高考数学一轮复习　第二章 第1节函数的概念

这是一份高考数学一轮复习　第二章 第1节函数的概念，共15页。试卷主要包含了函数的定义域、值域，函数的表示法，分段函数等内容，欢迎下载使用。
考试要求 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用；3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
知 识 梳 理
1.函数的概念
设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
[微点提醒]
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.
2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( )
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(3)f(x)＝eq \r(x－3)＋eq \r(2－x)是一个函数.( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )
解析 (1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.
(2)错误.值域C⊆B，不一定有C＝B.
(3)错误.f(x)＝eq \r(x－3)＋eq \r(2－x)中x不存在.
(4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析 A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2].
答案 B
3.(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A.y＝(eq \r(x＋1))2 B.y＝eq \r(3,x3)＋1
C.y＝eq \f(x2,x)＋1 D.y＝eq \r(x2)＋1
解析 对于A，函数y＝(eq \r(x＋1))2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于C.函数y＝eq \f(x2,x)＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域x∈R不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数.
答案 B
4.(2019·北京海淀区期中)已知f(x5)＝lg x，则f(2)＝( )
A.eq \f(1,5)lg 2 B.eq \f(1,2)lg 5 C.eq \f(1,3)lg 2 D.eq \f(1,2)lg 3
解析 令x5＝2，则x＝2eq \s\up6(\f(1,5))，∴f(2)＝lg 2eq \s\up6(\f(1,5))＝eq \f(1,5)lg 2.
答案 A
5.(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f(x)＝eq \r(4－4x)＋ln(x＋4)的定义域为________.
解析 f(x)有意义，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－4x≥0，,x＋4>0，))解得－40，且x≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z).
∴－1≤x≤1且eq \f(π,4)＋kπ1) (2)eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x＋2 (3)eq \f(2,3)eq \r(x)＋eq \f(1,3)
规律方法 求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.
(2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(3)构造法：已知关于f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).
【训练2】 (1)(2019·杭州检测)已知函数f(x)＝ax－b(a>0)，且f[f(x)]＝4x－3，则f(2)＝________；
(2)若f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，则f(x)＝________.
解析 (1)易知f[f(x)]＝a(ax－b)－b＝a2x－ab－b，
∴a2x－ab－b＝4x－3(a>0)，
因此eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝4，,ab＋b＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1.))
所以f(x)＝2x－1，则f(2)＝3.
(2)因为2f(x)＋f(－x)＝3x，①
所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
答案 (1)3 (2)3x
考点三 分段函数 多维探究
角度1 分段函数求值
【例3－1】 (2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs \f(πx,2)，02eq \s\up6(\f(1,2))＋20＝1＋eq \r(2)>1恒成立，
综上可知，不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞)).
答案 (1)D (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞))
规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.
【训练3】 (1)(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x－2)，x>2，,x2＋2，x≤2，))则f[f(1)]＝( )
A.－eq \f(1,2) B.2 C.4 D.11
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（1－2a）x＋3a，x0不恒成立，C正确；
D中，x＝0时，f(f(x))＝x成立，所以f(f(x))－x>0不恒成立，D正确.
答案 ACD