高考数学一轮复习　第八章 第5节 第1课时

这是一份高考数学一轮复习　第八章 第5节 第1课时，共17页。试卷主要包含了椭圆的标准方程和几何性质，已知椭圆C，设F1，F2为椭圆C等内容，欢迎下载使用。

知 识 梳 理
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
[微点提醒]
点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)1.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(4)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同.( )
解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
(2)因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))，所以e越大，则eq \f(b,a)越小，椭圆就越扁.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(选修2－1P49T1改编)若F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是________.
解析 因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝eq \r(a2－c2)＝4，故点P的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
答案 eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
3.(选修2－1P49A6改编)已知点P是椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，
由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，
把y＝±1代入eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1，得x＝±eq \f(\r(15),2)，
又x＞0，所以x＝eq \f(\r(15),2)，
∴P点坐标为(eq \f(\r(15),2)，1)或(eq \f(\r(15),2)，－1).
答案 (eq \f(\r(15),2)，1)或(eq \f(\r(15),2)，－1)
4.(2018·张家口调研)椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1的焦点坐标为( )
A.(±3，0) B.(0，±3) C.(±9，0) D.(0，±9)
解析 根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3).
答案 B
5.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(2\r(2),3)
解析 不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2eq \r(2)，所以椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
答案 C
6.(2018·武汉模拟)曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与曲线eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(kb>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1.))
∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a>b>0).
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(0,a2)＋\f(4,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(0,b2)＝1，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2，))
与a>b矛盾，故舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n).
∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4m＝1，,n＝1，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,4)，,n＝1.))
综上可知，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
答案 (1)D (2)eq \f(x2,4)＋y2＝1
规律方法 根据条件求椭圆方程的主要方法有：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
【训练2】 (1)(2018·济南模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
(2)(2018·榆林模拟)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
解析 (1)椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，
∵两焦点恰好将长轴三等分，
∴2c＝eq \f(1,3)×2a＝2，得c＝1，
因此，b2＝a2－c2＝9－1＝8，
所以此椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
(2)由题意，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，将A(c，y1)代入椭圆方程得eq \f(c2,a2)＋eq \f(yeq \\al(2,1),b2)＝1，由此求得yeq \\al(2,1)＝eq \f(b4,a2)，所以|AB|＝3＝eq \f(2b2,a)，又c＝1，a2－b2＝c2，可解得a＝2，b2＝3，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
答案 (1)B (2)C
考点三 椭圆的几何性质 多维探究
角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距
【例3－1】 (2018·泉州质检)已知椭圆eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A.8 B.7 C.6 D.5
解析 因为椭圆eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2>0，,10－m>0，,m－2>10－m，))解得60)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
解析 由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，
设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.
∵|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴于点E，则∠PF2E＝60°，所以|F2E|＝c，|PE|＝eq \r(3)c，即点P(2c，eq \r(3)c).∵点P在过点A，且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，
∴eq \f(\r(3)c,2c＋a)＝eq \f(\r(3),6)，解得eq \f(c,a)＝eq \f(1,4)，∴e＝eq \f(1,4).
答案 D
角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题
【例3－3】 (2017·全国Ⅰ卷)设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，eq \r(3)]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，eq \r(3)]∪[4，＋∞)
解析 ①当焦点在x轴上，依题意得
0b>0)的右焦点F和上顶点B，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \r(2) C.2 D.eq \f(\r(2),2)
解析 由题意得，椭圆的右焦点F为(c，0)，上顶点B为(0，b).因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝2经过右焦点F和上顶点B，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（c－1）2＋1＝2，,1＋（b－1）2＝2，))解得b＝c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，解得a＝2eq \r(2)，所以椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
答案 D
4.(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为( )
A.eq \f(4,3) B.1 C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,4)
解析 不妨设A点在B点上方，由题意知：F2(1，0)，将F2的横坐标代入椭圆方程eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1中，可得A点纵坐标为eq \f(3,2)，故|AB|＝3，所以由S＝eq \f(1,2)Cr得内切圆半径r＝eq \f(2S,C)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4)(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长).
答案 D
5.已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是( )
A.eq \r(2) B.2 C.2eq \r(2) D.eq \r(3)
解析 由椭圆的方程可知a＝2，c＝eq \r(2)，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F1F2|＝2c＝2eq \r(2)，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1为直角，
所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2||PF2|＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×1＝eq \r(2).
答案 A
二、填空题
6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2eq \r(3))且a＝2b，则椭圆的标准方程为________.
解析 ∵c＝2eq \r(3)，a2＝4b2，∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，
b2＝4，a2＝16.又焦点在y轴上，
∴标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1.
答案 eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1
7.设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB的面积为4eq \r(3)的等边三角形，则椭圆C的方程为______________.
解析 ∵△F2AB是面积为4eq \r(3)的等边三角形，
∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝eq \f(b2,a).
又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，
∴eq \f(b2,a)＝eq \f(\r(3),3)×2c.①
又S△F2AB＝eq \f(1,2)×2c×eq \f(2b2,a)＝4eq \r(3)，②
a2＝b2＋c2，③
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1.
答案 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1
8.(2019·昆明诊断)椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.
解析 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
则m＝|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq \s\up12(2)＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，等号成立，即m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0).
答案 (－3，0)或(3，0)
三、解答题
9.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3).若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程.
解 设所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0).
设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0).
∵F1A⊥F2A，∴eq \(F1A,\s\up6(→))·eq \(F2A,\s\up6(→))＝0，
而eq \(F1A,\s\up6(→))＝(－4＋c，3)，eq \(F2A,\s\up6(→))＝(－4－c，3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5，0)，F2(5，0).
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝eq \r(（－4＋5）2＋32)＋eq \r(（－4－5）2＋32)
＝eq \r(10)＋eq \r(90)＝4eq \r(10).
∴a＝2eq \r(10)，∴b2＝a2－c2＝(2eq \r(10))2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1.
10.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2B,\s\up6(→))，eq \(AF1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)，求椭圆的方程.
解 (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝eq \r(2)c，椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
(2)由题知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝eq \r(a2－b2)，设B(x，y).
由eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2B,\s\up6(→))，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝eq \f(3c,2)，y＝－eq \f(b,2)，即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)，－\f(b,2))).
将B点坐标代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，得eq \f(\f(9,4)c2,a2)＋eq \f(\f(b2,4),b2)＝1，
即a2＝3c2.①
又由eq \(AF1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(－c，－b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)，－\f(3b,2)))＝eq \f(3,2)，
得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若eq \(NM,\s\up6(→))·eq \(NF,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2)－1,2) C.eq \f(\r(3)－1,2) D.eq \f(\r(5)－1,2)
解析 由题意知，M(－a，0)，N(0，b)，F(c，0)，∴eq \(NM,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq \(NF,\s\up6(→))＝(c，－b).∵eq \(NM,\s\up6(→))·eq \(NF,\s\up6(→))＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac.又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac.∴e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(5)－1,2)或e＝eq \f(－\r(5)－1,2)(舍).∴椭圆的离心率为eq \f(\r(5)－1,2).
答案 D
12.(2019·湖南湘东五校联考)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°