2021学年第五章 相交线与平行线综合与测试导学案

这是一份2021学年第五章 相交线与平行线综合与测试导学案，共19页。学案主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2019·河北九年级其他模拟）数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角.如图，用尺规过的边上一点C（图①）作（图②）.我们可以通过以下步骤作图：
①作射线；
②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点N，M；
③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P.下列排序正确的是（ ）
A．①②③④B．②④③①C．③②④①D．④③①②
2．（2020·山西晋中市·七年级期末）下面出示的的尺规作图题，题中符号代表的内容正确的是（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB
作法：（1）以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心②长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心③长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作④，∠DEF即为所求作的角．
A．①表示点EB．②表示PQC．③表示OQD．④表示射线EF
3．（2019·石家庄市第二十八中学七年级期中）如图，用直尺和圆规作，作图痕迹中，弧MN是（ ）
A．以点C为圆心，OE为半径的弧
B．以点C为圆心，EF为半径的弧
C．以点G为圆心，OE为半径的弧
D．以点G为圈心，EF为半径的弧
4．（2021·河北石家庄市·八年级期末）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·邯郸市第十一中学八年级期末）如图，点在的边上，用尺规作出了.以下是排乱的作图过程：
①以为圆心，长为半径画，交于点.
②作射线，则.
③以为圆心，长为半径画弧，交于点.
④以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，.则正确的作图顺序是（ ）
A．①—②—③—④B．③—②—④—①C．④—①—③—②D．④—③—①—②
6．（2020·山西七年级期中）下列对尺规作图步骤的描述不准确的是（ ）
A．作，使B．作，使
C．以点为圆心，线段的长为半径作弧D．以点为圆心作弧
7．（2021·山西临汾市·八年级期末）我们利用尺规作图可以作一个角等于已知角，如下所示：
（1）作射线；
（2）以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；
（3）以为圆心，为半径作弧，交于；
（4）以为圆心，为半径作弧，交前面的弧于；
（5）连接作射线则就是所求作的角．
以上作法中，错误的一步是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·全国九年级专题练习）如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，作图痕迹是（ ）．
A．以点B为圆心，OD为半径的圆B．以点B为圆心，DC为半径的圆
C．以点E为圆心，OD为半径的圆D．以点E为圆心，DC为半径的圆
二、填空题
9．（2019·人大附中北京经济技术开发区学校七年级期末）阅读下面材料：
数学课上，老师提出如下问题：

小明解答如右图所示，其中他所画的弧MN是以E为圆心，以CD长为半径的弧
老师说：“小明作法正确.”
请回答小明的作图依据是：_______________________________________。
10．（2020·山东烟台市·）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，如图所示，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是全等三角形的_____相等．其全等的依据是_____．
11．（2019·吉林省第二实验学校九年级一模）如图，为的外角，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点；④经过点画射线．若，则的大小是__________度．
12．（2019·全国七年级课时练习）如图，已知线段AB，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，连接AC，BC，BD，CD．其中AB=4，CD=5，则四边形ABCD的面积为________ ．
13．（2019·全国八年级课时练习）如图，在△ABC，∠C=90°，∠ABC=40°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为_____．
14．（2020·全国七年级单元测试）下列语句表示的图形是（只填序号）
①过点O的三条直线与另条一直线分别相交于点B、C、D三点：_____．
②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD：_______．
③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点：_________．
15．（2019·全国八年级课时练习）已知，∠AOB ． 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB ． 作法：
①以________为圆心，________为半径画弧．分别交OA ， OB于点C ， D ．
②画一条射线O′A′，以________为圆心，________长为半径画弧，交O′A′于点C′，
③以点________为圆心________长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．
④过点________画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB ．
16．（2019·全国七年级单元测试）已知∠α和线段m，n，求作△ABC，使BC＝m，AB＝n，∠ABC＝∠α，作法的合理顺序为________．(填序号即可)
①在射线BD上截取线段BA＝n；②作一条线段BC＝m；③以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α；④连接AC，△ABC就是所求作的三角形．
17．（2018·镇江市外国语学校八年级月考）如图，用直尺和圆规画∠AOB的平分线OE，其理论依据是________ ．
18．（2019·全国七年级课时练习）数学活动课上，同学们围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”其中一位同学作出了如图所示的图形．你认为他的作法的理由有________
三、解答题
19．（2020·惠州市第七中学八年级月考）如图，线段交于．
（1）尺规作图：以点为顶点，射线为一边，在的右侧作，使．（要求：不写作法，但保留作图痕迹并写出结论）
（2）判断与的位置关系并说明理由；
20．（2018·浙江杭州市·中考模拟）如图，已知
（1）只能用直尺和三角尺，过C点画CD∥AB，并保留作图痕迹．
（2）说明的理由．
21．（2018·北京东城区·九年级二模）阅读下列材料：
数学课上老师布置一道作图题：
已知：直线l和l外一点P．
求作：过点P的直线m，使得m∥l．
小东的作法如下：
作法：如图2，
（1）在直线l上任取点A，连接PA；
（2）以点A为圓心，适当长为半径作弧，分别交线段PA于点B，直线l于点C；
（3）以点P为圆心，AB长为半径作弧DQ，交线段PA于点D；
（4）以点D为圆心，BC长为半径作弧，交弧DQ于点E，作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线m．
老师说：“小东的作法是正确的．”
请回答：小东的作图依据是________．
22．（2020·江西萍乡市·七年级月考）尺规作图：如图，过点作直线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
23．（2020·甘肃白银市·平川区四中七年级期中）尺规作图
（1）如图所示，已知线段AB，∠α，∠β，用尺规作一个△ABC，使它的两个角分别为∠CAB=∠α，∠CBA=∠β．（不写作法，保留作图痕迹,图作在空白处）
（2）已知：点P为∠CAB边上的一点，求作：直线PQ，使得PQ∥AB
24．（2020·泰兴市河头庄中学九年级二模）如图，已知点D为△ABC的边AB上一点
（1）请在边AC上确定一点E，使得S△BCD＝S△BCE（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）；
（2）根据你的作图证明S△BCD＝S△BCE．
25．（2020·黑龙江绥化市·八年级期末）如图，已知中，，点在上．
（1）试用直尺和圆规在上找一点，使（不写作法，但需保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若；求证：．
参考答案
1．B
【分析】直接根据利用尺规作图的方法，作一个角等于已知角的作图顺序即可得出正确的排列顺序.
解：正确的排序是：②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点N，M；④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P；③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；①作射线.
故选：B.
【点拨】本题考查的知识点是简单的尺规作图，属于容易题.失分的原因是：没有掌握利用尺规作一个角等于已知角的方法.
2．D
【分析】根据尺规作图作一个角等于已知角的方法即可判断．
【详解】
尺规作图作一个角等于已知角作法：
（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心OP长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心PQ长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
所以A，B，C选项都错误，D选项正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
3．D
【分析】结合题干信息根据作一个角等于已知角的作法，比对选项进行分析即可得出结论．
解：∵以点O为圆心，以任意长为半径画圆，交OB，OA于点E，F，再以点C为圆心，以OE为半径画圆，交CD于点G，以点G为圆心，EF的长为半径画圆，两弧相交于点P，连接CP即可.
∴弧MN是以点G为圆心，EF为半径的弧.
故选D.
【点拨】本题考查直尺和圆规的相关技巧与方法，熟练掌握直尺和圆规的相关技巧与方法是解题关键.
4．B
【分析】根据作一个角等于另一个角的作法进一步求解即可．
【详解】
由题意得：=26°，
∴=+=52°，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了作一个角等于另一个角的作法，熟练掌握相关方法是解题关键．
5．C
【分析】根据作一个角等于已知角的步骤判断.
解：根据作一个角等于已知角的步骤可知，正确的步骤为④—①—③—②.
故选：C.
【点拨】本题考查了基本作图：基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
6．D
【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，据此逐项分析即可．
解：A. 作，使 ，此选项描述准确；
B. 作一个角等于已知角的倍数是常见的尺规作图，此选项描述准确；
C. 以点为圆心，线段的长为半径作弧 ，此选项描述准确；
D. 画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，此选项描述不准确．
故选：D．
【点拨】本题考查的知识点是尺规作图，主要内容有：作线段等于已知线段；作角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线（中垂线）或中点；过直线外一点作直线的垂线．
7．C
【分析】根据作一个角等于已知角的方法解决问题即可．
解：（4）错误．应该是以C'为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D'；
故选：C．
【点拨】本题考查作图-复杂作图，作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
8．D
【分析】
根据用尺规作一个角等于已知角的性质分析，即可得到答案．
【详解】
作∠OBF=∠AOB的作法，由图可知，
①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线OA、OB分别为点C，D；
②以点B为圆心，以OC为半径画圆，分别交射线BO、MB分别为点E，F；
③以点E为圆心，以DC为半径画圆，交于点N，连接BN即可得出∠OBF，则∠OBF=∠AOB．
故选：D．
【点拨】本题考查了尺规作图的知识；解题的关键是熟练掌握用尺规作一个角等于已知角的性质，从而完成求解．
9．边边边定理证明两个三角形全等,则它们的对应角相等
【分析】由作图过程可知,根据边边边定理证明OCD≌BME，可得.
解：以B点为圆心，OC为半径画弧EM交BO于E,以E点为圆心，DC为半径画弧交弧EM于N, 由此过程可知
OCD≌BME（SSS）

故答案为：边边边定理证明两个三角形全等,则它们的对应角相等
【点拨】本题考查了作一个角等于已知角的作图依据，正确理解作图过程是解题的关键.
10．对应角； SSS．
【分析】首先连接CD、C′D′，从作图可知OD＝OD′＝OC＝OC′，CD＝C′D′，即可判定△ODC≌△O′D′C′（SSS），然后根据全等三角形对应角相等的性质，即可得出∠A′O′B′＝∠AOB.
【详解】
∠A′O′B′＝∠AOB，
理由是：连接CD、C′D′，
从作图可知OD＝OD′＝OC＝OC′，CD＝C′D′，
∵在△ODC和△O′D′C′中
，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB（全等三角形的对应角相等），
故答案为：对应角，SSS．
【点拨】此题主要考查对尺规作图法作一个角等于已知角的理解，熟练掌握，即可解题.
11．50
【分析】由题目给出的作法可知：∠DAE=∠B，进而可得AE∥BC，再根据平行线的性质求解即可．
解：由题意，得：∠DAE=∠B，
∴AE∥BC，
∴．
故答案为：50．
【点拨】本题考查了基本作图和平行线的性质，属于基本题型，由题意得出∠DAE=∠B是解题关键．
12．10．
【解析】试题分析：由作图可知CD是线段AB的中垂线，∵AC=AD=BC=BD，∴四边形ACBD是菱形，
∵AB=4，CD=5，∴S菱形ACBD=×AB×CD=×4×5=10，
故答案为10．
考点： 作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
13．65°
【解析】由题意可知，所作的射线AG是∠BAC的角平分线.
∵在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=40°，
∴∠BAC=180°-90°-40°=50°，
∴∠CAD=∠BAC=25°，
∴∠ADC=180°-90°-25°=65°.
14．（3） （2） （1）
解：观察图形，根据所给的信息可得：①过点O的三条直线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（3）；
②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD的图形为（2）；
③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（1）．
故答案为：（3）；（2）；（1）．
【点拨】本题考查了直线、射线与线段的知识，注意掌握三者的特点，给出图形应该能判断出是哪一个．
15．O 任意长 O′ OC C CD D′
【解析】根据作一个角等于已知角的作图方法解答即可．
【详解】
①以O为圆心，任意长为半径画弧．分别交OA ， OB于点C、D ．
②画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′，
③以点C为圆心CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．
④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB.
故答案为：(1). O； (2). 任意长；(3). O′； (4). OC； （5）. C ； (6). CD ；(7). D′
【点拨】本题主要考查了作一个角等于已知角，是基本作图，需熟练掌握．
16．②③①④
【分析】根据尺规作图作一个角等于已知角的方法即可解题.
解：根据尺规作图方法可知,作∠ABC＝∠α的顺序是②③①④.
【点拨】本题考查了尺规作图的步骤,属于简单题,熟悉尺规作图的步骤是解题关键.
17．全等三角形，对应角相等
【解析】
【分析】
首先连接CE、DE，然后证明△OCE≌△ODE，根据全等三角形的性质可得∠AOE=∠BOE．
【详解】
连接CE、DE，
在△OCE和△ODE中，
CO＝DOOE＝OECE＝DE，
∴△OCE≌△ODE（SSS），
∴∠AOE=∠BOE．
因此画∠AOB的平分线OE，其理论依据是：全等三角形，对应角相等．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形全等的方法．
18．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
【解析】把过一点作已知直线的垂线转化为作已知线段的垂直平分线．
【详解】他的作法的理由有到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
故答案为到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
【点拨】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
19．（1）作图见详解；（2）∥.理由见详解.
【分析】
(1)利用作一个角等于已知角的尺规作图可得；
(2)根据,得到∠B=∠1，由作图知∠B=∠F,得到∠1=∠F即可得出结论．
解：（1）如图所示，∠EFG即为所求；
(2) ∥.理由，如图，
∵,
∴∠B=∠1，
∵由作图知∠B=∠F,
∴∠1=∠F，
∴∥.
【点拨】本题主要考查作图−基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图．
20．答案见解析
【解析】
分析：（1）利用一副三角板平移，由同位角相等，两直线平行即可；（2）运用平行线的的性质进行推理即可.
详解：(1) 把三角板的一条直角边与直线AB重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线AB重合的直角边和C点重合，过C点沿三角板的直角边画直线即可．
(2) 理由：延长BA,过点A作AE∥BC,
因为AE∥BC（已作）
所以∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
又因为AE∥BC（已作），
所以∠2=∠C（两直线平行，内错角相等），
因为∠1+∠2+∠BAC=180°（平角定义），
所以∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换），
即三角形的内角和等于180°.
点拨：此题是考查平行线的性质及画法，平行线的画法有多种，用一幅三角板画是比较常用的方法．
21．内错角相等，两直线平行
【分析】根据内错角相等，两直线平行即可判断．
【详解】
∵∠EPA=∠CAP，∴m∥l（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点拨】本题考查了作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
22．见解析
【分析】以C为顶点在三角形外部作即可．
解：尺规作图如下：
直线即为所求作直线．
【点拨】
本题考查的知识点是作一个角等于已知角，掌握基本作图方法是解此题的关键．
23．（1）见详解；（2）见详解．
【分析】
（1）根据作一个角等于已知角的方法，分别以A、B为顶点,作图即可；
（2）以A点为圆心，任意长为半径画弧，交AB于F，交AP于E，然后以P为圆心，以AF长为半径画弧，交AP于M，以M为圆心，EF长为半径画弧交前弧于N，过PN画直线PQ即可．
【详解】（1）如图所示：
；
（2）如图所示：
．
【点拨】此题主要考查了基本作图，解题关键是掌握作一个角等于已知角的作法，以及同位角相等，两直线平行的判定方法．
24．（1）点E即为所求，图见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）过点D作DE//BC交AC于E，点E即为所求；
（2）连接DC,分别过点D和点E作DF⊥BC,EG⊥BC．根据平行线间的距离相等得到DF=EG，然后再分别表示出S△BCD和S△BCE即可证明．
【详解】
（1）如图，过点D作DE//BC交AC于E，点E即为所求；
（2）如图：连接DC,分别过点D和点E作DF⊥BC,EG⊥BC
∵DE//BC
∴DF=EG
∵S△BCD＝BC·DF, S△BCE＝BC·EG,
∴S△BCD＝S△BCE
【点拨】本题考查了尺规作图－作平行线、三角形的面积等知识，掌握平行线间的距离相等是解答本题的关键．
25．（1）如图所示．见解析；（2）见解析．
【分析】（1）作∠CPD=∠BAP，则∠CPD的另一边与AC的交点即为所求作的点D；
（2）证明即可．
解：（1）如图所示．
（2）∵
∴
∵
∴
∴．
【点拨】此题主要考查了作一个角等于已知角，以及平行线的判定，熟练掌握判定定理是解答此题的关键．