青岛版九年级上册1.3 相似三角形的性质教案

1.3相似三角形的性质

教学目标

【知识与能力】

1.了解相似三角形对应线段的比等于相似比. 了解相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.

2.能应用相似三角形的性质进行有关计算. 能应用相似三角形的性质进行有关周长、面积的计算.

【过程与方法】

1.通过探究、讨论、猜想、证明,让学生经历探索相似三角形性质的过程,体会探索研究问题的一般思路和方法.

2.利用相似三角形的性质解决问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.

【情感态度价值观】

1.经历观察、引导、实践、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力.

2.经历观察——猜想——证明——归纳等探究过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度.

教学重难点

【教学重点】

相似三角形的性质定理的探索及应用.

【教学难点】  

相似三角形性质的归纳推理.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

复习提问:

1.什么叫相似三角形?判定方法有哪些?

2.相似三角形有哪些基本特征?

【师生活动】　学生思考回答,教师点评.

[导入语]　我们已经知道:两个相似三角形的对应角相等,对应边成比例,除了这些基本性质外,还有什么性质呢?这就是我们这节课要探究的内容.

导入二:

【课件展示】　小华做小孔成像实验,如下图,已知蜡烛与成像板间的距离为l,当蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时,蜡烛焰AB是像A'B'的一半长?

【教师活动】　教师展示课件,导出课题.

[设计意图]　通过复习相似三角形的概念和判定方法,做好新旧知识之间的衔接;由生活实际问题导出课题,激发学生的学习兴趣,感受数学与其他学科之间的联系.

二、新知构建：

　　[过渡语]　全等三角形的对应高、对应中线和对应角平分线分别相等.两个相似三角形,它们的对应高、对应中线和对应角平分线的比与它们的相似比之间有什么关系呢?通过今天的学习,我们将得到结论.

一起探究　相似三角形的性质

思路一

相似三角形的对应线段的比等于相似比.

【课件展示】　如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,其中AD,A'D'分别是BC和B'C'上的高,那么AD与A'D'的比与相似比之间有怎样的关系?

【思考】

(1)图中的ΔABD和ΔA'B'D'相似吗?如何证明?

(2)由相似三角形的性质,你能得到AD与A'D'的比与相似比之间的关系吗?

(3)请写出你的解答过程.

(4)你能叙述你得到的结论吗?

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,学生完成解答过程,小组代表板书,教师及时帮助有困难的学生,并规范书写格式.

【课件展示】

相似三角形对应高的比等于相似比.

已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高.

求证:=k.

证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',

∴∠B=∠B'.

又∵AD⊥BC,A'D'⊥B'C',

∴∠ADB=∠A'D'B'=90°,

∴ΔADB∽ΔA'D'B'.

∴=k.

追加提问:

(1)能去掉性质中的对应两个字吗?

(2)如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k.AE与A'E'分别为BC,B'C'边上的中线,AF与A'F'分别为∠BAC和∠B'A'C'的平分线.

猜想:AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系?

(3)类比上述证明方法,你能证明上述结论吗?

(4)怎样用语言描述上述结论?

【师生活动】　学生独立完成证明过程,小组内合作交流答案,小组代表展示证明过程,师生共同点评,共同归纳相似三角形的性质.

【课件展示】

相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

1.已知:如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AE,A'E'分别为BC,B'C'边上的中线.

求证:=k.

证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',

∴∠B=∠B',.

又∵AE与A'E'分别为BC,B'C'边上的中线,

∴BE=BC,B'E'=B'C',

∴,

∴ΔABE∽ΔA'B'E'.

∴=k.

2.已知:如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AF,A'F'分别为∠BAC,∠B'A'C'的平分线.

求证:=k.

证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',

∴∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.

又∵AF,A'F'分别为∠BAC,∠B'A'C'的平分线,

∴∠BAF=∠BAC,∠B'A'F'=∠B'A'C',

∴∠BAF=∠B'A'F',∴ΔABF∽ΔA'B'F'.

∴=k.

思路二

动手操作:

(1)让学生作出两个三角形ΔABC与ΔA'B'C',使ΔABC∽ΔA'B'C',并通过测量得出相似比.

(2)分别过点A作AD⊥BC,A'D'⊥B'C',垂足分别为D,D'.

(3)测量两个三角形的高AD与A'D',求出的值.

(4)猜想:相似三角形对应高的比与相似比之间的关系.

(5)证明你的猜想.

【师生活动】　学生测量比较后小组合作交流结果,完成猜想及证明,小组代表板书过程,教师巡视过程中帮助有困难的学生,并及时发现问题,在点评时强调易错点.

【课件展示】

相似三角形对应高的比等于相似比.

已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高.

求证:=k.

证明:同思路一.

追加提问:

(1)能去掉性质中的对应两个字吗?

(2)如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k.AE与A'E'分别为BC,B'C'边上的中线,AF与A'F'分别为∠BAC和∠B'A'C'的平分线.

猜想:AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系?

(3)类比上述证明方法,你能证明上述结论吗?

(4)怎样用语言描述上述结论?

【师生活动】　学生独立完成证明过程,小组内合作交流答案,小组代表展示证明过程,师生共同点评,共同归纳相似三角形的性质.

【课件展示】

相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

1.已知:如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AE,A'E'分别为BC,B'C'边上的中线.

求证:=k.

证明:同思路一.

2.已知:如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AF,A'F'分别为∠BAC,∠B'A'C'的平分线.

求证:=k.

证明:同思路一.

【课件展示】

归纳性质:

相似三角形的性质定理:

相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比,都等于相似比.

[设计意图]　思路一在教师的引导下,由相似三角形的性质得对应角相等,然后利用相似三角形的判定定理证出三角形相似,从而得到对应高的比等于相似比;思路二通过测量,提出猜想,然后小组交流,完成猜想的证明.通过学生的自主探究,完成知识的形成过程,提高学生数学思维和解决问题的能力.

例题讲解

【课件展示】

如图所示,在ΔABC中,AD⊥BC,垂足为D,EF∥BC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G,,AD=15.求AG的长.

教师引导思考:

(1)由EF∥BC可以得到哪两个三角形相似?

(2)相似三角形的相似比是多少?

(3)AG与AD是不是相似三角形的对应线段?

(4)根据相似三角形的性质能否求出线段AG的长?

【师生活动】　学生在教师提出的问题的引导下思考,独立完成解答过程,小组内交流答案,教师对学生的展示进行评价,并规范解题格式.

【课件展示】

解:∵EF∥BC,∴ΔAEF∽ΔABC.

∵AD⊥BC,∴AD⊥EF.∴.

又∵,AD=15,∴,

∴AG=9.

[设计意图]　学生在教师的引导下共同完成例题的探究,加深对相似三角形的性质的理解和掌握,提高学生的应用意识,培养学生分析问题、解决问题的能力.

[知识拓展]　相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算等,还可以用于证明两角相等、两条线段相等等.

【师生活动】　学生独立思考回答,教师点评.

【课件展示】　某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地.由于马路的拓宽,绿地被削去一个角,变成了一个梯形,原绿化地一边BC的长由原来的30米变为18米.那么被削去的部分的面积有多少?你能解决这个问题吗?

【教师活动】　教师展示课件,导出课题.

[导入语]　通过今天的学习,我们利用相似三角形的性质可以解决有关周长、面积的问题.

　　[过渡语]　上节课我们探究了相似三角形的对应线段比等于相似比,那么相似三角形的周长比、面积比与相似比有什么关系呢?让我们一起去探究.

一起探究　相似三角形的周长比、面积比与相似比之间的关系

思路一

活动一:

根据图上标出的数据,回答下列问题:

【思考】

(1)根据图中数据易知两个直角三角形相似,相似比是多少?

(2)计算这两个三角形的周长,它们的周长比与相似比有什么关系?

(3)计算两个三角形的面积,它们的面积比与相似比有什么关系?

【师生活动】　学生独立完成后回答教师提出的问题.

活动二:

(1)猜想1:任意相似三角形的周长比与相似比有什么关系?

(2)你能证明猜想1的结论吗?

(3)猜想2:任意相似三角形的面积比与相似比有什么关系?

(4)你能证明猜想2的结论吗?

【师生活动】　学生思考后,小组合作交流,共同探究证明方法,板书证明过程,教师及时帮助有困难的学生,并点评学生的解答,规范学生的证明格式,师生共同归纳相似三角形的性质.

【课件展示】

相似三角形的性质定理:

相似三角形的周长比等于相似比.

相似三角形的面积比等于相似比的平方.

已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高.

求证:=k,=k2.

证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,

∴=k,=k.

∴AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'.

∴=k,

·=k2.

活动三:

你能用几何语言描述上述相似三角形的性质吗?

【师生活动】　学生独立思考回答,教师点评,课件展示正确结论.

【课件展示】　如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,则=k,=k2.

思路二

【课件展示】　如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高.

(1)ΔABC的周长和ΔA'B'C'的周长的比与它们的相似比有什么关系?请说明理由.

(2)ΔABC的面积和ΔA'B'C'的面积的比与它们的相似比有什么关系?请说明理由.

【师生活动】　教师给学生足够的时间思考、小组合作交流,共同探索相似三角形的周长比、面积比与相似比之间的关系及证明思路,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生探究出结论后,完成证明过程,教师对学生的展示进行点评,师生共同归纳相似三角形的性质.

【课件展示】

相似三角形的性质定理:

相似三角形的周长比等于相似比.

相似三角形的面积比等于相似比的平方.

已知:如图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高.

求证:=k,=k2.

证明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,

∴=k,=k,

∴AB=kA'B',AC=kA'C',BC=kB'C'.

∴=k,

·=k2.

追加思考:

你能用几何语言描述上述相似三角形的性质吗?

【师生活动】　学生独立思考回答,教师点评,课件展示正确结论.

【课件展示】　如上图所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为k,则=k,=k2.

[设计意图]　思路一让学生经历由特殊到一般的探究过程,通过计算、观察、猜想、证明等数学活动,让学生经历知识的形成过程,有助于理解掌握相似三角形的性质;思路二主要通过小组合作交流,探究相似三角形的性质,培养学生的合作意识,严格地推理论证性质定理,培养了学生严谨的学习态度,同时培养了学生的归纳总结能力.

例题讲解

　　[过渡语]　我们探究了相似三角形的性质,应用这些性质可以直接解决一些有关问题,我们一起尝试解决下列问题.

如图所示,在ΔABC中,D,E,F分别为BC,AC,AB边的中点.求:

(1)ΔDEF的周长与ΔABC的周长之比.

(2)ΔDEF的面积与ΔABC的面积之比.

〔解析〕　由三角形的中位线定理可以得到ΔDEF三边与ΔABC三边之间的数量关系,根据相似三角形的判定定理可得两个三角形相似,且相似比为1∶2,由相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方,可得结论.

【师生活动】　学生在教师的引导分析下回答问题,然后独立完成解答,小组成员交流答案,小组代表板书过程,教师点评,规范学生书写过程.

【课件展示】

解:∵D,E,F分别为BC,AC,AB的中点,

∴DE∥AB,EF∥BC,DF∥AC,

且DE=AB,EF=BC,DF=AC.

∴.

∴ΔDEF∽ΔABC.

∴ΔDEF的周长与ΔABC的周长之比为1∶2,

ΔDEF的面积与ΔABC的面积之比为1∶4.

[设计意图]　通过经历对例题的探究过程,加深学生对相似三角形的性质的理解和掌握,达到巩固知识的目的,提高学生应用意识,增强学习数学的自信心,培养学生分析问题、解决问题的能力.

[知识拓展]　相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算以及三角形的周长和面积的计算等,还可以用于证明两角相等、两条线段相等等.

三、课堂小结：

1.相似三角形的性质:

(1)相似三角形的对应边成比例;

(2)相似三角形的对应角相等;

(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比;

(4)相似三角形的周长比等于相似比;

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.