(5),5)，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq \f(\r(5),5).
法二 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，eq \r(3))，B1(1，1，eq \r(3))，
所以eq \(AD1,\s\up6(→))＝(－1，0，eq \r(3))，eq \(DB1,\s\up6(→))＝(1，1，eq \r(3)).
则cs〈eq \(AD1,\s\up6(→))，eq \(DB1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AD1,\s\up6(→))·\(DB1,\s\up6(→)),|\(AD1,\s\up6(→))|·|\(DB1,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,2\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq \f(\r(5),5).
答案 C
角度2 由异面直线所成角求其他量
【例3－2】 在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________.
解析 如图，取BC的中点O，连接OE，OF.
因为OE∥AC，OF∥BD，
所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝eq \f(1,2).当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×eq \f(\r(3),4)＝eq \f(\r(3),2).
答案 eq \f(1,2)或eq \f(\r(3),2)
规律方法 用平移法求异面直线所成角的一般步骤：
(1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；
(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小.
【训练3】 (2019·杭州模拟)三棱锥A－BCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(2),4) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2,3)
解析 连接DN，取DN的中点O，连接MO，BO，
∵M是AD的中点，
∴MO∥AN，
∴∠BMO(或其补角)是异面直线BM与AN所成的角.
设三棱锥A－BCD的所有棱长为2，
则AN＝BM＝DN＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，
则MO＝eq \f(1,2)AN＝eq \f(\r(3),2)＝NO＝eq \f(1,2)DN，
则BO＝eq \r(BN2＋NO2)＝eq \r(1＋\f(3,4))＝eq \f(\r(7),2).
在△BMO中，由余弦定理得
cs∠BMO＝eq \f(BM2＋MO2－BO2,2·BM·MO)＝eq \f(3＋\f(3,4)－\f(7,4),2×\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq \f(2,3)，
∴异面直线BM与AN所成角的余弦值为eq \f(2,3).
答案 D
[思维升华]
1.主要题型的解题方法
(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).
(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上.
2.判定空间两条直线是异面直线的方法
(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.
3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想.
[易错防范]
1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.
2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是( )
A.① B.①④C.②③ D.③④
解析 显然命题①正确.
由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错.
命题③中，两个平面重合或相交，③错.
三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确.
答案 B
2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾.
答案 C
3.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )
A.12对 B.24对 C.36对 D.48对
解析 如图所示，与AB异面的直线有B1C1；CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线eq \f(12×4,2)＝24(对).
答案 B
4.下列命题中正确的个数为( )
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线.
②若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；
③空间中不共面五个点一定能确定10个平面.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 在①中，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与α的交线上，即P，Q，R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A，B两点在该平面上，所以l⊂α，即a，b，l三线共面于α；同理a，c，l三线也共面，不妨设为β，而α，β有两条公共的直线a，l，所以α与β重合，故这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错.
答案 C
5.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5)C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
解析 连接BC1，易证BC1∥AD1，
则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.
连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，
则A1C1＝eq \r(2)，A1B＝BC1＝eq \r(5)，
在△A1BC1中，由余弦定理得
cs∠A1BC1＝eq \f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq \f(4,5).
答案 D
二、填空题
6.给出下列四个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；
③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；
④若三条直线两两相交，则这三条直线共面.
其中真命题的序号是________.
解析 ①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点.②正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交.③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面.④错误，这三条直线可以交于同一点，但不一定在同一平面内.
答案 ①②③
7.(2019·西安模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________.
解析 如图，将原图补成正方体ABCD－QGHP，连接GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，
在△AGP中，AG＝GP＝AP，
所以∠APG＝eq \f(π,3).
答案 eq \f(π,3)
8.矩形ABCD中，AB＝eq \r(3)，BC＝1，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围(包含初始状态)为________.
解析 根据题意，初始状态，直线AD与直线BC成的角为0，当BD＝eq \r(2)时，AD⊥DB，AD⊥DC，且DB∩DC＝D，
所以AD⊥平面DBC，又BC⊂平面DBC，故AD⊥BC，
直线AD与BC成的角为eq \f(π,2)，
所以在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围(包含初始状态)为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
三、解答题
9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求AC与A1D所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.
解 (1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而∠B1CA就是AC与A1D所成的角.
因为AB1＝AC＝B1C，
所以∠B1CA＝60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
(2)连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，
因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD，所以EF⊥AC.
所以EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1，H，O三点共线.
证明 如图，连接BD，B1D1，
则BD∩AC＝O，
∵BB1綉DD1，
∴四边形BB1D1D为平行四边形.
又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，
则H∈平面BB1D1D，
∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.
故D1，H，O三点共线.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2019·青岛质检)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
解析 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.
若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直.
因此l1与l4的位置关系不能确定.
答案 D
12.(2019·珠海模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成角的正切值为( )
A.eq \f(1,2) B.2 C.eq \f(1,4) D.4
解析 取A′D的中点N，连接PN，MN.
∵M是A′C的中点，
∴MN∥CD，且MN＝eq \f(1,2)CD，
∵四边形ABCD是矩形，P是AB的中点，
∴PB∥CD，且PB＝eq \f(1,2)CD，
∴MN∥PB，且MN＝PB，
∴四边形PBMN为平行四边形，
∴MB∥PN，
∴∠A′PN(或其补角)是异面直线BM与PA′所成的角.
在Rt△A′PN中，tan∠A′PN＝eq \f(A′N,A′P)＝eq \f(1,2)，
∴异面直线BM与PA′所成角的正切值为eq \f(1,2).
答案 A
13.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号).
①AC⊥BE；
②B1E∥平面ABCD；
③三棱锥E－ABC的体积为定值；
④B1E⊥BC1.
解析 因AC⊥平面BDD1B1，故①正确；因B1D1∥平面ABCD，故②正确；记正方体的体积为V，则VE－ABC＝eq \f(1,6)V，为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误.
答案 ①②③
14.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.
(1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.
解 (1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，
所以四棱锥O－ABCD的体积V＝eq \f(1,3)×4×2＝eq \f(8,3).
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，∴ME∥OC，
则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝eq \r(2)，EM＝eq \r(3)，MD＝eq \r(5)，
∵(eq \r(2))2＋(eq \r(3))2＝(eq \r(5))2，即DE2＋EM2＝MD2，
∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，
∴tan∠EMD＝eq \f(DE,EM)＝eq \f(\r(2),\r(3))＝eq \f(\r(6),3).
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为eq \f(\r(6),3).
新高考创新预测
15.(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列结论正确的有( )
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与MB1是异面直线
D.直线AM与DD1是异面直线
解析 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故A，B错误，易得C，D正确.
答案 CD直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形
语言
符号
语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交关系
图形
语言
符号
语言
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
独有关系
图形
语言
符号
语言
a，b是异面直线
a⊂α