初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线综合与测试学案

这是一份初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线综合与测试学案，共48页。学案主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题5.14 《相交线与平行线》几何模型2（专项练习）
一、单选题
1．（2020·河南开封市·九年级二模）如图，已知BM平分∠ABC，且BMAD，若∠ABC＝70°，则∠A的度数是（　　）

A．30° B．35° C．40° D．70°
2．（2020·陕西师大附中九年级一模）如图，点A、C为∠FBE边上的两点，AD∥BE，AC平分∠BAD，若∠FAD＝45°，则∠ACE＝（　　）

A．45° B．67.5° C．112.5° D．135°
3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在钝角△ABC中，延长BA到D，AE是∠DAC的平分线，AE//BC，则与∠B相等的角有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2020·锡林浩特市第六中学八年级期中）如图，在中，平分，平分，经过点O，与，相交于点N，M，且，设，，，则的周长为（ ）

A．18 B．30 C．36 D．42
5．（2019·石家庄润德学校八年级期中）如图，O是的，的平分线的交点，交BC于点D，交BC于点E．若，则的周长是（ ）

A．16 B．10 C．8 D．以上都不对
6．（2020·景县第二中学八年级期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于交于，若则线段的长为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题
7．（2020·河南焦作市·九年级其他模拟）如图，直线分别于直线、相交于点、，平分交直线于点，若，则的度数为_.

8．（2020·福建南平市·七年级期末）如图，PC∥OA，PD∥OB，∠AOB＝∠CPD，则∠AOB=________°．

9．（2020·江苏盐城市·八年级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=3，CD=4，ED=5，则FG的长为_________．

10．（2020·富顺县赵化中学校八年级期中）如图，在△，的平分线交于点，过点作，分别交于点两点，已知，，则△的周长为 ______ ．（用式子表示）

11．（2020·余干县第六中学八年级月考）如图，中，，与分别是与的平分线，，．则的周长是__________．


12．（2021·全国八年级）如图，在中，，，BD平分，CD平分，，且EF过点D，则的周长是________．

13．（2014·陕西九年级专题练习）如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G， ∠1=50°，则∠2等于_________


三、解答题
14．（2019·全国九年级专题练习）如图所示，，点为两条平行线外部一点，为两条平行线内部一点，分别为上两点，平分，平分，且与互补，求的大小.

15．（2019·西安临潼区骊山初级中学八年级月考）如图①，、分别平分四边形的外角和，设，．

（1）若，则 ；
（2）若与相交于点，且，求、所满足的等量关系式，并说明理由；
（3）如图②，若，试判断、的位置关系，并说明理由．
16．（2020·河南洛阳市·七年级期末）完成下面的证明．
如图：与互补，，求证：．对于本题小明是这样证明的，请你将他的证明过程补充完整．

证明：与互补，（已知）
．　 　
．两直线平行，内错角相等
，（已知）
，（等量代换）
即　 　．
．内错角相等，两直线平行
．　 　
17．（2020·盐池县第五中学七年级期中）如图，若直线AB，CD被直线EF所截，∠EMB=∠END，且MG平分∠EMB，NP平分∠END，猜想MG与NP是否平行？请说明理由．

18．（2019·四川资阳市·七年级期末）阅读理解：我们知道“三角形三个内角的和为180°”，在学习平行线的性质之后，可以对这一结论进行推理论证．
请阅读下面的推理过程：
如图①，过点A作DEBC
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°
∴∠B+∠BAC+∠C=180°
即：三角形三个内角的和为180°．
阅读反思：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系．
方法运用：
如图②，已知ABDE，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：过点C作CFAB）
深化拓展：
如图③，已知ABCD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°，点B在点A的左侧，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E，且点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．

19．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级月考）如图，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AD平分∠BAC，求证：∠1=∠E．下面是部分推理过程，请你填空或填写理由
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC  (已知)，
∴∠ADC=∠EGC=90∘（ ），
∴AD∥EG（ ），
∴∠2=______，( )
∠3=______(两直线平行，同位角相等) ．
又∵AD平分∠BAC（ ），
∴∠2=∠3（ ），
∴∠1=∠E（ ）

20．（2019·全国九年级专题练习）如图所示，，为上方一点，分别为上两点，，，和的角平分线交于点，求的值.

21．（2019·全国九年级专题练习）在平面直角坐标系中，，，且

（1）如图1，过点作轴于，连结，求的面积；
（2）如图2，延长交轴于，将绕点顺时针旋转，它的延长线交轴负半轴于点.在第四象限的点，使得轴、轴分别平分、，试求的值.
22．（2019·全国九年级专题练习）（1）如图，，平分，若，，求的度数；

（2）如图，，，平分，若的2倍与的补角的和为，求的度数.

（3）如图，为（2）中射线上一点，是上任一点，平分，，平分，求的度数.

23．（2020·深圳市福田区外国语学校七年级期中）AB∥CD，C在 D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点 E．∠ADC＝70°．
（1）求∠EDC 的度数；
（2）若∠ABC＝30°，求∠BED 的度数；
（3）将线段 BC沿 DC方向移动，使得点 B在点 A的右侧，其他条件不变，若∠ABC＝n°，请直接写出∠BED 的度数（用含 n的代数式表示）．


24．（2019·浙江杭州市·七年级期中）直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是的平分线，CM交AB于点N．
（1）如图①，过点A作AC的垂线交CM于点M，若，求的度数；
（2）如图②，点G是CD上的一点，连接MA、MG，，MC平分．
①和满足怎么样的数量关系时？
②若，求的度数．

25．（2020·巨野县高级中学七年级月考）如图，AC∥DE，BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°，∠E=50°，求∠D，∠A的度数．

26．（2020·浙江绍兴市·七年级月考）如图，，点在点的右侧，，的平分线交于点（不与，点重合），．设．

（1）若点在点的左侧，求的度数（用含的代数式表示）
（2）将（1）中的线段沿方向平移，当点移动到点右侧时，请画出图形并判断的度数是否改变．若改变，请求出的度数（用含的代数式表示）；若不变，请说明理由．
27．（2020·重庆渝中区·七年级期末）如图，已知AB//CD，直线EF与AB、CD相交于H、F两点，FG平分∠EFD．
（1）若∠AHE=112°，求∠EFG和∠FGB的度数；
（2）若∠AHE=n°，请直接写出∠EFG和∠FGB的度数．

28．（2020·北京二十中七年级期末）在小学认识三角形的基础上我们来继续学习三角形．三角形可用符号“”表示．
例：如图1中的三角形可记作“”；在一个三角形中，如果有两个角相等，我们新定义这个三角形为等角三角形．
（1）如图1，的角平分线交于D，交于，

①请在图1中依题意补全图形；
②判断是不是等角三角形；(直接写出结论即可)．
（2）如图2，是的角平分线，．判断是不是等角三角形，并说明理由．

（3）如图3，BM，CM分别是和的角平分线，请过图中某一点，作一条图中已有线段的平行线，使图中出现一个或两个等角三角形，标出字母，并就出现的一个三角形是等角三角形说明理由．

29．（2020·全国八年级单元测试）如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．
（1）猜想DOP是　　三角形；
（2）补全下面证明过程：
∵OC平分∠AOB
∴　　＝　　
∵DN∥EM
∴　　＝　
∴　　＝　　
∴　　＝　　

30．（2019·陕西安康市·七年级期末）已知直线，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于点H，过点A作AG⊥AC交CM于点G．
（1）如图1，点G在CH的延长线上时，若∠GAB =36°，求∠MCD的度数；
（2）如图2，点G在CH上时，试说明：2∠MCD+∠GAB=90°．

31．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级月考）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于点D，∠CDE=160°，求 ∠C的度数

32．（2020·安徽省安庆市外国语学校七年级期末）如图，已知，，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
（1）求的度数
（2）当点P运动时，的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时，，求此时的度数．

33．（2020·全国九年级专题练习）如图，点C、M、N在射线DQ上，点B在射线AP上，且AP∥DQ，∠D=∠ABC=80°，∠1=∠2，AN平分∠DAM．

（1）试说明AD∥BC的理由；
（2）试求∠CAN的度数；
（3）平移线段BC．
①试问∠AMD：∠ACD的值是否发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律；
②若在平移过程中存在某种位置，使得∠AND=∠ACB，试求此时∠ACB的度数．
34．（2019·山东济宁市·七年级期中）如图，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，点C在点D的右侧，∠ADC＝80°，∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直线BE、DE交于点E．
（1）写出∠EDC的度数_____；
（2）试求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；
（3）将线段BC向右平行移动，其他条件不变，请直接写出∠BED的度数（用含n的代数式表示）

35．（2019·山东临沂市·七年级期末）已知射线与直线交于点，平分，于点，．

（1）如图1，若；
①求的度数；
②试说明平分．
（2）如图2，设的度数为，当为多少度时，射线是的三等分线？并说明理由．

参考答案
1．B
【分析】
先根据角平分线的性质，求出∠ABC的度数，再由平行线的性质得到∠A的度数．
【详解】
解：∵BM平分∠ABC，
∴∠MBA＝∠ABC＝35°．
∵BM∥AD，
∴∠A＝∠MBA＝35°．
故选：B．
【点拨】
本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
2．C
【分析】
先根据平角的定义求出∠BAD，根据角平分线的性质求出∠DAC，再利用平行线的性质，得到∠ACB的度数．最后通过平角求出∠ACE．
【详解】
解：∵∠FAD＝45°，
∴∠BAD＝180°-45°＝135°．
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝＝67.5°．
∵AD∥BE，
∴∠ACB＝∠DAC＝67.5°．
∴∠ACE＝180°-67.5°＝112.5°．
故选：C．

【点拨】
本题考查平行的性质和角平分线的性质，解题关键是运用题目中的条件去求解角的度数，能够从角平分线和平行这两个条件想到图中存在等腰三角形．
3．C
【分析】
依据角平分线的性质和平行线的性质即可求解．
【详解】
解析：依据角平分线的性质和平行线的性质，
可知∠B =∠DAE=∠CAE=∠C
故选C．
【点拨】
此题主要考查角平分线的性质与平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质．
4．B
【分析】
先根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定求得、，再由三角形周长公式、线段的和差即可求得结论．
【详解】
解：∵平分，平分
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴




∴的周长为．
故选：B
【点拨】
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定（等角对等边）、三角形周长公式、线段的和差等知识点，体现了逻辑推理的核心素养．
5．A
【分析】
根据题意判断出和是等腰三角形，再转化的边长即可．
【详解】
平分，
，是等腰三角形，，
同理可得：是等腰三角形，，
，
故选：A．
【点拨】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，能够从平行线与角平分线中辨别出等腰三角形是解题的关键．
6．A
【分析】
由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，然后即可求得结论．
【详解】
解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，
∵MN∥BC，
∴∠DBC=∠MDB，∠NDC=∠DCB，
∴∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，
∴BM=MD，DN=CN，
∴MN=MD+DN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=8
∴MN=8，
故选：A．
【点拨】
此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME△CNE是等腰三角形．
7．
【分析】
根据角平分线的性质可求出的度数，然后由平行四边形的判定与性质即可得出 的度数.
【详解】
解：平分

又


故答案为
【点拨】
本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，灵活应用平行线的判定与性质是解题的关键.
8．60
【分析】
根据PC∥OA得∠AOB=∠PCB，再根据PD∥OB，得到∠DPC+∠PCB=180°，所以得到∠AOB+∠DPC=180°，再结合∠AOB＝∠CPD，即可求出∠AOB的度数．
【详解】
解：∵ PC∥OA
∴∠AOB=∠PCB
又∵ PD∥OB
∴∠DPC+∠PCB=180°
∴∠AOB+∠DPC=180°
又∠AOB＝∠CPD
∴∠CPD=2∠AOB
∴3∠AOB=180°
∴∠AOB=60°
故答案为：60．
【点拨】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
9．2
【分析】
由题意易得BE=EG，DF=DC，然后由线段的数量关系可求解．
【详解】
解：∵ED∥BC，
∴∠EGB=∠GBC，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠GBC，
∴∠ABG=∠EGB，
∴BE=EG，
同理可得DF=DC，
∵BE=3，ED=5，
∴GD=ED-EG=5-3=2，
∴FG=FD-DG=4-2=2；
故答案为2．
【点拨】
本题主要考查角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的性质与判定，数量掌握角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键，这属于典型的“双平等腰”模型．
10．
【分析】
根据题中条件，可得、是等腰三角形，DP=DB，EP=EC，三边周长就是两边AB、AC之和，直接写出答案即可．
【详解】
BP是的角平分线，
，
，
，
，DB=DP；
CP是的角平分线，
，
，
，
，EP=EC；
周长=AD+DP+PE+AE，
AD+DP=AD+DB=AB=，PE+AE=CE+AE=AC=；
周长．
故答案为：．
【点拨】
本题考查平行线性质、等腰三角形性质及判定，将周长转化为的两条边长AB、AC之和是解题关键．
11．6
【分析】
由OB，OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线和OD∥AB、OE∥AC可推出BD＝OD，OE＝EC，显然△ODE的周长即为BC的长度．
【详解】
∵OD∥AB，
∴∠ABO＝∠BOD，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBD，
∴∠ABO＝∠BOD，
∴BD＝OD，
则同理可得CE＝OE，
∴△ODE的周长＝OD＋DE＋OE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6．
故答案为：6．
【点拨】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
12．
【分析】
利用角平分线的性质与平行线结合证得与均为等腰三角形即可．
【详解】
平分，CD平分，
，，
，，，
，，
，，
的周长．
故答案为：8cm．
【点拨】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，能够明确角平分线与平行线结合，会产生等腰三角形，并运用等腰三角形的性质解决问题，是本题考查的核心．
13．65°
【分析】
根据平行线和角平分线得到等腰三角形进行解题.
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠2，
又∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠2；
又∵AB∥CD，
∴∠1+2∠2=180°，
∵∠1=50°，
∴∠2=65°.
故答案为65°.
14．.
【分析】
先设，，则，，
由题意及平行线的性质得，，得到，，由于与互补，得到，最终得出
【详解】
设，，则，
由侧M图可知：，
由鸟嘴图可知：，
即，，
与互补
.
【点拨】
本题考查平行线的性质，解题的关键是设，，且由题意得到x，y的关系.
15．（1）110；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）根据四边形的内角和与邻补角的性质即可求解；
（2）连接BD，先得到，再根据三角形的内角和得到角度的关系即可求解；
（3）由（1）有，∠MBC＋∠NDC＝，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，则∠CBE＋∠CDH＝（），∠CBE＋β−∠DHB＝（），根据＝，则有∠CBE＋−∠DHB＝（＋）＝，得到∠CBE＝∠DHB，故可得到BE∥DF．
【详解】
解：（1）∵∠ABC＋∠ADC＝360°−（）＝250°，
∴∠MBC＋∠NDC＝180°−∠ABC＋180°−∠ADC＝360°-（∠ABC＋∠ADC）=＝110°．
故答案为：110；
（2）．理由如下：如解图①，连接BD，

由（1）知，，
、分别平分四边形的外角和，
∴，
．
在△BCD中，∠BDC＋∠CBD＝180°−∠BCD＝180°−，
在△BDG中，∠GBD＋∠GDB＋∠BGD＝180°，
∴∠CBG＋∠CBD＋∠CDG＋∠BDC＋∠BGD＝180°，
∴（∠CBG＋∠CDG）＋（∠BDC＋∠CBD）＋∠BGD＝180°，
∴（）＋180°−＋25°＝180°，
整理得；
（3）．理由如下，如解图②所示，延长交于点，

由（1）、（2）可知，，
．
，
，
．
，
，
，
．
【点拨】
此题考查了平行线的性质及其判定，多边形的内角和公式，利用多边形的内角和公式倒角为解题关键．
16．同旁内角互补，两直线平行；；；；两直线平行，内错角相等．
【分析】

已知∠BAP与∠APD互补，根据同旁内角互补两直线平行，可得AB∥CD，再根据平行线的判定与性质及等式相等的性质即可得出答案．
【详解】

证明：与互补，（已知）
（同旁内角互补，两直线平行）．
（两直线平行，内错角相等），
，（已知）
，
即，
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；；；两直线平行，内错角相等．
【点拨】

本题考查了平行线的判定与性质和等式的性质，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质．
17．MG∥NP，理由见详解
【分析】
由∠EMB=∠END，再根据MG平分∠EMB，NP平分∠END．可得∠EMG=∠ENP，从而得到MG∥NP．
【详解】
解：MG∥NP．理由如下：
∵MG平分∠EMB，NP平分∠END，
∴∠EMG=∠EMB，∠ENP=∠END，
又∵∠EMB=∠END，
∴∠EMG=∠ENP，
∴MG∥NP．
【点拨】
本题考查了平行线的判定、角平分线的性质．此题利用了“同位角相等，两直线平行”判定图中的两组直线相互平行．
18．方法运用：360°；深度拓展：65°
【分析】
方法运用：过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
深化拓展：过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，再利用角平分线的定义和等量代换即可求∠BED的度数．
【详解】
方法运用：解：过点C作CF∥AB

∴∠B=∠BCF
∵CF∥AB且AB∥DE
∴CF∥DE
∴∠D=∠DCF
∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°
∴∠B+∠BCD+∠D=360°
深化拓展：过点E作EF∥AB

∴ ∠BEF=∠ABE
又∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°
∴∠BEF=∠ABE=∠ABC=30°
∵EF∥AB，AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠DEF=∠EDC
又∵DE平分∠ADC，∠ADC=70°
∴∠DEF=∠EDC=∠ADC=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°
【点拨】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，能够作出平行线是解题的关键．
19．垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠1；两直线平行，内错角相等；∠E；已知；角平分线的定义；等量代换
【分析】
根据平行线的性质和判定以及角平分线的定义证明即可．
【详解】
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC (已知)，
∴∠ADC=∠EGC=90°（垂直的定义），
∴ADEG（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=，(两直线平行，内错角相等)
∠3=∠E(两直线平行，同位角相等) ．
又∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠2=∠3（角平分线的定义），
∴∠1=∠E（等量代换）．
【点拨】
本题主要考查平行线的性质及判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质及判定是解题的关键．
20．.
【分析】
先设，，由题意可得，，，
由，，从而求出x,y；根据题意得， ， 从而得到的值.
【详解】
设，，由题意可得，，，
由，，解得，；由靴子图AEGFC知，，由靴子图AEHFC知，，即，，
.
【点拨】
本题考查平行线的性质，解题的关键是设，，由题意得到x，y的关系式.
21．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由绝对值和二次根式的非负性可求得a和b的值，从而求得点A和点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可；
（2）设直线AB的函数解析式，由A、B两点坐标求得解析式，再根据等腰直角三角形的性质和角平分线的性质求得∠ADF=90°，过E作，再根据平行线的性质求得，进一步求解∠DEF即可.
【详解】
解：（1）依题意知解得
，
；
（2）设直线AB的函数解析式为y=kx+b，
∵点 ，，
∴ ，解得，
∴直线AB的函数解析式为：y=-x+4，
当x=0时，y=4；当y=0时，x=4，
∴点D、点G的坐标分别为（4,0）、（0,4）
，等腰直角三角形，
，
又∵轴平分，.
过E作，如图所示：

，，，
,
于是由“同”型图结论得.
【点拨】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、一次函数解析式、绝对值和二次根式的非负性等知识点，根据题意求出点A和点C的坐标是解题的关键.
22．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由两直线平行同位角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和来证明即可；
（2）设∠ABF=x，∠DCF=y，先由角平分线的性质可得∠EBF=2x，∠ECF=y，然后再由两直线平行的性质及三角形的外角的性质和已知条件来求解即可；
（3）设∠BPQ=x，∠MGN=y，由角平分线的性质可得∠QPG=∠NGP=x，∠DGM=x+y，再由平行线的性质可求得∠MGN.
【详解】
解：（1）∵AB∥CD，
∴，
，，
；
（2）设，，
∴，，
∵AB∥CD，
∴，即，①，
由鸟嘴图DVFBA知，，即，②，
由已知得③，
将①、②代入③得，
∴；
（3）设，，
∴，，
由鸟嘴图知得，，
即.
【点拨】
本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.
23．（1）（2）（3）
【分析】
（1）根据角平分线定义即可得到答案；
（2）过点作，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解；
（3）过点作，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解．
【详解】
解：（1）∵平分，
∴；
（2）过点作，如图：

∵平分，；平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
（3）过点作，如图：

∵平分，；平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
故答案是：（1）（2）（3）
【点拨】
本题考查了角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差，解答本题的关键是作出辅助线，要求同学们掌握平行线的性质，难度中等．
24．（1）20°；（2）①当＋=180°时，；②108°
【分析】
（1）根据角平分线的定义求出∠ACD，然后根据平行线的性质可得∠EAB=∠ACD=110°，然后根据垂直的定义求出∠MAE=90°，即可求出结论；

（2）①当＋=180°时，根据平行线的性质可推出∠AMG＋∠ACD=180°，然后根据角平分线的定义可得出∠ACM＋∠AMC=90°，利用三角形的内角和即可求出∠MAC=90°，从而得出；
②设∠ACD=x，根据角平分线的定义可得∠GCM==，∠GMC==18°，根据平行线的性质可得∠EAB=∠ACD=x，从而得出∠MGD=180°－x，然后根据三角形外角的性质列出方程即可求出结论．
【详解】
解：（1）∵CM是的平分线，
∴∠ACD=2∠MCD=110°
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ACD=110°
∵MA⊥AC
∴∠MAE=90°
∴∠MAN=∠EAB－∠MAE=20°
（2）①当＋=180°时，
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ACD
∴∠AMG＋∠ACD=180°
∵CM是的平分线，MC平分
∴∠ACM=，∠AMC=
∴∠ACM＋∠AMC=＋==90°
∴∠MAC=180°－（∠ACM＋∠AMC）=90°
∴；
②设∠ACD=x
∵CM是的平分线，MC平分，
∴∠GCM==，∠GMC==18°
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ACD=x
∵
∴∠MGD=180°－x
∵∠MGD=∠GCM＋∠GMC
即180－x=＋18
解得：x=108
即∠ACD=108°
【点拨】
此题考查的是平行线的性质、垂直的定义、三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握平行线的性质、垂直的定义、三角形内角和定理和三角形外角的性质是解决此题的关键．
25．
【分析】
根据BD平分∠ABC，∠ABC=70°得出,再根据得出,从而计算．
【详解】
∵根据BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°
∴
又∵
∴
∴

∴
综上所述：
【点拨】
本题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，转化相关的角度是解题关键．
26．（1）；（2）的度数改变，度数为
【分析】
（1）过点E作，根据平行线性质推出∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，根据角平分线定义得出，∠CDE=∠ADC=35°，求出∠BEF的度数，进而可求出∠ABC的度数；
（2）过点E作，根据角平分线定义得出，∠CDE=∠ADC=35°，根据平行线性质得出即可．
【详解】
（1）如图1，过点作．

∵，
∴，
∴，．
∵平分，平分，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
（2）的度数改变．
画出的图形如图2，过点作．

∵平分，平分，，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】
本题考查了平行线性质和角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力．熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
27．（1）∠EFG=34°，∠FGB=146°；（2）∠EFG=90°n°；∠FGB=90°+n°
【分析】

（1）由邻补角的性质计算∠1=68°，根据AB∥CD得∠1=∠EFD，∠FGB+∠DFG=180°，角平分线的定义得∠EFG=34°，两直线平行，同旁内角互补得∠FGB=146°；
（2）根据同样的方法计算出∠EFG=90°n°；∠FGB=90°+n°．
【详解】

解：如图所示：

（1）∵∠1+∠AHE=180°，∠AHE=112°，
∴∠1=68°，
又∵AB∥CD，
∴∠1=∠EFD，∠FGB+∠DFG=180°
∴∠EFD=68°，
又∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG=∠DFG=∠EFD=34°，
∴∠FGB=146°；
（2）若∠AHE=n°时，
由（1）同理可得：
∠EFG=90°n°；
∠FGB=90°+n°
【点拨】

本题综合考查了平行线的性质，邻补角的性质，角平分线的定义等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是运用从特殊到一般的数学归纳方法．
28．（1）①见解析；②△EBD是等角三角形；（2）△ABC是等角三角形，理由见解析；（3）见解析
【分析】
（1）①根据题意画出图形即可；
②根据角平分线定义可得∠ABD＝∠DBC，根据平行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，进而可得∠EBD＝∠EDB，从而可得△EBD是等角三角形；
（2）根据平行线的性质可得∠1＝∠B，∠2＝∠C，再根据角平分线的性质可得∠1＝∠2，进而可得结论；
（3）过点M作GH∥BC，交AB于点G，交AC于点H，利用平行线的性质和角平分线定义解答即可．
【详解】
解：（1）①补全图形如图4所示．

②△EBD是等角三角形．
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴△EBD是等角三角形；
（2）△ABC是等角三角形．
理由如下：如图5，∵AF∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵AF是∠GAC的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等角三角形．

（3）过点M作GH∥BC，交AB于点G，交AC于点H，如图6，出现两个等角三角形分别是：△GBM和△HMC．
下面说明△GBM是等角三角形．
理由：∵GH∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵BM是∠ABC角平分线，
∴∠GBM＝∠2，
∴∠1＝∠GBM，
所以△GBM是等角三角形．

【点拨】
此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
29．等腰，∠DOP，∠BOP，∠DPO，∠BOP，∠DOP，∠DPO，OD，PD，见解析
【分析】
（1）三角形的种类有多种，从边和角的关系上看常见的有：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、观察此三角形即可大体猜想出三角形的类型；
（2）根据角平分线的性质和平行线的性质，求得∠DOP＝∠DPO，即可判断三角形的形状．
【详解】
解：（1）我们猜想△DOP是等腰三角形；
（2）补全下面证明过程：
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP＝∠BOP，
∵DN∥EM，
∴∠DPO＝∠BOP，
∴∠DOP＝∠DPO，
∴OD＝PD．
故答案为：等腰，∠DOP，∠BOP，∠DPO，∠BOP，∠DOP，∠DPO，OD，PD．
【点拨】
本题考查了角平分线的性质和平行线的性质及等腰三角形，解决本题的关键是掌握平行线的性质定理，找到相等的角．
30．（1）63°；（2）见解析
【分析】
（1）依据AG⊥AC，∠GAB=36°，可得∠CAH的度数，依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠MCD的度数；
（2）结合（1）得ACD+∠CAH=180°，再依据角平分线的定义，即可得2∠MCD+∠GAB=90°．
【详解】
（1）∵AG⊥AC，∠GAB=36°，
∴∠CAH=90°-36°=54°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAH=180°，
∴∠ACD=126°，
∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠ACH=∠DCM=63°；
（2）∵∠ACH=∠DCM，
∴∠ACD=2∠MCD，
由（1）得ACD+∠CAH=180°，
∵AG⊥AC，
∴∠CAG=90°，
∴2∠MCD+90°+∠GAB=180°，
∴2∠MCD+∠GAB=90°．
【点拨】
本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，利用两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
31．140°
【分析】
先根据邻补角的定义求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质及角平分线的定义得出∠ADB及∠ABC的度数，由平行线的性质可得出∠C的度数．
【详解】
解：∵∠CDE=160°，
∴∠CDB=180°-∠CDE=180°-160°=20°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB=20°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=2×20°=40°，
∴∠C=180°-∠ABC=180°-40°=140°．
【点拨】
本题考查的是平行线的性质、角平分线的定义及邻补角的性质，熟知平行线的性质是解答此题的关键．
32．（1）60°；（2）不变，∠APB：∠ADB=2：1；（3）30°
【分析】
（1）根据角平分线的定义只要证明∠CBD=∠ABN即可；
（2）不变．可以证明∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN=∠PBN．
（3）想办法证明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN即可解决问题；
【详解】
解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN=180°-∠A=120°，
又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=（∠ABP+∠PBN）=∠ABN=60°，
（2）不变．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠ADB=∠DBN=∠PBN=∠APB，
∴∠APB：∠ADB=2：1．
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
又∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，
∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，
∴∠ABC=∠ABN=30°，
【点拨】
本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
33．（1）见解析；(2) ∠CAN＝50°；(3)①不会, ∠AMD：∠ACD＝2；②∠ACB＝75°．
【分析】

（1）由平行线的性质和判定即可得到结论；
（2）由角平分线的定义和角的和差可以得到结论；
（3）①不会．根据平行线的性质即可得到结论；
②由平行线的性质和∠AND＝∠ACB，得到∠NAB＝∠DAC，进而得到∠1＝∠DAN，即可得到结论．
【详解】

解：（1）∵AP∥DQ，∴∠D＋∠DAB＝180°．
∵∠D＝80°，∴∠DAB＝100°．
∵∠ABC＝80°，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC．
（2）∵AN平分∠DAM，∴∠NAM＝∠NAD＝∠DAM．
∵∠1＝∠2， ∴∠CAM＝∠BAM．
∴∠NAM＋∠CAM＝∠DAM＋∠BAM，
即：∠CAN＝∠DAB
∵∠DAB＝100°，∴∠CAN＝50°．
（3）①不会．
∵AP∥DQ，∴∠AMD＝∠MAB＝2∠1，∠ACD＝∠1，
∴∠AMD：∠ACD＝2．
②∵AP∥DQ，AD∥BC，∴∠AND＝∠NAB，∠ACB＝∠DAC．
∵∠AND＝∠ACB，∴∠NAB＝∠DAC，∴∠NAB－∠NAC＝∠DAC－∠NAC，
即：∠1＝∠DAN，∴∠1＝∠2＝∠DAN＝∠MAN＝25°，
∴∠ACB＝∠DAC＝75°．
【点拨】

灵活运用平行线的性质和判定是解答本题的关键．
34．（1）40°；（2）∠BED＝n°+40°；（3）∠BED的度数变化，度数为n°+40°或220°﹣n°或n°﹣40°．
【分析】
（1）根据角平分线的定义，即可得到；
（2）过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，，根据角平分线的定义求出，，然后求解即可；
（3）过点作，然后分类讨论：①点在点的左边，根据角平分线的定义求出，，根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求解；②点在点的右边时，根据角平分线的定义求出，，根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求解即可．
【详解】
解：（1）∵平分，，
∴，
故答案为：；
（2）如图1：

过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
（3）过点作，
①如图1：

点在点的右边时，
过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
②如图2：

点在点的左边时，若点在直线和之间，则
过点作，
∵平分，平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
③如图3：

点在点的左边时，若点在直线的上方，则，
∵平分，平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴．

④如图4：

点在点的左边时，若点在直线的下方，则
∵平分，平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴将线段BC向右平行移动，其他条件不变，∠BED的度数为或或．
【点拨】
本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质以及分类讨论，根据题意作出平行线，再由平行线的性质及三角形外角、对顶角的性质即可得出结论．
35．（1）①150°；②说明见解析；（2）18°或45°，说明见解析.
【分析】
（1）①根据题意可求∠BOF=30°，由平角定义可求∠DOF的度数
②通过题意可求∠AOD=∠BOG=60°，即可得OD平分∠AOG
（2）设∠AOD=β，分∠AOD=2∠DOG，或∠DOG=2∠AOD，两种情况讨论，根据题意可列方程，可求β的值，即可得α的值．
【详解】
（1）①∵AE∥OF
∴∠A=∠BOF
∵OF平分∠COF
∴∠BOC=60°，∠COF=30°
∴∠DOF=180-30°=150°
②∵∠BOC=60°
∴∠AOD=60°
∵OF⊥OG
∴∠BOF+∠FOG=90°
∴∠BOG=60°
∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180°
∴∠DOG=60°=∠AOD
∴OD平分∠AOG
（2）设∠AOD=β
∵射线OD是∠AOG的三等分线
∴∠AOD=2∠DOG，或∠DOG=2∠AOD
若∠AOD=2∠DOG
∴∠DOG=β
∵∠BOC=∠AOD，OF平分∠BOC
∴∠BOF=β
∵OF⊥OG
∴∠BOG=90-α
∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180°
∴β+90-β+β=180°
∴∠β=90°
∴∠BOF=45°
∵OF∥AE
∴∠A=∠BOF=45°
即α=45°
若∠DOG=2∠AOD=2β
∵∠BOC=∠AOD，OF平分∠BOC
∴∠BOF=β
∵OF⊥OG
∴∠BOG=90-α
∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180°
∴2β+90-β+β=180°
∴∠β=36°
∴∠BOF=18°
∴OF∥AE
∴∠A=∠BOF=18°
∴α=18°
综上所述α为18°或45°
【点拨】
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，根据题意列方程是本题的关键．
36．（1）75°；（2）见解析；（3）∠2＝3∠3
【分析】
（1）利用三角板的度数，求出∠DBC的度数，再利用平行线的性质得到∠BDN的度数，由此得到∠1的度数；
（2）过B点作BG∥直线m，利用平行线的性质可得到∠3＝DBG和∠LAB＝∠ABG，再利用等量代换得到∠3+∠LAB＝75°，利用余角性质得到∠LAB＝90°-∠2，由此证明结论；
（3）结论：∠2＝3∠3．利用（2）中结论，结合平行线的性质得到∠2和∠3的度数由此证明结论．
【详解】
（1）∵直线n∥直线l，
∴∠DBC＝∠BDN，
又∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝45°﹣30°＝15°，
∴∠BDN＝15°，
∴∠1＝90°﹣15°＝75°．
（2）如图所示，过B点作BG∥直线m，

∵BG∥m，l∥m，
∴BG∥l（平行于同一直线的两直线互相平行），
∵BG∥m，
∴∠3＝DBG，
又∵BG∥l，
∴∠LAB＝∠ABG，
∴∠3+∠LAB＝∠DBA＝30°+45°＝75°，
又∵∠2和∠LAB互为余角，
∴∠LAB＝90°﹣∠2，
∴∠3+90°﹣∠2＝75°，
∴∠2﹣∠3＝15°．
（3）结论：∠2＝3∠3．
理由：在（2）的条件下，∠2﹣∠3＝15°，
又∵CN平分∠BCA，
∴∠BCN＝∠CAN＝22.5°，
又∵直线n∥直线l，
∴∠2＝22.5°，
∴∠3＝7.5°，
∴∠2＝3∠3．
【点拨】
考查平行线的性质并结合了三角板中的特殊角度，学生需要作辅助线利用平行线的传递性将特殊的角的关系联系起来，熟悉掌握平行线之间角的关系是解题的关键．