四川省自贡市2021年中考数学真题（word版 含答案）

这是一份四川省自贡市2021年中考数学真题（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

四川省自贡市2021年中考数学真题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙遗址博物馆之一．今年“五一黄金周”共接待游客8.87万人次，人数88700用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是（ ）

A．百 B．党 C．年 D．喜
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，的度数是（ ）

A．72° B．36° C．74° D．88°
6．学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：
人数（人）
9
16
14
11
时间（小时）
7
8
9
10
这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．16，15 B．11，15 C．8，8.5 D．8，9
7．已知，则代数式的值是（　　）
A．31 B． C．41 D．
8．如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）

A． B． C． D．
9．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流O（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）

A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V
C．当时， D．当时，
10．如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是（ ）

A．9.6 B． C． D．19
11．如图，在正方形ABCD中，，M是AD边上的一点，．将沿BM对折至，连接DN，则DN的长是（ ）

A． B． C．3 D．
12．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题
13．请写出一个满足不等式的整数解_________．
14．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占30%，期末考试成绩占70%，小彤的这两项成绩依次是90，80．则小彤这学期的体育成绩是_________．
15．化简： _________．
16．某校园学子餐厅把WIFI密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是______．

17．当自变量时，函数（k为常数）的最小值为，则满足条件的k的值为_________．

三、解答题
18．如图，的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出的角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）．

19．计算：．
20．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．

21．在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据，，）

22．随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
23．为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如下统计图．

（1）本次抽样调查的样本容量是_________，请补全条形统计图；
（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；
（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数．
24．函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质．
列表如下：
x
…




0
1
2
3
4
…
y
…


a

0
b



…
（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；

（2）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当时，函数图象关于直线对称；
②时，函数有最小值，最小值为；
③时，函数y的值随x的增大而减小．
其中正确的是_________．（请写出所有正确命题的序号）
（3）结合图象，请直接写出不等式的解集_________．
25．如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求EF的长．

26．如图，抛物线（其中）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．

（1）直接写出的度数和线段AB的长（用a表示）；
（2）若点D为的外心，且与的周长之比为，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
1．C
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】
解： 88700用科学记数法表示为．
故选：C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．B
【分析】
正方体的表面展开图“一四一”型，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点解答．
【详解】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方体，“迎”与“党”是相对面，“建”与“百”是相对面，“喜”与“年”是相对面．
故答案为：B．
【点睛】
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
3．B
【分析】
根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式逐一计算即可．
【详解】
解：A．，该项运算错误；
B．，该项运算正确；
C．，该项运算错误；
D．，该项运算错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查整式的运算，掌握合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式是解题的关键．
4．D
【分析】
利用轴对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】
解：A是轴对称图形，对称轴有1条；
B不是轴对称图形；
C不是轴对称图形；
D是轴对称图形，对称轴有2条；
故选：D．
【点睛】
本题考查识别轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
5．A
【分析】
根据正五边形的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，利用角的和差即可求解．
【详解】
解：∵ABCDE是正五边形，
∴，，
∴,
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查正五边形的性质，求出正五边形内角的度数是解题的关键．
6．C
【分析】
根据众数和中位数的意义与表格直接求解即可．
【详解】
解：这50名学生这一周在校的体育锻炼时间是8小时的人数最多，故众数为8；
统计表中是按从小到大的顺序排列的，最中间两个人的锻炼时间分别是8，9，故中位数是（8+9）÷2=8.5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了众数和中位数的意义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
7．B
【分析】
根据题意，可先求出x2-3x的值，再化简，然后整体代入所求代数式求值即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
此题考查了代数式求值，此题的关键是代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，得出，是解题的关键．
8．D
【分析】
先根据题意得出OA=8，OC=2，再根据勾股定理计算即可
【详解】
解：由题意可知：AC=AB
∵，
∴OA=8，OC=2
∴AC=AB=10
在Rt△OAB中，
∴B(0，6)
故选：D
【点睛】
本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键
9．C
【分析】
将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．
【详解】
解：设，将代入可得，故A错误；
∴蓄电池的电压是36V，故B错误；
当时，，该项正确；
当当时，，故D错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
10．A
【分析】
先利用垂径定理得出AE=EC，CF=FD，再利用勾股定理列方程即可
【详解】
解：连接OC

∵AB⊥CD, OE⊥AC
∴ AE=EC，CF=FD
∵OE=3，OB=5
∴OB=OC=OA=5
∴在Rt△OAE中

∴AE=EC=4
设OF=x，则有

x=1.4
在Rt△OFC中，
∴
故选：A
【点睛】
本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键
11．D
【分析】
延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，根据折叠的正方形的性质得到，在中应用勾股定理求出DE的长度，通过证明，利用相似三角形的性质求出NF和DF的长度，利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图，延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，

∵，M是AD边上的一点，，
∴，，
∵将沿BM对折至，四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴(HL)，
∴，
∴，
在中，设，则，
根据勾股定理可得，解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等内容，做出合适的辅助线是解题的关键．
12．A
【分析】
根据题意得，设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，利用扇形面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】
解：如图，

根据旋转的性质，，
∴，
则
，
∵点P在直线上，点Q在直线上，且PQ∥轴，
设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，
∴OP2=，
OQ2=，


，
设，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴的最大值为．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，扇形的面积公式，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
13．6（答案不唯一）
【分析】
先估算出的值约为1.4，再解不等式即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴．
所以6是该不等式的其中一个整数解（答案不唯一，所有不小于6的整数都是该不等式的整数解）；
故答案为：6（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式、不等式的整数解、二次根式的值的估算等内容，要求学生在理解相关概念的前提下能灵活运用解决问题，本题答案不唯一，有一定的开放性．
14．83分．
【分析】
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
【详解】
解：根据题意得：
90×30%+80×70%=83（分）；
答：小彤这学期的体育成绩是83分．
故答案为：83分．
【点睛】
此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道常考题．
15．
【分析】
利用分式的减法法则，先通分，再进行计算即可求解．
【详解】
解：



，
故答案为：．
【点睛】
本题考查分式的减法，掌握分式的基本性质是解题的关键．
16．143549
【分析】
根据题中密码规律确定所求即可.
【详解】
532=5×3×10000+5×2×100+5×（2+3）=151025
924=9×2×10000+9×4×100+9×（2+4）=183654，
863=8×6×10000+8×3×100+8×（3+6）=482472，
∴725=7×2×10000+7×5×100+7×（2+5）=143549.
故答案为143549
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，根据题意得出规律并熟练掌握运算法则是解题关键.
17．
【分析】
分时，时，时三种情况讨论，即可求解．
【详解】
解：①若时，则当时，有，故，
故当时，有最小值，此时函数，
由题意，，
解得：，满足，符合题意；
②若，则当时，，
故当时，有最小值，此时函数，
由题意，，
解得：，不满足，不符合题意；
③若时，则当时，有，故，
故当时，有最小值，此时函数，
由题意，，方程无解，此情况不存在，
综上，满足条件的k的值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，绝对值的性质，分类讨论是解题的关键．
18．见解析
【分析】
取格点E，连接AE，作AE的中点D，根据等腰三角形三线合一的性质可知：BD即为的角平分线．
【详解】
解：如图，射线BD即为所求作．
．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形三线合一的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．
【分析】
利用算术平方根、绝对值的性质、零指数幂分别计算各项即可求解．
【详解】
解：原式．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，掌握算术平方根、绝对值的性质、零指数幂是解题的关键．
20．证明见试题解析．
【分析】
由矩形的性质和已知得到DF=BE，AB∥CD，故四边形DEBF是平行四边形，即可得到答案．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF=BE，
又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．
考点：1．矩形的性质；2．全等三角形的判定．

21．办公楼的高度约为10.4米．
【分析】
直接利用锐角三角函数关系得出AD的长，进而得出CD的高度．
【详解】
解：根据题意，∠BDA=53°，AB=24，
在Rt△BDA中，，
∴AD=，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴，
∴CD=(米)，
故办公楼的高度约为10.4米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．A型机平均每小时运送70件，B型机平均每小时运送50件
【分析】
设A型机平均每小时运送x件，根据A型机比B型机平均每小时多运送20件，得出B型机平均每小时运送（x-20）件，再根据A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，列出方程解之即可．
【详解】
解：设A型机平均每小时运送x件，则B型机平均每小时运送（x-20）件，
根据题意得：
解这个方程得：x=70．
经检验x=70是方程的解，∴x-20=50．
∴A型机平均每小时运送70件，B型机平均每小时运送50件．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23．（1）100，补全条形统计图见解析；（2）P(恰好回访到一男一女)；（3）700人
【分析】
（1）根据条形统计图和扇形统计图可知C等级的人数与所占比例，即可求出样本容量，根据B所占百分比求出B等级的人数，再求出D等级的人数即可；
（2）画出表格，利用概率公式即可求解；
（3）利用样本估计总体的方法求解即可．
【详解】
解：（1）（人），
B等级的人数为（人），
D等级的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
；
（2）列表如下：

男
男
男
女
女
男


男男
男男
女男
女男
男
男男


男男
女男
女男
男
男男
男男


女男
女男
女
男女
男女
男女


女女
女
男女
男女
男女
女女


P(恰好回访到一男一女)；
（3）（人）．
【点睛】
本题考查条形统计图与扇形统计图综合，从统计图中获取相关信息是解题的关键．
24．（1），，画出函数的图象见解析；（2）②；（3）
【分析】
（1）把和分别代入函数解析式，即可求得a、b的值，再利用描点法作出图像即可；
（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；
（3）根据图象求得即可．
【详解】
解：（1）当时，，
当时，，
∴，，
画出函数的图象如图：

（2）①函数图象关于直线对称，原说法错误；
②时，函数有最小值，最小值为，原说法正确；
③时，函数y的值随x的增大而减小，则原说法正确．
其中正确的是②，③．
故答案为：②，③；
（3）画出直线，

由图象可知：当时，函数的图象在直线的上方，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）EF．
【分析】
（1）连接OD，BD，由圆的切线的性质结合圆周角定理可求得∠EDA=∠ABD，再利用等角的余角相等，可证明结论；
（2）如图，连接BD、BF，利用平行线的性质以及圆周角定理证得∠C=∠ADF，根据（1）的结论可证明△ADF△ACD，可证明结论；
（3）设OA=OD=x，利用三角函数的定义和勾股定理得到OC=4x，CD，AC =5x，根据相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】
（1）证明：连接OD，BD，

∵ED是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥ED，
∴∠ODA+∠EDA=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ODA+∠ODB=90°，
∴∠ODB=∠EDA，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠EDA=∠ABD，
∵，
∴∠E=90°，
∴(等角的余角相等)；
（2）如图，连接BD、BF，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴BF∥CF，
∴∠C=∠ABF=∠ADF，
由（2）得，
∴△ADF△ACD，
∴,
∴；
（3）过D作DH⊥AB于H，连接OD，BD，

设OA=OD=x，
在Rt△ODC中，，
∴OC=4x，
则CD=，
AC=OA+OC=5x，
由（2）得，即，
∵∠C+∠DOC=90°，∠ODH+∠DOH=90°，
∴∠ODH=∠C，
在Rt△ODH中，，
∴OH=，
∴DH=，
由（1）得，
DH=DE=，
∵∠EFD=∠ABD(圆内接四边形外角等于内对角)，
由（1）得∠EDA=∠ABD，
∴∠EFD=∠EDA，
∴△EAD△EDF，
∴，即，
∴EF，
在Rt△DEF中，，即，
解得：，
∴EF．
【点睛】
本题考查了切线的性质定理，也考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．
26．（1）∠OCA=45°，AB= a+1；（2）；（3）存在，P1（，），P2（1，-2）．
【分析】
（1）根据二次函数解析式可得A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），即可得出OA=OB=a，OB=1，即可证明△OCA是等腰直角三角形，可得∠OCA=45°，根据线段的和差关系可表示AB的长；
（2）如图，作△ABC的外接圆⊙D，根据等腰直角三角形的性质可得AC=，利用两点间距离公式可用a表示出BC的长，根据圆周角定理可得∠D=2∠OAC=90°，可得△DBC是等腰直角三角形，即可证明△DBC∽△OCA，根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出a值即可得答案；
（3）如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作AC的垂线，交x轴于F，过点O作OG⊥AC于G，连接AP交CF于E，可得△OCF是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线CF的解析式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点D坐标，即可得出BH、DH的长，根据，∠BHD=∠ACE=90°可证明△BHD∽△ACE，根据相似三角形的性质可求出CE的长，根据两点间距离公式可得点E坐标，利用待定系数法可得直线AE解析式，联立直线AE与抛物线的解析式求出点P坐标即可得答案．
【详解】
（1）∵抛物线（其中）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
∴当x=0时，y=-a，
当y=0时，，
解得：，，
∴A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），
∴OB=1，OA=OC=a，
∴△OCA是等腰直角三角形，
∴∠OCA=45°，AB=OA+OB=a+1．
（2）如图，作△ABC的外接圆⊙D，
∵点D为的外心，
∴DB=DC，
∵△OCA是等腰直角三角形，OA=a，
∴∠OAC=45°，AC=，
∵∠BDC和∠BAC是所对的圆心角和圆周角，
∴∠BDC=2∠BAC=90°，
∴∠DBC=45°，
∴∠DBC=∠OAC，
∴△DBC∽△OCA，
∵与的周长之比为，
∴，即，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∵,
∴a=2，
∴抛物线解析式为：=．

（3）如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作AC的垂线，交x轴于F，过点O作OG⊥AC于G，连接AP交CF于E，
∵a=2，
∴C（0，-2），A（2，0），AC=，
∵∠OCA=45°，
∴∠OCF=45°，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴F（-2，0），
设直线CF的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线CF的解析式为，
∵△OCA是等腰直角三角形，OG⊥AC，
∴OG所在直线为AC的垂直平分线，点G为AC中点，
∵点D为的外心，
∴点D在直线OG上，
∵A（2，0），C（0，-2），
∴G（1，-1），
设直线OG的解析式y=mx，
∴m=-1，
∴直线OG的解析式y=-x，
∵点D为△ABC的外心，
∴点D在AB的垂直平分线上，
∴点D的横坐标为=，
把x=代入y=-x得y=-，
∴D（，-），
∴DH=，BH=1+=，
∵，∠BHD=∠ACE=90°，
∴△BHD∽△ACE，
∴，即，
解得：，
∵点E在直线CF上，
∴设点E坐标为（n，-n-2），
∴CE==，
解得：，
∴（，），（，），
设直线AE1的解析式为y=k1x+b1，
∴，
解得：，
∴直线AE1的解析式为，
同理：直线AE2的解析式为，
联立直线AE1解析式与抛物线解析式得，
解得：，（与点A重合，舍去），
∴P1（，），
联立直线AE2解析式与抛物线解析式得，
解得：，（与点A重合，舍去），
∴P2（1，-2）．

综上所述：存在点P，使得，点P坐标为P1（，），P2（1，-2）．
【点睛】
本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．