高考数学一轮复习 空间几何的外接球和内切球问题

这是一份高考数学一轮复习 空间几何的外接球和内切球问题，共5页。试卷主要包含了球表面积S=4 2等内容，欢迎下载使用。

外接球定义：在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．
简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是①确定球心的位置 ②在Rt△用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r可根据正弦定理求得）．
由以上性质，可以得到确定简单几何体外接球球心的如下类型；
类型1：正方体或长方体外接球的球心在其体对角线的中点。
常见构成长方体或正方体方法：同一顶点三条侧棱两两垂直(如图1)；四个面都是直角三角形的三棱锥（如图2）；相对棱相等的三菱锥（如图12）；正四面体；三个侧面两两垂直的三棱锥等等。
例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ C ）
A． B． C． D．
（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是
（3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 。
（4）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为
（5）在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为 。
类型2：正棱柱或直棱柱(圆柱)的球心在上下底面外心连线中点处。
推论：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）可补成直三菱柱或长方体。
公式：,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理
例 （1）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。
(3)四面体的四个顶点都在球的表面上，，是边长为3的等边三角形，若，则球的表面积为( ) A．B．C．D．
类型3：正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）的球心在其顶点与底面外心连线线段(或延长线）上。
半径公式：（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理
（一边一对角)
例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为，体积为，则这个球的表面积是____.
练习2．正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该三棱锥的外接球体积等于 .
类型4：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。
题设：，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接
，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。
例1 在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ C ）
A． B． C． D．
（2）在矩形中，，，沿将矩形折叠，连接，所得三棱锥的外接球的表面积为 ．
类型5、两个平面互相垂直
例1，已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为 。
例2 三棱锥中，平面平面，△和△均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 .
类型六、锥体的内切球问题
1．题设：如图14，三棱锥上正三棱锥，求其外接球的半径。
第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
2．题设：如图15，四棱锥上正四棱锥，求其外接球的半径
第一步：先现出内切球的截面图，三点共线；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
3．题设：三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为，建立等式：
第三步：解出