第二章 2.3奇偶性及周期性-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)

(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)

(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(　　)

(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　)

(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)

2．下列函数为偶函数的是(　　)

A．f(x)＝x－1

B．f(x)＝x2＋x

C．f(x)＝2x－2－x

D．f(x)＝2x＋2－x

3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．2

4．已知奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝log2(x＋3)，则f(－1)＝________.

5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则当x<0时，f(x)＝________.

无

题型一　判断函数的奇偶性

例1　(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)

A．y＝   B．y＝x＋

C．y＝2x＋   D．y＝x＋ex

(2)判断函数f(x)＝的奇偶性．

【同步练习】(1)下列函数中为偶函数的是(　　)

A．y＝   B．y＝lg|x|

C．y＝(x－1)2   D．y＝2x

(2)函数g(x)＝为________函数(填“奇”或“偶”)，函数f(x)＝＋1的对称中心为________．

题型二　函数的周期性

例2　(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 017)＋f(2 019)的值为(　　)

A．－1  B．1  C．0  D．无法计算

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.

引申探究

例2(2)中，若将f(x＋2)＝－改为f(x＋2)＝－f(x)，其他条件不变，则 f(105.5)=_____．

【同步练习】

1、定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.

1．函数的奇偶性

2.周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

【知识拓展】

1．函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．

题型三　函数性质的综合应用

命题点1　解不等式问题

例3　(1)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f()的x的取值范围是(　　)

A．(，)   B．[，)

C．(，)   D．[，)

(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－1,4)   B．(－2,0)

C．(－1,0)   D．(－1,2)

命题点2　求参数问题

例4　(1)函数f(x)＝lg(a＋)为奇函数，则实数a＝________.

(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f ＝f，则a＋3b的值为________．

【同步练习】(1)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.

(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)

A．f(－25)<f(11)<f(80)

B．f(80)<f(11)<f(－25)

C．f(11)<f(80)<f(－25)

D．f(－25)<f(80)<f(11)

题型四  抽象函数问题

考点分析  抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以选择题或填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视.

一、抽象函数的定义域

典例1　已知函数y＝f(x)的定义域是[0,8]，则函数g(x)＝的定义域为________．

二、抽象函数的函数值

典例2　若定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝，对任意x∈R恒成立，则f(2 019)等于(　　)

A．4  B．3  C．2  D．1

三、抽象函数的单调性与不等式

典例3　设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求实数a的取值范围．

(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤

(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．

1．下列函数中，既是奇函数又在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A．y＝ln x   B．y＝x3

C．y＝x2   D．y＝sin x

2．已知f(x)＝ax3＋b＋4(a，b∈R)，f[lg(log32)]＝1，则f[lg(log23)]的值为(　　)

A．－1  B．3  C．7  D．8

3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)等于(　　)

A．－2  B．2  C．－98  D．98

4．已知f(x)＝lg(＋a)为奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)   B．(－1,0)

C．(0,1)   D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝则f(f(－16))等于(　　)

A．－  B．－  C.  D.

 *6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是(　　)

A.   B.∪

C.   D.

7．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，f(g(－2))＝________.

8．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1＋x)，则f(－)＝________.

9．函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.

10．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．如果实数t满足

f(ln t)＋f(ln )≤2f(1)，那么t的取值范围是________．

11．已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．

 13.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．