第七章 7.2一元二次不等式-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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进门测



判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　√　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　√　)
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　)
(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　√　)

阶段训练



题型一　一元二次不等式的求解
命题点1　不含参数的不等式
例1　求不等式－2x2＋x＋3<0的解集．
解　化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，
解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝，
∴不等式2x2－x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)，
即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)．
命题点2　含参数的不等式
例2　解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a<0.
解　由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，
∴x1＝a，x2＝1，
①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|1 ②当a＝1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为∅，
③当a<1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|a 引申探究
将原不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集．
解　若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等价于(x－)(x－1)>0，
解得x<或x>1.
若a>0，原不等式等价于(x－)(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－)(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－)(x－1)<0，
得 ③当01，解(x－)(x－1)<0，得1 综上所述，当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；
当0 当a＝1时，解集为∅；
当a>1时，解集为{x| 思维升华　含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
　解下列不等式：
(1)0 (2)求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
解　(1)原不等式等价于
⇔⇔
⇔
借助于数轴，如图所示，

所以原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2 (2)∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
得x1＝－，x2＝.
①a＞0时，－＜，解集为；
②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③a＜0时，－＞，解集为.
综上所述，当a＞0时，不等式的解集为
；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，不等式的解集为.
题型二　一元二次不等式恒成立问题
命题点1　在R上的恒成立问题
例3　(1)若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)
A．(－3,0] B．[－3,0)
C．[－3,0] D．(－3,0)
(2)设a为常数，任意x∈R，ax2＋ax＋1>0，则a的取值范围是(　　)
A．(0,4) B．[0,4)
C．(0，＋∞) D．(－∞，4)
答案　(1)D　(2)B
解析　(1)∵2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，
∴k≠0，
又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则必有解得－3 (2)任意x∈R，ax2＋ax＋1>0，则必有或a＝0，∴0≤a<4.
命题点2　在给定区间上的恒成立问题
例4　设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
方法一　令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，
所以m<，所以0 当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是{m|m<}．
方法二　因为x2－x＋1＝2＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以，m的取值范围是.
命题点3　给定参数范围的恒成立问题
例5　对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
解　由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴
解得x<1或x>3.
故当x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
思维升华　(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
　(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
答案　(－，0)
解析　作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，

则有
即解得－ (2)已知不等式mx2－2x－m＋1<0，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解　不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，
即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，1－2x<0，则x>，不满足题意；
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即
不等式组的解集为空集，即m无解．
综上可知，不存在这样的m.
题型三　一元二次不等式的应用
例6　某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．
解　(1)由题意得，y＝100·100.
因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0.
所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为x∈[0,2]．
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，
化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.
所以x的取值范围是.
思维升华　求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．
(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．
(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．
　某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为(　　)
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
答案　C
解析　设销售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，
即x2－28x＋192<0，解得12 所以每件销售价应定为12元到16元之间．


第3课时


阶段重难点梳理




1．“三个二次”的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象



一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x1 有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠－}
{x|x∈R}
一元二次不等式ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x ∅
∅

2.常用结论
(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法
不等式
解集
a a＝b
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a ∅
{x|b
口诀：大于取两边，小于取中间．
【知识拓展】
1.>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)．
2.≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．

重点题型训练



典例　(1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x) (2)已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．
思想方法指导　函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．
解析　(1)由题意知f(x)＝x2＋ax＋b
＝2＋b－.
∵f(x)的值域为[0，＋∞)，
∴b－＝0，即b＝.
∴f(x)＝2.
又∵f(x) 即－－ ∴
②－①，得2＝6，∴c＝9.
(2)∵x∈[1，＋∞)时，f(x)＝>0恒成立，
即x2＋2x＋a>0恒成立．
即当x≥1时，a>－(x2＋2x)＝g(x)恒成立．
而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.
∴实数a的取值范围是{a|a>－3}．
答案　(1)9　(2){a|a>－3}
1．不等式x2－3x－10>0的解集是(　　)
A．(－2,5) B．(5，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(5，＋∞)
答案　D
解析　解方程x2－3x－10＝0得x1＝－2，x2＝5，
由于y＝x2－3x－10的图象开口向上，所以x2－3x－10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)．
2．设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于(　　)
A．(0,4] B．[0,4)
C．[－1,0) D．(－1,0]
答案　B
解析　∵M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1 ∴M∩N＝[0,4)．
3．不等式<1的解集是(　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－1,1)
答案　A
解析　由<1得<0，
∴(x－1)(x＋1)>0，∴x>1或x<－1.
4．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－，)，则a＋b＝________.
答案　－14
解析　∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
∴解得∴a＋b＝－14.

作业布置



1．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为(　　)
A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}
C．{x|12}
答案　A
解析　由(x－1)(2－x)≥0可知(x－2)(x－1)≤0，
所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}．
2．不等式组的解集为(　　)
A．{x|－2 C．{x|01}
答案　C
解析　x(x＋2)>0的解集为{x|x<－2或x>0}，
又－1 3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|0 C．{a|0 答案　D
解析　由题意知a＝0时，满足条件．
当a≠0时，由
得0 4．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)
A．(－3,1)∪(3，＋∞)
B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1,3)
答案　A
解析　由题意得或
解得－33.
5．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，那么a＋b等于(　　)
A．－3 B．1
C．－1 D．3
答案　A
解析　由题意，A＝{x|－1 则不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|－1 由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，
所以a＋b＝－3，故选A.
6．已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，则不等式f(－2x)<0的解集是(　　)
A．(－∞，－)∪(，＋∞)
B．(－，)
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－，)
答案　A
解析　由题意得f(x)＝0的两个解是x1＝－1，x2＝3且a<0，
由f(－2x)<0得－2x>3或－2x<－1，
∴x<－或x>.
7．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是(　　)
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.∪
答案　A
解析　由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a<0即为x2－5x＋6<0，解集为(2,3)．
*8.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是(　　)
A．－12
C．b<－1或b>2 D．不能确定
答案　C
解析　由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)图象的对称轴为直线x＝1，
则有＝1，故a＝2.
由f(x)的图象可知f(x)在[－1,1]上为增函数．
∴x∈[－1,1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.
9．若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则a的值为________.
答案　
解析　若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则x2－2ax＋a＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，解得a＝.
10．设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则实数a的取值范围是________．
答案　(－1，)
解析　∵f(x＋3)＝f(x)，
∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)<－1.
∴<－1⇔<0⇔(3a－2)(a＋1)<0，
∴－1 *11.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是______________________．
答案　{x|－7 解析　令x<0，则－x>0，∵x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝x2＋4x，故有f(x)＝再求f(x)<5的解，
由得0≤x＜5；由
得－5 由于f(x)向左平移两个单位即得f(x＋2)，
故f(x＋2)<5的解集为{x|－7 12．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m (1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；
(2)若a>0，且0 解　(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)．
当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，
即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；
当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1 (2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，
∵a>0，且0 ∴x－m<0,1－an＋ax>0.
∴f(x)－m<0，即f(x) *13.已知不等式(a＋b)x＋(2a－3b)<0的解为x>－，解不等式(a－2b)x2＋2(a－b－1)x＋(a－2)>0.
解　因为(a＋b)x＋(2a－3b)<0，
所以(a＋b)x<3b－2a，
因为不等式的解为x>－，
所以a＋b<0，且＝－，
解得a＝3b<0，
则不等式(a－2b)x2＋2(a－b－1)x＋(a－2)>0
等价为bx2＋(4b－2)x＋(3b－2)>0，
即x2＋(4－)x＋(3－)<0，
即(x＋1)(x＋3－)<0.
因为－3＋<－1，
所以不等式的解为－3＋ 即所求不等式的解集为{x|－3＋