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2021年湖北省恩施中考二模数学试题（word版 含答案）
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这是一份2021年湖北省恩施中考二模数学试题（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖北省恩施中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（ ）
A． B． C． D．
4．习近平同志在十九大报告中指出：农业农村农民问题是关系到国计民生的根本性问题，我国现有农村人口约为589730000人，将589730000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
2
5
7
4
2
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）
A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
6．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则∠1与∠2之间关系一定成立的是（ ）
A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=180° C．∠1=∠2 D．∠1+∠2=90°
7．的值是（ ）
A．0 B． C． D．
8．若关于x的不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2
9．如图所示的主视图和俯视图，其对应的几何体（阴影所示如图）可以是下列（ ）
A． B． C． D．
10．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，是的直径，，是的半径，，点D在上，，点P是半径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
12．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x=－2时，y取最大值；③当m<4时，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=m必有两个不相等的实数根；④直线y=kx+c(k≠0)经过点A，C，当kx+c> ax2＋bx＋c时，x的取值范围是－4
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
二、填空题
13．在实数范围内分解因式：xy2﹣4x＝_____．
14．在函数中，自变量x的取值范围是________．
15．如图，正方形的顶点、在圆上，若，圆的半径为2，则阴影部分的面积是__________．（结果保留根号和）
16．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为________．
三、解答题
17．化简求值：，其中．
18．如图，平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E. F，连结BE、DF，求证：四边形BEDF是平行四边形.
19．某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图.
请根据图中的信息解答下列问题
（1）补全条形统计图
（2）该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为D等的人数为__________人；
（3）在此次测试中，有甲、乙、丙、丁四个班的学生表现突出，现决定从这四个班中随机选取两个班在全校举行一场足球友谊赛.请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲、乙两个班的概率.
20．空中缆车是旅游时上、下山和进行空中参观的交通工具．小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡，长度为1200米；从B到C的缆车路线可看作是直线，其与水平线的夹角为45°，且缆车从B到C的平均速度为6米/秒，运行时间为10分钟，求山顶C到AD的距离（结果保留根号）．
21．如图，直线l的解析式为y＝x，反比例函数y＝（x＞0）的图象与l交于点N，且点N的横坐标为6．
（1）求k的值；
（2）点A、点B分别是直线l、x轴上的两点，且OA＝OB＝10，线段AB与反比例函数图象交于点M，连接OM，求△BOM的面积．
22．某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的数量相同．
（1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？
（2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共200千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
23．如图，已知在中，是边上一点，，是的外接圆，是的直径，且交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作，垂足为点，延长交于点，若，求的长；
（3）在满足（2）的条件下，若，，求的半径及的值．
24．如图（1），在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（2），点D是抛物线第四象限上的一动点，连接，，当时，求点D坐标；
（3）如图（3），在（2）的条件下，点Q在的延长线上，连接，，过点Q作轴，交抛物线于P，，请求出的长．
参考答案
1．D
【分析】
在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．
【详解】
解：的相反数为﹣．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可．
2．C
【详解】
分析：根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则、合并同类项的法则分别进行计算即可．
详解：A．a3•a2=a5，故原题计算错误；
B．（﹣a2）3=﹣a6，故原题计算错误；
C．a7÷a5=a2，故原题计算正确；
D．﹣2mn﹣mn=﹣3mn，故原题计算错误．
故选C．
点睛：本题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方，关键是掌握各计算法则．
3．B
【分析】
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，则称为中心对称图形，平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形，据此解题．
【详解】
解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B. 是中心对称图形，不是轴对称图形，故B符合题意；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查中心对称图形、轴对称图形的识别，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．C
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】
解：589730000＝5.8973×108．
故选C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．A
【分析】
由人数最多所对应的册数可得出众数，由总人数是20人可得，中位数是将数据从小到大排序后的第10和11个所对应册数的平均数即可求得结果；
【详解】
由表中数据可得，人数基数最大的7人所应的册数是3，所以众数是3．
将数据从小到大排序后，第10和第11个数据均为3，所以中位数为：，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了中位数和众数的求解，准确分析表中数据得出结果是解题的关键．
6．D
【分析】
如图，根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据平角等于180°计算即可得解．
【详解】
∵直尺对边互相平行，
∴∠3=∠1，
∵∠3+∠2=180°-90°=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
7．D
【分析】
先算负整数指数幂和立方根，再算减法，即可求解．
【详解】
解：=
=，
故选D．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂和立方根的定义，是解题的关键．
8．D
【分析】
先求出每一个不等式的解集，然后根据不等式组有解根据已知给的解集即可得出答案.
【详解】
，
由①得，
由②得，
又不等式组的解集是x＞a，
根据同大取大的求解集的原则，∴，
当时，也满足不等式的解集为，
∴，故选D.
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集，熟练掌握不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键.
9．D
【分析】
根据几何体的主视图确定A、B、C选项，然后根据俯视图确定D选项即．
【详解】
解：A、B、D选项的主视图符合题意；
C选项的主视图和俯视图都不符合题意，
D选项的俯视图符合题意，
综上：对应的几何体为D选项中的几何体．
故选：D．
【点睛】
考查由视图判断几何体；由俯视图得到底层正方体的个数及形状是解决本题的突破点．
10．C
【分析】
设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论
【详解】
设这种植物每个支干长出个小分支，
依题意，得：，
解得： （舍去），．
故选C．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
11．B
【分析】
B是A关于OC的对称点，连接BD则就是AP＋PD的最小值．根据已知条件可以知道∠B＝30°，由于AB是直径，所以∠ADB＝90°，解直角三角形就可以求出题目结论．
【详解】
解：如图，连接BD，AD．
根据已知得B是A关于OC的对称点，
∴BD就是AP＋PD的最小值，
∵，弧AC的度数是90°的弧，
∴的度数是60°，即：∠B＝30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
而AB=2，
∴BD=．
故AP＋PD的最小值是 ．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了求两线段之和的最小值−−利用轴对称，圆周角定理及其推论，添加辅助线，构造BD就是AP＋PD的最小值，是解题的关键．
12．B
【分析】
结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案．
【详解】
解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；
②若当x=-2时，y取最大值，则由于点A和点B到x=-2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点B的纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A和D；
剩下的选项中都有③，所以③是正确的；
易知直线y=kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜-4或x＞0，从而④错误．
故选B．
【点睛】
本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题．
13．
【分析】
先提公因式x，再运用平方差公式分解因式即可求解．
【详解】
解：xy2﹣4x
＝x(y2﹣4)
＝.
故答案为：.
【点睛】
本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法和公式法对因式进行分解是解题的关键.
14．x≥−4且x≠0．
【分析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0，即可得解．
【详解】
解：由题意得，x＋4≥0且x≠0，
解得x≥−4且x≠0．
故答案为：x≥−4且x≠0．
【点睛】
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．
【分析】
设AD和BC分别与圆交于点E和F，连接AF、OE，过点O作OG⊥AE，根据90°的圆周角对应的弦是直径，可得AF为圆的直径，从而求出AF，然后根据锐角三角函数和勾股定理，即可求出∠AFB和BF，然后根据平行线的性质、锐角三角函数和圆周角定理，即可求出OG、AG和∠EOF，最后利用S阴影=S梯形AFCD－S△AOE－S扇形EOF计算即可．
【详解】
解：设AD和BC分别与圆交于点E和F，连接AF、OE，过点O作OG⊥AE
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABF=90°，AD∥BC，BC=CD=AD=cm
∴AF为圆的直径
∵，圆的半径为2，
∴AF=4cm
在Rt△ABF中sin∠AFB=，BF=
∴∠AFB=60°，FC=BC－BF=
∴∠EAF=∠AFB=60°
∴∠EOF=2∠EAF=120°
在Rt△AOG中，OG=sin∠EAF·AO=，AG= cos∠EAF·AO=1cm
根据垂径定理，AE=2AG=2cm
∴S阴影=S梯形AFCD－S△AOE－S扇形EOF
=
=
=
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是求不规则图形的面积，掌握正方形的性质、90°的圆周角对应的弦是直径、垂径定理、勾股定理和锐角三角函数的结合和扇形的面积公式是解决此题的关键．
16．
【分析】
先根据图形得出a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n（n＋2），再代入、裂项求解即可．
【详解】
解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n（n＋2），
∴原式=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查图形的变化规律，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
17．，
【分析】
先算分式的加减法，再把除法化为乘法，进行约分化简，最后代入求值，即可求解．
【详解】
解：原式=
=
=
=
=，
当时，原式===．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的通分和约分，是解题的关键．
18．见解析
【分析】
根据平行四边形的性质，结合题意，由全等三角形的判定定理（ASA），再根据全等三角形的性质得到OB= =OF即可解决问题．
【详解】
证明：∵ABCD是平行四边形，O是对角线BD的中点，
∴OB=OD,DE∥BF，
∴∠EDO=∠FOB，∠EOD=∠FOB，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定定理（ASA）和性质、平行四边形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理（ASA）和性质、平行四边形的判定与性质.
19．（1）图形见解析（2）56（3）
【详解】
试题分析：（1）根据A等学生人数除以它所占的百分比求得总人数，然后乘以B等所占的百分比求得B等人数，从而补全条形图；
（2）用该年级学生总数乘以足球测试成绩为D等的人数所占百分比即可求解；
（3）利用树状图法，将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
试题解析：（1）总人数为14÷28%=50人，
B等人数为50×40%=20人．
条形图补充如下：
（2）该年级足球测试成绩为D等的人数为700×=56（人）．
故答案为56；
（3）画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中选取的两个班恰好是甲、乙两个班的情况占2种，
所以恰好选到甲、乙两个班的概率是=．
考点：1、列表法与树状图法；2、用样本估计总体；3、扇形统计图；4、条形统计图
20．600（1+3）米
【分析】
过C点作CG⊥AD于G，过B点作BF⊥AD于F，BE⊥CG于E，则四边形BEGF是矩形，那么EG＝BF．解直角△ABF求出BF，解直角△DAE求出CE，代入CG＝CE+EG，即可求出答案．
【详解】
解：如图，过C点作CG⊥AD于G，过B点作BF⊥AD于F，BE⊥CG于E，则四边形BEGF是矩形．
在直角△ABF中，∠A＝30°，
∴BF＝AB•sin30°＝1200×＝600（米），
∴EG＝BF＝600（米）．
由题意，可得BC＝6×10×60＝3600（米），
在直角△DAE中，∠CBE＝45°，
∴CE＝CE＝×3600＝1800（米），
∴CG＝CE+EG＝＝600（1+3）米，
则山顶C到AD的距离是600（1+3）米．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，添加辅助线构造直角三角形，解直角三角形，熟练构造直角三角形，灵活解直角三角形是解题的关键．
21．（1）27；（2）15
【分析】
（1）把x＝6代入y＝x，求得N的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；
（2）根据勾股定理求得A的坐标，然后利用待定系数法求得直线AB的解析式，再和反比例函数的解析式联立，求得M的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△BOM的面积．
【详解】
解：（1）∵直线l经过N点，点N的横坐标为6，
∴y＝×6＝，
∴N（6，），
∵点N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝6×＝27；
（2）∵点A在直线l上，
∴设A（m，m），
∵OA＝10，
∴m2+（m）2＝102，解得m＝8，
∴A（8，6），
∵OA＝OB＝10，
∴B（10，0），
设直线AB的解析式为y＝ax+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+30，
解得或，
∴M（9，3），
∴△BOM的面积＝＝15．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式和一次函数的解析式，求得、点的坐标是解题的关键.
22．（1）甲、乙两种水果的单价分别是16元、20元；（2）水果商进货甲种水果145千克，乙种水果55千克，才能获得最大利润，最大利润是855元．
【分析】
（1）根据题意可以列出相应的分式方程，求出甲、乙两种水果的单价分别是多少元；
（2）根据题意可以得到利润和购买甲种水果数量之间的关系，再根据甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，可以求得甲种水果数量的取值范围，最后根据一次函数的性质即可解答本题．
【详解】
（1）设甲种水果的单价是x元，则乙种水果的单价是元，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：甲、乙两种水果的单价分别是16元、20元；
（2）设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果千克，利润为w元，
，
∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，
∴，
解得，，
∴当时，w取得最大值，此时，，
答：水果商进货甲种水果145千克，乙种水果55千克，才能获得最大利润，最大利润是855元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
23．（1）见解析；（2）AC＝；（3）sin∠ACE＝．
【分析】
（1）根据圆周角定理得出∠ACD＝90°以及利用∠PAC＝∠PBA得出∠CAD＋∠PAC＝90°进而得出答案；
（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2＝AG•AB，求出AC即可；
（3）先求出AF的长，根据勾股定理得：AG＝，即可得出sin∠ADB的值，利用∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，求出即可．
【详解】
解：（1）证明：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD＋∠ADC＝90°，
又∵∠PAC＝∠PBA，∠ADC＝∠PBA，
∴∠PAC＝∠ADC，
∴∠CAD＋∠PAC＝90°，即∠PAD=90°，
∴PA⊥OA．
又∵AD是⊙O的直径，
∴PA是⊙O的切线；
（2）由（1）知，PA⊥AD，
又∵CF⊥AD，
∴CF∥PA，
∴∠GCA＝∠PAC，
又∵∠PAC＝∠PBA，
∴∠GCA＝∠PBA，
又∵∠CAG＝∠BAC，
∴△CAG∽△BAC，
∴，即AC2＝AG•AB，
∵AG•AB＝48，
∴AC2＝48．
∴AC＝．
（3）设AF＝x，
∵AF：FD＝1：2，
∴FD＝2x．
∴AD＝AF＋FD＝3x．
在Rt△ACD中，
∵CF⊥AD，
由射影定理得：AC2＝AF•AD，
即3x2＝48．
解得；x＝4．
∴AF＝4，AD＝12．
∴⊙O半径为6．
在Rt△AFG中，∵AF＝4，GF＝2，
∴根据勾股定理得：AG＝，
由（2）知，AG•AB＝48，
∴AB＝，
连接BD，∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°．
在Rt△ABD中，
∵sin∠ADB＝，AD＝12，AB＝，
∴sin∠ADB＝．
∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，
∴sin∠ACE＝．
【点睛】
此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理，相似三角形，锐角三角函数关系等知识，根据已知得出AG的长以及AB的长是解题关键．
24．（1）；（2）D（10，−6）；（3）12
【分析】
（1）与x轴交于点B，与y轴交于点C，则B（8，0）、C（0，4），把B，C两点坐标代入二次函数，即可求解；
（2）证明四边形DLCA为矩形，tan∠BAD＝∠tan∠CBA＝，设点D的坐标为（m，n），则，…①，tan∠BAD＝＝…②，联立①②即可求解；
（3）证明△AQD为等腰直角三角形、Rt△AQD≌Rt△ADM，即可求解．
【详解】
解：（1）与x轴交于点B，与y轴交于点C，则B（8，0）、C（0，4），
把B，C两点坐标代入二次函数，得：，
解得，
二次函数的表达式为：；
（2）令y=0，代入，得：，解得：，
∴A(-2，0)，
由A、B、C点坐标得：AB2＝AC2＋BC2，
∴∠ACB＝90°，
过点D作DL⊥CB交BC于L点，
∵S△DCB＝S△ABC，
∴DL＝AC，
又∵DL∥AC，
∴四边形DLCA为平行四边形，又∠ACB＝90°，
∴四边形DLCA为矩形，
∴∠CBA＝∠BAD，
∴tan∠BAD＝tan∠CBA＝，
设点D的坐标为（m，n），
则，…①，tan∠BAD＝＝…②，
联立①②解得：m＝10或m＝−2（舍去），
则D（10，−6）；
（3）如下图：设直线CD与x轴交于R，过点D作DM⊥x轴，DT⊥y轴，
∵C（0，4），D（10，−6），
∴直线CD所在的方程为：y＝−x＋4，
令y＝0，则R（4，0），
∴OR＝OC＝4，
∴∠RCO＝45°，
∴∠ACO＋∠DCB＝90°−45°＝45°，
又∵∠CDA＝∠DCB，
∴∠AQD＝∠ACO＋∠ADC＝∠ACO＋∠DCB＝45°，
∵四边形DLCA为矩形，则△AQD为等腰直角三角形，
∴AQ＝AD，
又∵∠DAB+∠QAN＝∠AQN+∠QAN=90°，即：∠DAB=∠AQN，
∴Rt△AQN≌Rt△ADM（AAS），
∴AN＝DM＝6，QN＝AM＝12，
∴N（−8，0），
把x＝−8代入二次函数表达式，解得P（−8，−24），
则PQ＝PN-QN=24-12=12．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2021年湖北省恩施中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（ ）
A． B． C． D．
4．习近平同志在十九大报告中指出：农业农村农民问题是关系到国计民生的根本性问题，我国现有农村人口约为589730000人，将589730000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
2
5
7
4
2
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）
A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
6．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则∠1与∠2之间关系一定成立的是（ ）
A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=180° C．∠1=∠2 D．∠1+∠2=90°
7．的值是（ ）
A．0 B． C． D．
8．若关于x的不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2
9．如图所示的主视图和俯视图，其对应的几何体（阴影所示如图）可以是下列（ ）
A． B． C． D．
10．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，是的直径，，是的半径，，点D在上，，点P是半径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
12．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x=－2时，y取最大值；③当m<4时，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=m必有两个不相等的实数根；④直线y=kx+c(k≠0)经过点A，C，当kx+c> ax2＋bx＋c时，x的取值范围是－4
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
二、填空题
13．在实数范围内分解因式：xy2﹣4x＝_____．
14．在函数中，自变量x的取值范围是________．
15．如图，正方形的顶点、在圆上，若，圆的半径为2，则阴影部分的面积是__________．（结果保留根号和）
16．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为________．
三、解答题
17．化简求值：，其中．
18．如图，平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E. F，连结BE、DF，求证：四边形BEDF是平行四边形.
19．某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图.
请根据图中的信息解答下列问题
（1）补全条形统计图
（2）该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为D等的人数为__________人；
（3）在此次测试中，有甲、乙、丙、丁四个班的学生表现突出，现决定从这四个班中随机选取两个班在全校举行一场足球友谊赛.请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲、乙两个班的概率.
20．空中缆车是旅游时上、下山和进行空中参观的交通工具．小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡，长度为1200米；从B到C的缆车路线可看作是直线，其与水平线的夹角为45°，且缆车从B到C的平均速度为6米/秒，运行时间为10分钟，求山顶C到AD的距离（结果保留根号）．
21．如图，直线l的解析式为y＝x，反比例函数y＝（x＞0）的图象与l交于点N，且点N的横坐标为6．
（1）求k的值；
（2）点A、点B分别是直线l、x轴上的两点，且OA＝OB＝10，线段AB与反比例函数图象交于点M，连接OM，求△BOM的面积．
22．某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的数量相同．
（1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？
（2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共200千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
23．如图，已知在中，是边上一点，，是的外接圆，是的直径，且交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作，垂足为点，延长交于点，若，求的长；
（3）在满足（2）的条件下，若，，求的半径及的值．
24．如图（1），在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（2），点D是抛物线第四象限上的一动点，连接，，当时，求点D坐标；
（3）如图（3），在（2）的条件下，点Q在的延长线上，连接，，过点Q作轴，交抛物线于P，，请求出的长．
参考答案
1．D
【分析】
在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．
【详解】
解：的相反数为﹣．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可．
2．C
【详解】
分析：根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则、合并同类项的法则分别进行计算即可．
详解：A．a3•a2=a5，故原题计算错误；
B．（﹣a2）3=﹣a6，故原题计算错误；
C．a7÷a5=a2，故原题计算正确；
D．﹣2mn﹣mn=﹣3mn，故原题计算错误．
故选C．
点睛：本题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方，关键是掌握各计算法则．
3．B
【分析】
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，则称为中心对称图形，平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形，据此解题．
【详解】
解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B. 是中心对称图形，不是轴对称图形，故B符合题意；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查中心对称图形、轴对称图形的识别，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．C
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】
解：589730000＝5.8973×108．
故选C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．A
【分析】
由人数最多所对应的册数可得出众数，由总人数是20人可得，中位数是将数据从小到大排序后的第10和11个所对应册数的平均数即可求得结果；
【详解】
由表中数据可得，人数基数最大的7人所应的册数是3，所以众数是3．
将数据从小到大排序后，第10和第11个数据均为3，所以中位数为：，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了中位数和众数的求解，准确分析表中数据得出结果是解题的关键．
6．D
【分析】
如图，根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据平角等于180°计算即可得解．
【详解】
∵直尺对边互相平行，
∴∠3=∠1，
∵∠3+∠2=180°-90°=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
7．D
【分析】
先算负整数指数幂和立方根，再算减法，即可求解．
【详解】
解：=
=，
故选D．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂和立方根的定义，是解题的关键．
8．D
【分析】
先求出每一个不等式的解集，然后根据不等式组有解根据已知给的解集即可得出答案.
【详解】
，
由①得，
由②得，
又不等式组的解集是x＞a，
根据同大取大的求解集的原则，∴，
当时，也满足不等式的解集为，
∴，故选D.
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集，熟练掌握不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键.
9．D
【分析】
根据几何体的主视图确定A、B、C选项，然后根据俯视图确定D选项即．
【详解】
解：A、B、D选项的主视图符合题意；
C选项的主视图和俯视图都不符合题意，
D选项的俯视图符合题意，
综上：对应的几何体为D选项中的几何体．
故选：D．
【点睛】
考查由视图判断几何体；由俯视图得到底层正方体的个数及形状是解决本题的突破点．
10．C
【分析】
设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论
【详解】
设这种植物每个支干长出个小分支，
依题意，得：，
解得： （舍去），．
故选C．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
11．B
【分析】
B是A关于OC的对称点，连接BD则就是AP＋PD的最小值．根据已知条件可以知道∠B＝30°，由于AB是直径，所以∠ADB＝90°，解直角三角形就可以求出题目结论．
【详解】
解：如图，连接BD，AD．
根据已知得B是A关于OC的对称点，
∴BD就是AP＋PD的最小值，
∵，弧AC的度数是90°的弧，
∴的度数是60°，即：∠B＝30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
而AB=2，
∴BD=．
故AP＋PD的最小值是 ．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了求两线段之和的最小值−−利用轴对称，圆周角定理及其推论，添加辅助线，构造BD就是AP＋PD的最小值，是解题的关键．
12．B
【分析】
结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案．
【详解】
解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；
②若当x=-2时，y取最大值，则由于点A和点B到x=-2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点B的纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A和D；
剩下的选项中都有③，所以③是正确的；
易知直线y=kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜-4或x＞0，从而④错误．
故选B．
【点睛】
本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题．
13．
【分析】
先提公因式x，再运用平方差公式分解因式即可求解．
【详解】
解：xy2﹣4x
＝x(y2﹣4)
＝.
故答案为：.
【点睛】
本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法和公式法对因式进行分解是解题的关键.
14．x≥−4且x≠0．
【分析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0，即可得解．
【详解】
解：由题意得，x＋4≥0且x≠0，
解得x≥−4且x≠0．
故答案为：x≥−4且x≠0．
【点睛】
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．
【分析】
设AD和BC分别与圆交于点E和F，连接AF、OE，过点O作OG⊥AE，根据90°的圆周角对应的弦是直径，可得AF为圆的直径，从而求出AF，然后根据锐角三角函数和勾股定理，即可求出∠AFB和BF，然后根据平行线的性质、锐角三角函数和圆周角定理，即可求出OG、AG和∠EOF，最后利用S阴影=S梯形AFCD－S△AOE－S扇形EOF计算即可．
【详解】
解：设AD和BC分别与圆交于点E和F，连接AF、OE，过点O作OG⊥AE
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABF=90°，AD∥BC，BC=CD=AD=cm
∴AF为圆的直径
∵，圆的半径为2，
∴AF=4cm
在Rt△ABF中sin∠AFB=，BF=
∴∠AFB=60°，FC=BC－BF=
∴∠EAF=∠AFB=60°
∴∠EOF=2∠EAF=120°
在Rt△AOG中，OG=sin∠EAF·AO=，AG= cos∠EAF·AO=1cm
根据垂径定理，AE=2AG=2cm
∴S阴影=S梯形AFCD－S△AOE－S扇形EOF
=
=
=
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是求不规则图形的面积，掌握正方形的性质、90°的圆周角对应的弦是直径、垂径定理、勾股定理和锐角三角函数的结合和扇形的面积公式是解决此题的关键．
16．
【分析】
先根据图形得出a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n（n＋2），再代入、裂项求解即可．
【详解】
解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n（n＋2），
∴原式=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查图形的变化规律，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
17．，
【分析】
先算分式的加减法，再把除法化为乘法，进行约分化简，最后代入求值，即可求解．
【详解】
解：原式=
=
=
=
=，
当时，原式===．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的通分和约分，是解题的关键．
18．见解析
【分析】
根据平行四边形的性质，结合题意，由全等三角形的判定定理（ASA），再根据全等三角形的性质得到OB= =OF即可解决问题．
【详解】
证明：∵ABCD是平行四边形，O是对角线BD的中点，
∴OB=OD,DE∥BF，
∴∠EDO=∠FOB，∠EOD=∠FOB，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定定理（ASA）和性质、平行四边形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理（ASA）和性质、平行四边形的判定与性质.
19．（1）图形见解析（2）56（3）
【详解】
试题分析：（1）根据A等学生人数除以它所占的百分比求得总人数，然后乘以B等所占的百分比求得B等人数，从而补全条形图；
（2）用该年级学生总数乘以足球测试成绩为D等的人数所占百分比即可求解；
（3）利用树状图法，将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
试题解析：（1）总人数为14÷28%=50人，
B等人数为50×40%=20人．
条形图补充如下：
（2）该年级足球测试成绩为D等的人数为700×=56（人）．
故答案为56；
（3）画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中选取的两个班恰好是甲、乙两个班的情况占2种，
所以恰好选到甲、乙两个班的概率是=．
考点：1、列表法与树状图法；2、用样本估计总体；3、扇形统计图；4、条形统计图
20．600（1+3）米
【分析】
过C点作CG⊥AD于G，过B点作BF⊥AD于F，BE⊥CG于E，则四边形BEGF是矩形，那么EG＝BF．解直角△ABF求出BF，解直角△DAE求出CE，代入CG＝CE+EG，即可求出答案．
【详解】
解：如图，过C点作CG⊥AD于G，过B点作BF⊥AD于F，BE⊥CG于E，则四边形BEGF是矩形．
在直角△ABF中，∠A＝30°，
∴BF＝AB•sin30°＝1200×＝600（米），
∴EG＝BF＝600（米）．
由题意，可得BC＝6×10×60＝3600（米），
在直角△DAE中，∠CBE＝45°，
∴CE＝CE＝×3600＝1800（米），
∴CG＝CE+EG＝＝600（1+3）米，
则山顶C到AD的距离是600（1+3）米．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，添加辅助线构造直角三角形，解直角三角形，熟练构造直角三角形，灵活解直角三角形是解题的关键．
21．（1）27；（2）15
【分析】
（1）把x＝6代入y＝x，求得N的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；
（2）根据勾股定理求得A的坐标，然后利用待定系数法求得直线AB的解析式，再和反比例函数的解析式联立，求得M的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△BOM的面积．
【详解】
解：（1）∵直线l经过N点，点N的横坐标为6，
∴y＝×6＝，
∴N（6，），
∵点N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝6×＝27；
（2）∵点A在直线l上，
∴设A（m，m），
∵OA＝10，
∴m2+（m）2＝102，解得m＝8，
∴A（8，6），
∵OA＝OB＝10，
∴B（10，0），
设直线AB的解析式为y＝ax+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+30，
解得或，
∴M（9，3），
∴△BOM的面积＝＝15．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式和一次函数的解析式，求得、点的坐标是解题的关键.
22．（1）甲、乙两种水果的单价分别是16元、20元；（2）水果商进货甲种水果145千克，乙种水果55千克，才能获得最大利润，最大利润是855元．
【分析】
（1）根据题意可以列出相应的分式方程，求出甲、乙两种水果的单价分别是多少元；
（2）根据题意可以得到利润和购买甲种水果数量之间的关系，再根据甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，可以求得甲种水果数量的取值范围，最后根据一次函数的性质即可解答本题．
【详解】
（1）设甲种水果的单价是x元，则乙种水果的单价是元，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：甲、乙两种水果的单价分别是16元、20元；
（2）设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果千克，利润为w元，
，
∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，
∴，
解得，，
∴当时，w取得最大值，此时，，
答：水果商进货甲种水果145千克，乙种水果55千克，才能获得最大利润，最大利润是855元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
23．（1）见解析；（2）AC＝；（3）sin∠ACE＝．
【分析】
（1）根据圆周角定理得出∠ACD＝90°以及利用∠PAC＝∠PBA得出∠CAD＋∠PAC＝90°进而得出答案；
（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2＝AG•AB，求出AC即可；
（3）先求出AF的长，根据勾股定理得：AG＝，即可得出sin∠ADB的值，利用∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，求出即可．
【详解】
解：（1）证明：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD＋∠ADC＝90°，
又∵∠PAC＝∠PBA，∠ADC＝∠PBA，
∴∠PAC＝∠ADC，
∴∠CAD＋∠PAC＝90°，即∠PAD=90°，
∴PA⊥OA．
又∵AD是⊙O的直径，
∴PA是⊙O的切线；
（2）由（1）知，PA⊥AD，
又∵CF⊥AD，
∴CF∥PA，
∴∠GCA＝∠PAC，
又∵∠PAC＝∠PBA，
∴∠GCA＝∠PBA，
又∵∠CAG＝∠BAC，
∴△CAG∽△BAC，
∴，即AC2＝AG•AB，
∵AG•AB＝48，
∴AC2＝48．
∴AC＝．
（3）设AF＝x，
∵AF：FD＝1：2，
∴FD＝2x．
∴AD＝AF＋FD＝3x．
在Rt△ACD中，
∵CF⊥AD，
由射影定理得：AC2＝AF•AD，
即3x2＝48．
解得；x＝4．
∴AF＝4，AD＝12．
∴⊙O半径为6．
在Rt△AFG中，∵AF＝4，GF＝2，
∴根据勾股定理得：AG＝，
由（2）知，AG•AB＝48，
∴AB＝，
连接BD，∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°．
在Rt△ABD中，
∵sin∠ADB＝，AD＝12，AB＝，
∴sin∠ADB＝．
∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，
∴sin∠ACE＝．
【点睛】
此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理，相似三角形，锐角三角函数关系等知识，根据已知得出AG的长以及AB的长是解题关键．
24．（1）；（2）D（10，−6）；（3）12
【分析】
（1）与x轴交于点B，与y轴交于点C，则B（8，0）、C（0，4），把B，C两点坐标代入二次函数，即可求解；
（2）证明四边形DLCA为矩形，tan∠BAD＝∠tan∠CBA＝，设点D的坐标为（m，n），则，…①，tan∠BAD＝＝…②，联立①②即可求解；
（3）证明△AQD为等腰直角三角形、Rt△AQD≌Rt△ADM，即可求解．
【详解】
解：（1）与x轴交于点B，与y轴交于点C，则B（8，0）、C（0，4），
把B，C两点坐标代入二次函数，得：，
解得，
二次函数的表达式为：；
（2）令y=0，代入，得：，解得：，
∴A(-2，0)，
由A、B、C点坐标得：AB2＝AC2＋BC2，
∴∠ACB＝90°，
过点D作DL⊥CB交BC于L点，
∵S△DCB＝S△ABC，
∴DL＝AC，
又∵DL∥AC，
∴四边形DLCA为平行四边形，又∠ACB＝90°，
∴四边形DLCA为矩形，
∴∠CBA＝∠BAD，
∴tan∠BAD＝tan∠CBA＝，
设点D的坐标为（m，n），
则，…①，tan∠BAD＝＝…②，
联立①②解得：m＝10或m＝−2（舍去），
则D（10，−6）；
（3）如下图：设直线CD与x轴交于R，过点D作DM⊥x轴，DT⊥y轴，
∵C（0，4），D（10，−6），
∴直线CD所在的方程为：y＝−x＋4，
令y＝0，则R（4，0），
∴OR＝OC＝4，
∴∠RCO＝45°，
∴∠ACO＋∠DCB＝90°−45°＝45°，
又∵∠CDA＝∠DCB，
∴∠AQD＝∠ACO＋∠ADC＝∠ACO＋∠DCB＝45°，
∵四边形DLCA为矩形，则△AQD为等腰直角三角形，
∴AQ＝AD，
又∵∠DAB+∠QAN＝∠AQN+∠QAN=90°，即：∠DAB=∠AQN，
∴Rt△AQN≌Rt△ADM（AAS），
∴AN＝DM＝6，QN＝AM＝12，
∴N（−8，0），
把x＝−8代入二次函数表达式，解得P（−8，−24），
则PQ＝PN-QN=24-12=12．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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