人教版七年级下册第六章 实数综合与测试学案设计

专题6.7 《实数》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.

2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.

3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.

4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.

【知识网络】

【要点梳理】

 要点一：平方根和立方根

要点二：实数

有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类

按定义分：

    实数

按与0的大小关系分：

    实数

要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．

 （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；

②有特殊意义的数，如π；        

③有特定结构的数，如0.1010010001…

　 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.

（4）实数和数轴上点是一一对应的.

2.实数与数轴上的点一 一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

3.实数的三个非负性及性质：
　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
　  （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
　　非负数具有以下性质：
　　（1）非负数有最小值零；
　　（2）有限个非负数之和仍是非负数；
　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.

4.实数的运算：

数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较：
　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数          大；

法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

【典型例题】

类型一、有关方根的问题 

1、下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据算术平方根的非负性、立方根的定义，逐项分析解题即可．

【详解】

A. ，故A错误；                B. ，故B错误；

C. ，故C错误；               D. ，故D正确，

故选：D．

【点拨】本题考查算术平方根与立方根，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

举一反三：

【变式】如果有算术平方根，那么一定是（  ）

A．正数 B． C．非负数 D．非正数

【答案】C

解：∵负数没有平方根，

∴如果m有算术平方根，那么m一定是0或正数，即非负数，

故选：C．

2、观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：

（1）1.414，14.14，141.4…0.1732，1.732，17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动　　位，其算术平方根的小数点向　　移动　　位；

（2）已知2.236，7.071，则　　，　　；

（3）1，10，100…小数点变化的规律是：　                              　．

（4）已知2.154，4.642，则　　，　　．

【答案】（1）两，右，一；（2）0.7071，22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54，﹣0.4642

【分析】

（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）归纳总结得到规律，写出即可；
（4）利用得出的规律计算即可得到结果．

解：（1）1.414，14，141.4…

0.1732，1.732，17.32…

由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位，

（2）已知2.236，7.071，则0.7071，22.36，

（3）1，10，100…

小数点变化的规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；

（4）∵2.154，4.642，

∴21.54，0.4642．

故答案为：（1）两；一；（2）0.7071；22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54；﹣0.4642

【点拨】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．

类型二、与实数有关的问题

3、．把下列各数填入相应的集合中： 3.14，-，-，， 0 ，1.212212221… ，，0.151151115

无理数集合{                                        … }；

有理数集合{                                        … }；

非正数集合{                                        … }．

【分析】根据平方根、立方根的定义、实数的分类解答即可．

【详解】由立方根的性质得：，

无理数集合{-，-，，1.212212221…，，…}；

有理数集合{3.14，0，0.151151115，… }；

非正数集合{-，-，，0，… }；

【点拨】本题考查立方根、实数的分类，理解非正数的含义，熟练掌握无理数和有理数的定义是解答的关键．

举一反三：

【变式】在实数0、π、、、﹣中，无理数的个数有（　　）

A．1个     B．2个     C．3个     D．4个

【答案】B；

类型三、与实数有关计算

4、计算：

（1）；      （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）先去括号，再利用二次根式加减运算法则进行计算；
（2）直接利用绝对值的性质和立方根的性质、二次根式的性质分别化简后再相加减即可；

解：（1）

=

＝；

（2）

=

=

【点拨】考查了实数的运算，解题关键是掌握运算法则和运算顺序．

举一反三：

【变式】计算：

（1）．         （2）．        （3）．

【答案】（1）；（2）4；（3）-11．

解：（1）

=

=；

（2）

=-2+6

=4；

（3）

=

=-2-9

=-11．

【点拨】此题考查实数运算，弄清运算顺序和算术平方根及立方根的意义是关键．

5、已知：（a+6）2+=0，则2b2﹣4b﹣a的值为　　．

【答案】12．

解：∵（a+6）2+=0，

∴a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，

解得，a=﹣6，b2﹣2b=3，

可得2b2﹣4b=6，

则2b2﹣4b﹣a=6﹣（﹣6）=12，

故答案为：12．

【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．

举一反三：

【变式1】实数、在数轴上所对应的点的位置如图所示：

化简＋∣－∣＝         .

【答案】

解：∵＜0＜,

∴－＜0

∴＋∣－∣＝－－(－)＝－2.

 【变式2】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是：               ；

【答案】；

类型四、实数综合应用

6、小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿出铅球时，小燕发现小水桶中的水面下降了，小燕量得小水桶的直径为，于是她就算出了铅球的半径．你知道她是如何计算的吗？请求出铅球的半径．（球的体积公式，r为球的半径．）

【答案】3cm．

【分析】设球的半径为r，求出下降的水的体积，即圆柱形小水桶中下降的水的体积，最后根据球的体积公式列式求解即可．

解：设球的半径为r，

小水桶的直径为，水面下降了，

小水桶的半径为6cm，

下降的水的体积是π×62×1=36π(cm3)，

即，

解得：，，

答：铅球的半径是3cm．

【点拨】本题考查了立方根的应用，涉及圆柱的体积求解，解此题的关键是得出关于r的方程．

举一反三：

【变式】一个底为正方形的水池的容积是486，池深1.5，求这个水池的底边长．

【答案】

解：设水池的底边长为，由题意得

答：这个水池的底边长为18.