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2021年江西省南昌市中考数学第二次调研试卷（word版 含答案）
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这是一份2021年江西省南昌市中考数学第二次调研试卷（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021年江西省南昌市中考数学第二次调研试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（﹣1）0的结果是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．无意义
2．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．（3ab2）2＝6a2b4
C．a2•a3＝a6 D．2ab+3ba＝5ab
3．中国国家统计局近日发布数据，2020年，中国国内生产总值（GDP）为1015986亿元，首次突破100万亿元大关，按可比价格计算，比上年增长2.3%．1015986亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.015986×1012 B．1.015986×1013
C．1.015986×1014 D．1.015986×1015
4．2021年某校对学生到校方式进行调查，如图，若该校骑车到校的学生有150人，则步行到校的学生有（ ）
A．600人 B．270人 C．280人 D．260人
5．如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（ ）
A．（﹣x，y﹣2） B．（﹣x，y+2） C．（﹣x+2，﹣y） D．（﹣x+2，y+2）
6．在校运动会上，三位同学用绳子将四根同样大小的接力棒分别按横截面如图（1），（2），（3）所示的方式进行捆绑，三个图中的四个圆心的连线（虚线）分别构成菱形，正方形，菱形，如果把三种方式所用绳子的长度分别用x，y，z来表示，则（ ）
A．z＞x＞y B．x＞z＞y C．x＞y＞z D．x＝y＝z
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．分解因式：x2﹣2x＝ ．
8．不等式﹣2x﹣1＞3的解集是 ．
9．若α，β是方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ﹣4＝ ．
10．已知直线y＝m与一次函数y＝mx+m和y＝﹣mx﹣m的图象分别相交于A，B两点，则AB＝ ．
11．著名数学教育家张景中院士在他的著作《新概念几何》中这样定义“共边三角形”：有一条公共边的三角形，叫做共边三角形．如图1，△ABC与△ABD有一条公共边AB，则称△ABC与△ABD叫做共边三角形．直线AB与直线CD交点E，则△ABD与△ABC的面积之比为DE：CE，这个性质也叫共边定理．根据共边定理和已学知识，解决下面的问题：如图2，在四边形ACBD中，AC∥BD．AC＝BD，则＝ ．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝9cm，点E在边AD上运动，将△DEC沿EC翻折，使D落在D'处，若△DEC有两条边存在2倍的数关系，则D'到AD的距离为 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：．
（2）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD．E，F为对角线AC上的点，且AE＝CF，求证：BE＝DF．
14．（6分）先化简，再求值：． 请从﹣2＜x＜2中选择一个合适的整数代入求值．
15．（6分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝BD，∠A＝45°，边AB是半圆O的直径，AD与平圆O交于E点，请仅用无刻度的直尺，画半圆O的切线（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中画切线EF；
（2）在图2中画切线AG．
16．（6分）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校，甲、乙两位同学进校时可以从学校大门A，B，C，D四个入口处中的任意一处测址体温后进校．
（1）甲同学由A入口进入校园的概率为 ．
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学从同一入口处测放体温后进校的概率．
17．（6分）某同学到书店购买笔记本和钢笔，书店老板告诉他买1本笔记本和1支钢笔需要12元，买2本笔记本和3支钢笔需要31元．
（1）分别求笔记本和钢笔的单价；
（2）若该同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，求该同学最多购买钢笔多少支？
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）身高1.62米的小付同学在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，小付同学位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）．经测量，小付同学与建筑物的距离BC＝2米，建筑物底部宽FC＝4米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB＝1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．
（1）求风筝距地面的高度GF；
（2）在建筑物后面有长2.5米的梯子MN，梯脚M在距墙1.5米处固定摆放，通过计算说明：若小付同学充分利用梯子和一根3米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0），B（0，1），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，n），点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为t（0＜t＜3），EF∥y轴交直线AB于点F，D是y轴上任意一点，连接DE，DF．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当t为何值时，△DEF为等腰直角三角形．
20．（8分）为了调查全校学生对垃圾分类知识的了解情况，小胡和小叶同学分别随机抽取了20名男生和20名女生进行了相关知识测试，获得了数据（成绩）（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
收集数据：
20名男生的成绩统计（单位：分）76 82 78 86 60 92 76 80 98 72 78 96 75 100 82 87 70 54 87 78；
20名女生的成绩统计（单位：分）97 95 90 68 78 80 68 94 86 80 87 92 59 75 93 86 56 76 86 70．
整理数据：（成绩得分用x表示）
成绩
0≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
男生（人数）
1
1
8
6
4
女生（人数）
2
a
b
6
6
分析数据：
平均分
中位数
众数
男生
80.35
79
78
女生
80.8
c
d
请回答下列问题：
（1）上述两表中，a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）你认为男生和女生对垃圾分类知识的了解情况哪个更好一些，并利用数据说明理由；
（3）若此次成绩不低于80分为优秀，请估计全校800人中优秀人数为多少？
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并延长至D，使∠D＝∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．
（1）求证：BD＝BE；
（2）已知AC＝1cm，BC＝cm．
①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；
②求图中阴影部分面积．
22．（9分）【问题情境】
如图1，将△ADC绕点A旋转到△ABF，且∠BAD+∠BCD＝90°，AC＝2AD，连接BD，BC，CF．
（1）①求证：△ACF∽△ADB，∠CBF＝90°；
②猜想BC2，CD2，BD2的数量关系，并说明理由；
【数学思考】
（2）若AC＝nAD，其他条件不变，则BC2，CD2，BD2的数量关系为 ；（不需要说明理由）
【类比探究】
（3）如图2，若∠BAD+∠BCD＝120°．AD＝AB，AC＝nAD，则BC，CD，BD的数量关系为 ．（不需要说明理由）
2021年江西省南昌市中考数学第二次调研试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（﹣1）0的结果是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．无意义
【分析】直接利用零指数幂的性质化简得出答案．
【解答】解：（﹣1）0＝1，
故选：A．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．（3ab2）2＝6a2b4
C．a2•a3＝a6 D．2ab+3ba＝5ab
【分析】分别根据同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；
B、（3ab2）2＝9a2b4，故本选项不合题意；
C、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
D、2ab+3ba＝5ab，故本选项符合题意；
故选：D．
3．中国国家统计局近日发布数据，2020年，中国国内生产总值（GDP）为1015986亿元，首次突破100万亿元大关，按可比价格计算，比上年增长2.3%．1015986亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.015986×1012 B．1.015986×1013
C．1.015986×1014 D．1.015986×1015
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1015986亿＝101598600000000＝1.015986×1014．
故选：C．
4．2021年某校对学生到校方式进行调查，如图，若该校骑车到校的学生有150人，则步行到校的学生有（ ）
A．600人 B．270人 C．280人 D．260人
【分析】根据骑车到校的学生有150人，可以求得总人数，求出步行到校的学生所占的百分比，即可求得步行到校的学生人数．
【解答】解：总人数为：150÷25%＝600（人），
步行到校的学生所占的百分比为：1﹣25%﹣20%﹣10%＝45%，
步行到校的学生人数是：600×45%＝270（人），
故选：B．
5．如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（ ）
A．（﹣x，y﹣2） B．（﹣x，y+2） C．（﹣x+2，﹣y） D．（﹣x+2，y+2）
【分析】先观察△ABC和△A′B′C′得到把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，然后把点P（x，y）向上平移2个单位，再关于y轴对称得到点的坐标为（﹣x，y+2），即为P′点的坐标．
【解答】解：∵把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，
∴点P（x，y）的对应点P′的坐标为（﹣x，y+2）．
故选：B．
6．在校运动会上，三位同学用绳子将四根同样大小的接力棒分别按横截面如图（1），（2），（3）所示的方式进行捆绑，三个图中的四个圆心的连线（虚线）分别构成菱形，正方形，菱形，如果把三种方式所用绳子的长度分别用x，y，z来表示，则（ ）
A．z＞x＞y B．x＞z＞y C．x＞y＞z D．x＝y＝z
【分析】设圆的半径为r，则AB＝BC＝CD＝AD＝2r，分别与圆心A、B、C、D向外连接各切点AE、AQ、BF、BG、CH、CM、DN、DP，则四边形ABFE、四边形BCHG、四边形CDNM、四边形ADPQ都是矩形，得出AB＝EF＝BC＝GH＝CD＝MN＝AD＝QP＝2r，再由四边形为菱形、正方形时，分别计算出的长+的长+的长+的长，即可得出结果．
【解答】解：∵四根同样大小的接力棒，
∴横截面四个圆相同，
设圆的半径为r，
则AB＝BC＝CD＝AD＝2r，
分别与圆心A、B、C、D向外连接各切点AE、AQ、BF、BG、CH、CM、DN、DP，
则四边形ABFE、四边形BCHG、四边形CDNM、四边形ADPQ都是矩形，
∴AB＝EF＝BC＝GH＝CD＝MN＝AD＝QP＝2r，
（1）当四边形ABCD为菱形时，
①如图（1）所示：
则∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠EAB＝∠ABF＝∠GBC＝∠DAQ＝90°，
∴∠EAQ+∠FBG＝720°＝180°﹣4×90°＝180°，
∴的长+的长为圆A周长的一半，
同理：的长+的长也为圆A周长的一半，
∴x＝EF+GH+MN+QP+的长+的长+的长+的长＝4×2r+2πr＝8r+2πr；
②如图（3）所示：
同理：z＝EF+GH+MN+QP+的长+的长+的长+的长＝4×2r+2πr＝8r+2πr；
（2）四边形ABCD为正方形时，如图（2）所示：
同理：∠EAQ＝∠FBG＝∠HCM＝∠NDP＝90°，
∴的长+的长+的长+的长＝2πr，
∴y＝EF+GH+MN+QP+2πr＝8r+2πr；
∴x＝y＝z，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．分解因式：x2﹣2x＝ x（x﹣2） ．
【分析】提取公因式x，整理即可．
【解答】解：x2﹣2x＝x（x﹣2）．
故答案为：x（x﹣2）．
8．不等式﹣2x﹣1＞3的解集是 x＜﹣2 ．
【分析】直接利用一元一次不等式的解法得出答案．
【解答】解：﹣2x﹣1＞3，
则﹣2x＞4，
解得：x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
9．若α，β是方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ﹣4＝ 2021 ．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得出α+β＝4，αβ＝﹣2021，将其代入α+β﹣αβ﹣4中即可求出结论．
【解答】解：∵α，β是方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，
∴α+β＝4，αβ＝﹣2021，
∴α+β﹣αβ﹣4＝4+2021﹣4＝2021．
故答案为：2021．
10．已知直线y＝m与一次函数y＝mx+m和y＝﹣mx﹣m的图象分别相交于A，B两点，则AB＝ 2 ．
【分析】把y＝m分别代入两个解析式求得A、B的坐标，进而即可求得AB．
【解答】解：把y＝m代入y＝mx+m得，m＝mx+m，
解得m＝0，
∴A（0，m），
把y＝m代入y＝﹣mx﹣m得，m＝﹣mx﹣m，
解得x＝﹣2，
∴B（﹣2，m），
∴AB＝|﹣2﹣0|＝2，
故答案为2．
11．著名数学教育家张景中院士在他的著作《新概念几何》中这样定义“共边三角形”：有一条公共边的三角形，叫做共边三角形．如图1，△ABC与△ABD有一条公共边AB，则称△ABC与△ABD叫做共边三角形．直线AB与直线CD交点E，则△ABD与△ABC的面积之比为DE：CE，这个性质也叫共边定理．根据共边定理和已学知识，解决下面的问题：如图2，在四边形ACBD中，AC∥BD．AC＝BD，则＝ 2 ．
【分析】作DM⊥AB于M，作CN⊥AB于N，由AC∥BD，得∠DBA＝∠BAC，又AC＝BD，可得两三角形高的关系，即可得出面积比值．
【解答】解：如右图，作DM⊥AB于M，作CN⊥AB于N，
∵AC∥BD，
∴∠DBA＝∠BAC，
∴DN＝BD•sin∠DBA，CM＝AC•sin∠BAC，
∴＝＝＝，
又∵AC＝BD，
∴＝＝2，
故答案为：2．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝9cm，点E在边AD上运动，将△DEC沿EC翻折，使D落在D'处，若△DEC有两条边存在2倍的数关系，则D'到AD的距离为 或2或 ．
【分析】分三种情况：①当DE＝CE时，作D'H⊥AD于H，求出∠D'EC＝∠DEC＝60°，D'E＝DE＝，Rt△D'HE中可解得D'H，②当DE＝DC时，作D'H⊥AD于H，延长HD'交BC于F，由△D'HE∽△CFD'，得＝＝＝，设HE＝x，D'H＝y，则D'F＝2x，CF＝2y，根据四边形HFCD是矩形，HF＝CD＝5，CF＝DH＝DE+HE，可得，即可解得D'H，③当DC＝CE时，作D'H⊥AD于H，可得∠DED'＝60°，Rt△ED'H中，解得D'H即可．
【解答】解：①当DE＝CE时，作D'H⊥AD于H，如图：
∵矩形ABCD，AB＝5，
∴∠D＝90°，CD＝5，
Rt△DCE中，DE2+CD2＝CE2，CD＝5，DE＝CE，
∴DE2+52＝（2DE）2，
∴DE＝，
∵DE＝CE，∠D＝90°，
∴∠DCE＝30°，∠DEC＝60°，
∵△DEC沿EC翻折，使D落在D'处，
∴∠D'EC＝∠DEC＝60°，D'E＝，
∴∠D'EH＝180°﹣∠D'EC﹣∠DEC＝60°，
Rt△D'HE中，D'H＝D'E•sin∠D'EH＝×sin60°＝；
②当DE＝DC时，作D'H⊥AD于H，延长HD'交BC于F，如图：
Rt△DCE中，DE2+CD2＝CE2，CD＝5，DE＝CD，
∴DE＝，CE＝，
∵△DEC沿EC翻折，使D落在D'处，
∴∠ED'C＝∠D＝90°，DE＝D'E，CD＝CD'，
∴∠HD'E＝90°﹣∠FD'C＝∠FCD'，
且∠D'HE＝∠CFD'＝90°，
∴△D'HE∽△CFD'，
∴＝＝，
∵DE＝DC，
∴＝，
∴＝＝＝，
设HE＝x，D'H＝y，则D'F＝2x，CF＝2y，
∵D'H⊥AD，矩形ABCD，
∴四边形HFCD是矩形，
∴HF＝CD＝5，CF＝DH＝DE+HE，
∴
解得y＝2，
∴D'H＝2，
③当DC＝CE时，作D'H⊥AD于H，如图：
Rt△DCE中，DE2+CD2＝CE2，CD＝5，DC＝CE，
∴CE＝10，DE2+52＝102，
∴DE＝5，
∵CD＝CE，∠D＝90°，
∴∠DEC＝30°，
∵△DEC沿EC翻折，使D落在D'处，
∴∠DEC＝∠D'EC＝30°，D'E＝DE＝5，
∴∠DED'＝60°，
Rt△ED'H中，D'H＝D'E•sin60°＝，
综上所述，△DEC有两条边存在2倍关系，则D'到AD的距离为或2或．
故答案为：或2或．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：．
（2）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD．E，F为对角线AC上的点，且AE＝CF，求证：BE＝DF．
【分析】（1）根据负数的奇次幂是负数，负数的绝对值是它的相反数，三次根号8等于2，然后进行有理数加减运算即可；
（2）根据AB＝CD，BC＝AD，可得四边形ABCD是平行四边形．利用SAS证明△ABE≌△CDF，即可得结论．
【解答】（1）解：原式＝﹣1+4+2﹣3＝2；
（2）证明：∵AB＝CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴BE＝DF．
14．（6分）先化简，再求值：． 请从﹣2＜x＜2中选择一个合适的整数代入求值．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2＜x＜2中选择一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可即解答本题．
【解答】解：
＝[]
＝
＝
＝，
∵﹣2＜x＜2，x为整数，x（x﹣1）≠0，
∴x＝﹣1，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1．
15．（6分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝BD，∠A＝45°，边AB是半圆O的直径，AD与平圆O交于E点，请仅用无刻度的直尺，画半圆O的切线（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中画切线EF；
（2）在图2中画切线AG．
【分析】（1）连接AC交BD于F，作直线EF即可．
（2）连接BE，延长BE交CD的延长线于G，作直线AG即可．
【解答】解：（1）如图1中，直线EF即为所求作．
（2）如图2中，直线AG即为所求作．
16．（6分）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校，甲、乙两位同学进校时可以从学校大门A，B，C，D四个入口处中的任意一处测址体温后进校．
（1）甲同学由A入口进入校园的概率为 ．
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学从同一入口处测放体温后进校的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵学校有A、B、C、D四个大门入口，
∴甲同学在A入口处测量体温的概率是；
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
由图可知共有16种等情况数，其中甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况有4种，
则P（甲、乙两位同学在同一入口处测量体温）＝＝．
17．（6分）某同学到书店购买笔记本和钢笔，书店老板告诉他买1本笔记本和1支钢笔需要12元，买2本笔记本和3支钢笔需要31元．
（1）分别求笔记本和钢笔的单价；
（2）若该同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，求该同学最多购买钢笔多少支？
【分析】（1）设笔记本的单价为x元，钢笔的单价为y元，根据买1本笔记本和1支钢笔需要12元，买2本笔记本和3支钢笔需要31元，列方程组求解；
（2）设购买钢笔m支，求出购买笔记本的钱数，再根据正整数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设笔记本的单价为x元，钢笔的单价为y元，依题意有
，
解得．
故笔记本的单价为5元，钢笔的单价为7元；
（2）设购买钢笔m支，
则购买笔记本的钱数为（100﹣7m），
则购买笔记本的本数为，
∵购买钢笔的支数和购买笔记本的本数都为正整数，
∴m最大为10．
故该同学最多购买钢笔10支．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）身高1.62米的小付同学在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，小付同学位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）．经测量，小付同学与建筑物的距离BC＝2米，建筑物底部宽FC＝4米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB＝1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．
（1）求风筝距地面的高度GF；
（2）在建筑物后面有长2.5米的梯子MN，梯脚M在距墙1.5米处固定摆放，通过计算说明：若小付同学充分利用梯子和一根3米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】（1）过A作AP⊥GF于点P．在Rt△PAG中利用三角函数求得GP的长，进而求得GF的长；
（2）在直角△MNF中，利用勾股定理求得NF的长度，NF的长加上身高再加上竹竿长，与GF比较大小即可．
【解答】解：（1）过A作AP⊥GF于点P，
则AP＝BF＝BC+FC＝2+4＝6（米），AB＝PF＝1.4米，∠GAP＝37°，
在Rt△PAG中，tan∠PAG＝，
∴GP＝AP•tan37°≈6×0.75＝4.5（米）．
∴GF＝GP+PF＝4.5+1.4＝5.9（米）．
（2）由题意可知MN＝2.5，MF＝1.5，
在Rt△MNF中，NF＝＝＝2（米），
∵2+1.62+3＝6.62＞5.9，
∴能触到挂在树上的风筝．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0），B（0，1），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，n），点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为t（0＜t＜3），EF∥y轴交直线AB于点F，D是y轴上任意一点，连接DE，DF．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当t为何值时，△DEF为等腰直角三角形．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当∠FDE为直角时，则△DEF为等腰直角三角形，故DH＝HE＝HF＝EF，即可求解；当∠FDE（∠FD′E）为直角时，同理可得，D′F＝EF，即可求解；当∠FED为直角时，和∠FDE为直角时得到的等式相同，故t值也相同．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
故一次函数表达式为y＝﹣x+1；
将点C的坐标代入上式得：n＝﹣3+1＝﹣，故点C的坐标为（3，﹣），
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：m＝3×（﹣）＝﹣，
故反比例函数表达式为y＝﹣；
（2）设点E的坐标为（t，﹣），则点F（t，﹣t+1），
当∠FDE为直角时，如下图，
过点D作DH⊥EF于点H，
∵△DEF为等腰直角三角形，故DH＝HE＝HF＝EF，
即t＝（﹣t+1+），解得t＝﹣（舍去）或1；
当∠FDE（∠FD′E）为直角时，
同理可得，D′F＝EF，即t＝﹣t+1+，
解得t＝（舍去负值）；
当∠FED为直角时，和∠FDE为直角时得到的等式相同，故t值也相同；
综上，t＝1或．
20．（8分）为了调查全校学生对垃圾分类知识的了解情况，小胡和小叶同学分别随机抽取了20名男生和20名女生进行了相关知识测试，获得了数据（成绩）（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
收集数据：
20名男生的成绩统计（单位：分）76 82 78 86 60 92 76 80 98 72 78 96 75 100 82 87 70 54 87 78；
20名女生的成绩统计（单位：分）97 95 90 68 78 80 68 94 86 80 87 92 59 75 93 86 56 76 86 70．
整理数据：（成绩得分用x表示）
成绩
0≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
男生（人数）
1
1
8
6
4
女生（人数）
2
a
b
6
6
分析数据：
平均分
中位数
众数
男生
80.35
79
78
女生
80.8
c
d
请回答下列问题：
（1）上述两表中，a＝ 2 ，b＝ 4 ，c＝ 83 ，d＝ 86 ；
（2）你认为男生和女生对垃圾分类知识的了解情况哪个更好一些，并利用数据说明理由；
（3）若此次成绩不低于80分为优秀，请估计全校800人中优秀人数为多少？
【分析】（1）根据表中20名女生的成绩统计即可直接得到a、b的值，将20名女生的成绩从小到大排列，根据中位数和众数的定义求解可得c、d的值；
（2）从平均数、中位数和众数方面进行分析，即可得出女生对垃圾分类知识的了解情况更好一些；
（3）样本估计总体，求出样本中优秀率即可求解．
【解答】解：（1）由表中的数据得：a＝2，b＝4，
∵20名女生的成绩从小到大排列为：56 59 68 68 70 75 76 78 80 80 86 86 86 87 90 92 93 94 95 97．排在中间的两个数是88和89，
∴c＝＝83；
出现次数最多的是86分，因此众数是86，即d＝86，
故答案为：2，4，83，86；
（2）女生对垃圾分类知识的了解情况更好一些．理由如下：
∵从平均数、中位数和众数上看女生的较高，
∴女生对垃圾分类知识的了解情况更好一些；
（3）800×＝440（人），
答：估计全校800人中优秀人数为440人．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并延长至D，使∠D＝∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．
（1）求证：BD＝BE；
（2）已知AC＝1cm，BC＝cm．
①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；
②求图中阴影部分面积．
【分析】（1）只要证得OB⊥DE即可；
（2）①证得BF是△DCE的中位线，得到BF＝CD，即可求得BF的长；
②由S阴影＝S扇形ODE﹣S△ODE求得即可．
【解答】（1）证明：∵AO＝AC，
∴∠ACO＝∠AOC，
∵∠D＝∠OCB，∠BOD＝∠AOC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠BOD+∠D，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BOD+∠D＝90°，
∴OB⊥DE，
∴BD＝BE；
（2）解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1cm，BC＝cm．
∴tan∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，∠A＝60°，
∵OA＝AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴OC＝AC＝1cm，∠AOC＝60°，
∴∠D＝∠OCB＝30°，OB＝AB﹣OA＝1，
∴OD＝2OB＝2，
∴CD＝OD+OC＝3，
∵∠D＝∠OCB，
∴BD＝BC，
∵BD＝BE，
∴BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴∠D+∠BEC＝∠DCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴BF∥CD，
∵BD＝BE，
∴BF＝CD＝；
②解：连接OE，
∵OD＝OE，
∴∠D＝∠OE＝30°，
∴∠DOE＝120°，
S阴影＝S扇形ODE﹣S△ODE＝﹣＝π﹣．
22．（9分）【问题情境】
如图1，将△ADC绕点A旋转到△ABF，且∠BAD+∠BCD＝90°，AC＝2AD，连接BD，BC，CF．
（1）①求证：△ACF∽△ADB，∠CBF＝90°；
②猜想BC2，CD2，BD2的数量关系，并说明理由；
【数学思考】
（2）若AC＝nAD，其他条件不变，则BC2，CD2，BD2的数量关系为 BC2+CD2＝n2BD2 ；（不需要说明理由）
【类比探究】
（3）如图2，若∠BAD+∠BCD＝120°．AD＝AB，AC＝nAD，则BC，CD，BD的数量关系为 BC2+BC•CD+CD2＝n2BD2 ．（不需要说明理由）
【分析】（1）①由旋转△ADC≌△ABF，根据全等三角形的性质得AD＝AB，CE＝FB，AC＝AF，∠DAC＝∠BAF，∠ADC＝∠ABF，可得出∠DAB＝∠CAF，＝2，根据两边对应成比例且夹角相等可得△ACF∽△ADB，根据四边形的内角和是360°可得∠ABC+∠ADC＝270°，由∠ADC＝∠ABF得∠ABC+∠ABF＝270°，由圆周角的定义可得∠CBF＝90°；
②由①得△ACF∽△ADB，根据相似三角形的性质得＝2，则FC＝2BD，在Rt△CBF中，由勾股定理得BC2+BF2＝FC2，由旋转可得CD＝BF，等量代换即可得出BC2+CD2＝8BD2；
（2）若AC＝nAD，利用（1）②的方法即可得出结论；
（3）由AD＝AB可得，△ADC绕点A旋转到∠DAB的度数得到△ABF，连接CF，由（1）①得△ACF∽△ADB，可求出∠CBF＝120°，过点F作EF⊥BC交CB的延长线于点E，可得∠EBF＝60°，∠EFB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得BE＝BF＝CD，EF＝BE＝CD，在Rt△CEF中，由勾股定理即可得出结论．
【解答】（1）①证明：由旋转得△ADC≌△ABF，
∴AD＝AB，CE＝FB，AC＝AF，∠DAC＝∠BAF，∠ADC＝∠ABF，
∴∠DAB＝∠CAF，
∵AC＝2AD，
∴＝2，
∴△ACF∽△ADB，
∵∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD＝360°，∠BAD+∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝270°，
∴∠ADC＝∠ABF，
∴∠ABC+∠ABF＝270°，
∴∠CBF＝90°；
②解：BC2+CD2＝8BD2．
理由：由①得△ACF∽△ADB，
∴＝2，
∴FC＝2BD，
在Rt△CBF中，BC2+BF2＝FC2，
由旋转可得CD＝BF，
∴BC2+CD2＝8BD2；
（2）解：∵AC＝nAD，
∴＝n，
由①得△ACF∽△ADB，
∴＝n，
∴FC＝nBD，
在Rt△CBF中，BC2+BF2＝FC2，
由旋转可得CD＝BF，
∴BC2+CD2＝n2BD2，
故答案为：BC2+CD2＝n2BD2；
（3）解：∵AD＝AB可得，
∴△ADC绕点A旋转到∠DAB的度数得到△ABF，连接CF，
∵AC＝nAD，
∴＝n，
由①得△ACF∽△ADB，
∴＝n，
∴FC＝nBD，
∵∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD＝360°，∠BAD+∠BCD＝120°，
∴∠ABC+∠ADC＝240°，
∴∠ADC＝∠ABF，
∴∠ABC+∠ABF＝240°，
∴∠CBF＝120°，
过点F作EF⊥BC交CB的延长线于点E，
∴∠EBF＝60°，∠EFB＝30°，
∵EF⊥BC，
∴BE＝BF＝CD，EF＝BE＝CD，
在Rt△CEF中，EC2+EF2＝FC2，
∴（BC+CD）2+（CD）2＝（nBD）2，
∴BC2+BC•CD+CD2＝n2BD2．
故答案为：BC2+BC•CD+CD2＝n2BD2．
2021年江西省南昌市中考数学第二次调研试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（﹣1）0的结果是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．无意义
2．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．（3ab2）2＝6a2b4
C．a2•a3＝a6 D．2ab+3ba＝5ab
3．中国国家统计局近日发布数据，2020年，中国国内生产总值（GDP）为1015986亿元，首次突破100万亿元大关，按可比价格计算，比上年增长2.3%．1015986亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.015986×1012 B．1.015986×1013
C．1.015986×1014 D．1.015986×1015
4．2021年某校对学生到校方式进行调查，如图，若该校骑车到校的学生有150人，则步行到校的学生有（ ）
A．600人 B．270人 C．280人 D．260人
5．如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（ ）
A．（﹣x，y﹣2） B．（﹣x，y+2） C．（﹣x+2，﹣y） D．（﹣x+2，y+2）
6．在校运动会上，三位同学用绳子将四根同样大小的接力棒分别按横截面如图（1），（2），（3）所示的方式进行捆绑，三个图中的四个圆心的连线（虚线）分别构成菱形，正方形，菱形，如果把三种方式所用绳子的长度分别用x，y，z来表示，则（ ）
A．z＞x＞y B．x＞z＞y C．x＞y＞z D．x＝y＝z
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．分解因式：x2﹣2x＝ ．
8．不等式﹣2x﹣1＞3的解集是 ．
9．若α，β是方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ﹣4＝ ．
10．已知直线y＝m与一次函数y＝mx+m和y＝﹣mx﹣m的图象分别相交于A，B两点，则AB＝ ．
11．著名数学教育家张景中院士在他的著作《新概念几何》中这样定义“共边三角形”：有一条公共边的三角形，叫做共边三角形．如图1，△ABC与△ABD有一条公共边AB，则称△ABC与△ABD叫做共边三角形．直线AB与直线CD交点E，则△ABD与△ABC的面积之比为DE：CE，这个性质也叫共边定理．根据共边定理和已学知识，解决下面的问题：如图2，在四边形ACBD中，AC∥BD．AC＝BD，则＝ ．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝9cm，点E在边AD上运动，将△DEC沿EC翻折，使D落在D'处，若△DEC有两条边存在2倍的数关系，则D'到AD的距离为 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：．
（2）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD．E，F为对角线AC上的点，且AE＝CF，求证：BE＝DF．
14．（6分）先化简，再求值：． 请从﹣2＜x＜2中选择一个合适的整数代入求值．
15．（6分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝BD，∠A＝45°，边AB是半圆O的直径，AD与平圆O交于E点，请仅用无刻度的直尺，画半圆O的切线（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中画切线EF；
（2）在图2中画切线AG．
16．（6分）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校，甲、乙两位同学进校时可以从学校大门A，B，C，D四个入口处中的任意一处测址体温后进校．
（1）甲同学由A入口进入校园的概率为 ．
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学从同一入口处测放体温后进校的概率．
17．（6分）某同学到书店购买笔记本和钢笔，书店老板告诉他买1本笔记本和1支钢笔需要12元，买2本笔记本和3支钢笔需要31元．
（1）分别求笔记本和钢笔的单价；
（2）若该同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，求该同学最多购买钢笔多少支？
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）身高1.62米的小付同学在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，小付同学位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）．经测量，小付同学与建筑物的距离BC＝2米，建筑物底部宽FC＝4米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB＝1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．
（1）求风筝距地面的高度GF；
（2）在建筑物后面有长2.5米的梯子MN，梯脚M在距墙1.5米处固定摆放，通过计算说明：若小付同学充分利用梯子和一根3米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0），B（0，1），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，n），点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为t（0＜t＜3），EF∥y轴交直线AB于点F，D是y轴上任意一点，连接DE，DF．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当t为何值时，△DEF为等腰直角三角形．
20．（8分）为了调查全校学生对垃圾分类知识的了解情况，小胡和小叶同学分别随机抽取了20名男生和20名女生进行了相关知识测试，获得了数据（成绩）（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
收集数据：
20名男生的成绩统计（单位：分）76 82 78 86 60 92 76 80 98 72 78 96 75 100 82 87 70 54 87 78；
20名女生的成绩统计（单位：分）97 95 90 68 78 80 68 94 86 80 87 92 59 75 93 86 56 76 86 70．
整理数据：（成绩得分用x表示）
成绩
0≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
男生（人数）
1
1
8
6
4
女生（人数）
2
a
b
6
6
分析数据：
平均分
中位数
众数
男生
80.35
79
78
女生
80.8
c
d
请回答下列问题：
（1）上述两表中，a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）你认为男生和女生对垃圾分类知识的了解情况哪个更好一些，并利用数据说明理由；
（3）若此次成绩不低于80分为优秀，请估计全校800人中优秀人数为多少？
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并延长至D，使∠D＝∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．
（1）求证：BD＝BE；
（2）已知AC＝1cm，BC＝cm．
①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；
②求图中阴影部分面积．
22．（9分）【问题情境】
如图1，将△ADC绕点A旋转到△ABF，且∠BAD+∠BCD＝90°，AC＝2AD，连接BD，BC，CF．
（1）①求证：△ACF∽△ADB，∠CBF＝90°；
②猜想BC2，CD2，BD2的数量关系，并说明理由；
【数学思考】
（2）若AC＝nAD，其他条件不变，则BC2，CD2，BD2的数量关系为 ；（不需要说明理由）
【类比探究】
（3）如图2，若∠BAD+∠BCD＝120°．AD＝AB，AC＝nAD，则BC，CD，BD的数量关系为 ．（不需要说明理由）
2021年江西省南昌市中考数学第二次调研试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（﹣1）0的结果是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．无意义
【分析】直接利用零指数幂的性质化简得出答案．
【解答】解：（﹣1）0＝1，
故选：A．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．（3ab2）2＝6a2b4
C．a2•a3＝a6 D．2ab+3ba＝5ab
【分析】分别根据同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；
B、（3ab2）2＝9a2b4，故本选项不合题意；
C、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
D、2ab+3ba＝5ab，故本选项符合题意；
故选：D．
3．中国国家统计局近日发布数据，2020年，中国国内生产总值（GDP）为1015986亿元，首次突破100万亿元大关，按可比价格计算，比上年增长2.3%．1015986亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.015986×1012 B．1.015986×1013
C．1.015986×1014 D．1.015986×1015
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1015986亿＝101598600000000＝1.015986×1014．
故选：C．
4．2021年某校对学生到校方式进行调查，如图，若该校骑车到校的学生有150人，则步行到校的学生有（ ）
A．600人 B．270人 C．280人 D．260人
【分析】根据骑车到校的学生有150人，可以求得总人数，求出步行到校的学生所占的百分比，即可求得步行到校的学生人数．
【解答】解：总人数为：150÷25%＝600（人），
步行到校的学生所占的百分比为：1﹣25%﹣20%﹣10%＝45%，
步行到校的学生人数是：600×45%＝270（人），
故选：B．
5．如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（ ）
A．（﹣x，y﹣2） B．（﹣x，y+2） C．（﹣x+2，﹣y） D．（﹣x+2，y+2）
【分析】先观察△ABC和△A′B′C′得到把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，然后把点P（x，y）向上平移2个单位，再关于y轴对称得到点的坐标为（﹣x，y+2），即为P′点的坐标．
【解答】解：∵把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，
∴点P（x，y）的对应点P′的坐标为（﹣x，y+2）．
故选：B．
6．在校运动会上，三位同学用绳子将四根同样大小的接力棒分别按横截面如图（1），（2），（3）所示的方式进行捆绑，三个图中的四个圆心的连线（虚线）分别构成菱形，正方形，菱形，如果把三种方式所用绳子的长度分别用x，y，z来表示，则（ ）
A．z＞x＞y B．x＞z＞y C．x＞y＞z D．x＝y＝z
【分析】设圆的半径为r，则AB＝BC＝CD＝AD＝2r，分别与圆心A、B、C、D向外连接各切点AE、AQ、BF、BG、CH、CM、DN、DP，则四边形ABFE、四边形BCHG、四边形CDNM、四边形ADPQ都是矩形，得出AB＝EF＝BC＝GH＝CD＝MN＝AD＝QP＝2r，再由四边形为菱形、正方形时，分别计算出的长+的长+的长+的长，即可得出结果．
【解答】解：∵四根同样大小的接力棒，
∴横截面四个圆相同，
设圆的半径为r，
则AB＝BC＝CD＝AD＝2r，
分别与圆心A、B、C、D向外连接各切点AE、AQ、BF、BG、CH、CM、DN、DP，
则四边形ABFE、四边形BCHG、四边形CDNM、四边形ADPQ都是矩形，
∴AB＝EF＝BC＝GH＝CD＝MN＝AD＝QP＝2r，
（1）当四边形ABCD为菱形时，
①如图（1）所示：
则∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠EAB＝∠ABF＝∠GBC＝∠DAQ＝90°，
∴∠EAQ+∠FBG＝720°＝180°﹣4×90°＝180°，
∴的长+的长为圆A周长的一半，
同理：的长+的长也为圆A周长的一半，
∴x＝EF+GH+MN+QP+的长+的长+的长+的长＝4×2r+2πr＝8r+2πr；
②如图（3）所示：
同理：z＝EF+GH+MN+QP+的长+的长+的长+的长＝4×2r+2πr＝8r+2πr；
（2）四边形ABCD为正方形时，如图（2）所示：
同理：∠EAQ＝∠FBG＝∠HCM＝∠NDP＝90°，
∴的长+的长+的长+的长＝2πr，
∴y＝EF+GH+MN+QP+2πr＝8r+2πr；
∴x＝y＝z，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．分解因式：x2﹣2x＝ x（x﹣2） ．
【分析】提取公因式x，整理即可．
【解答】解：x2﹣2x＝x（x﹣2）．
故答案为：x（x﹣2）．
8．不等式﹣2x﹣1＞3的解集是 x＜﹣2 ．
【分析】直接利用一元一次不等式的解法得出答案．
【解答】解：﹣2x﹣1＞3，
则﹣2x＞4，
解得：x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
9．若α，β是方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ﹣4＝ 2021 ．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得出α+β＝4，αβ＝﹣2021，将其代入α+β﹣αβ﹣4中即可求出结论．
【解答】解：∵α，β是方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，
∴α+β＝4，αβ＝﹣2021，
∴α+β﹣αβ﹣4＝4+2021﹣4＝2021．
故答案为：2021．
10．已知直线y＝m与一次函数y＝mx+m和y＝﹣mx﹣m的图象分别相交于A，B两点，则AB＝ 2 ．
【分析】把y＝m分别代入两个解析式求得A、B的坐标，进而即可求得AB．
【解答】解：把y＝m代入y＝mx+m得，m＝mx+m，
解得m＝0，
∴A（0，m），
把y＝m代入y＝﹣mx﹣m得，m＝﹣mx﹣m，
解得x＝﹣2，
∴B（﹣2，m），
∴AB＝|﹣2﹣0|＝2，
故答案为2．
11．著名数学教育家张景中院士在他的著作《新概念几何》中这样定义“共边三角形”：有一条公共边的三角形，叫做共边三角形．如图1，△ABC与△ABD有一条公共边AB，则称△ABC与△ABD叫做共边三角形．直线AB与直线CD交点E，则△ABD与△ABC的面积之比为DE：CE，这个性质也叫共边定理．根据共边定理和已学知识，解决下面的问题：如图2，在四边形ACBD中，AC∥BD．AC＝BD，则＝ 2 ．
【分析】作DM⊥AB于M，作CN⊥AB于N，由AC∥BD，得∠DBA＝∠BAC，又AC＝BD，可得两三角形高的关系，即可得出面积比值．
【解答】解：如右图，作DM⊥AB于M，作CN⊥AB于N，
∵AC∥BD，
∴∠DBA＝∠BAC，
∴DN＝BD•sin∠DBA，CM＝AC•sin∠BAC，
∴＝＝＝，
又∵AC＝BD，
∴＝＝2，
故答案为：2．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝9cm，点E在边AD上运动，将△DEC沿EC翻折，使D落在D'处，若△DEC有两条边存在2倍的数关系，则D'到AD的距离为 或2或 ．
【分析】分三种情况：①当DE＝CE时，作D'H⊥AD于H，求出∠D'EC＝∠DEC＝60°，D'E＝DE＝，Rt△D'HE中可解得D'H，②当DE＝DC时，作D'H⊥AD于H，延长HD'交BC于F，由△D'HE∽△CFD'，得＝＝＝，设HE＝x，D'H＝y，则D'F＝2x，CF＝2y，根据四边形HFCD是矩形，HF＝CD＝5，CF＝DH＝DE+HE，可得，即可解得D'H，③当DC＝CE时，作D'H⊥AD于H，可得∠DED'＝60°，Rt△ED'H中，解得D'H即可．
【解答】解：①当DE＝CE时，作D'H⊥AD于H，如图：
∵矩形ABCD，AB＝5，
∴∠D＝90°，CD＝5，
Rt△DCE中，DE2+CD2＝CE2，CD＝5，DE＝CE，
∴DE2+52＝（2DE）2，
∴DE＝，
∵DE＝CE，∠D＝90°，
∴∠DCE＝30°，∠DEC＝60°，
∵△DEC沿EC翻折，使D落在D'处，
∴∠D'EC＝∠DEC＝60°，D'E＝，
∴∠D'EH＝180°﹣∠D'EC﹣∠DEC＝60°，
Rt△D'HE中，D'H＝D'E•sin∠D'EH＝×sin60°＝；
②当DE＝DC时，作D'H⊥AD于H，延长HD'交BC于F，如图：
Rt△DCE中，DE2+CD2＝CE2，CD＝5，DE＝CD，
∴DE＝，CE＝，
∵△DEC沿EC翻折，使D落在D'处，
∴∠ED'C＝∠D＝90°，DE＝D'E，CD＝CD'，
∴∠HD'E＝90°﹣∠FD'C＝∠FCD'，
且∠D'HE＝∠CFD'＝90°，
∴△D'HE∽△CFD'，
∴＝＝，
∵DE＝DC，
∴＝，
∴＝＝＝，
设HE＝x，D'H＝y，则D'F＝2x，CF＝2y，
∵D'H⊥AD，矩形ABCD，
∴四边形HFCD是矩形，
∴HF＝CD＝5，CF＝DH＝DE+HE，
∴
解得y＝2，
∴D'H＝2，
③当DC＝CE时，作D'H⊥AD于H，如图：
Rt△DCE中，DE2+CD2＝CE2，CD＝5，DC＝CE，
∴CE＝10，DE2+52＝102，
∴DE＝5，
∵CD＝CE，∠D＝90°，
∴∠DEC＝30°，
∵△DEC沿EC翻折，使D落在D'处，
∴∠DEC＝∠D'EC＝30°，D'E＝DE＝5，
∴∠DED'＝60°，
Rt△ED'H中，D'H＝D'E•sin60°＝，
综上所述，△DEC有两条边存在2倍关系，则D'到AD的距离为或2或．
故答案为：或2或．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：．
（2）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD．E，F为对角线AC上的点，且AE＝CF，求证：BE＝DF．
【分析】（1）根据负数的奇次幂是负数，负数的绝对值是它的相反数，三次根号8等于2，然后进行有理数加减运算即可；
（2）根据AB＝CD，BC＝AD，可得四边形ABCD是平行四边形．利用SAS证明△ABE≌△CDF，即可得结论．
【解答】（1）解：原式＝﹣1+4+2﹣3＝2；
（2）证明：∵AB＝CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴BE＝DF．
14．（6分）先化简，再求值：． 请从﹣2＜x＜2中选择一个合适的整数代入求值．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2＜x＜2中选择一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可即解答本题．
【解答】解：
＝[]
＝
＝
＝，
∵﹣2＜x＜2，x为整数，x（x﹣1）≠0，
∴x＝﹣1，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1．
15．（6分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝BD，∠A＝45°，边AB是半圆O的直径，AD与平圆O交于E点，请仅用无刻度的直尺，画半圆O的切线（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中画切线EF；
（2）在图2中画切线AG．
【分析】（1）连接AC交BD于F，作直线EF即可．
（2）连接BE，延长BE交CD的延长线于G，作直线AG即可．
【解答】解：（1）如图1中，直线EF即为所求作．
（2）如图2中，直线AG即为所求作．
16．（6分）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校，甲、乙两位同学进校时可以从学校大门A，B，C，D四个入口处中的任意一处测址体温后进校．
（1）甲同学由A入口进入校园的概率为 ．
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学从同一入口处测放体温后进校的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵学校有A、B、C、D四个大门入口，
∴甲同学在A入口处测量体温的概率是；
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
由图可知共有16种等情况数，其中甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况有4种，
则P（甲、乙两位同学在同一入口处测量体温）＝＝．
17．（6分）某同学到书店购买笔记本和钢笔，书店老板告诉他买1本笔记本和1支钢笔需要12元，买2本笔记本和3支钢笔需要31元．
（1）分别求笔记本和钢笔的单价；
（2）若该同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，求该同学最多购买钢笔多少支？
【分析】（1）设笔记本的单价为x元，钢笔的单价为y元，根据买1本笔记本和1支钢笔需要12元，买2本笔记本和3支钢笔需要31元，列方程组求解；
（2）设购买钢笔m支，求出购买笔记本的钱数，再根据正整数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设笔记本的单价为x元，钢笔的单价为y元，依题意有
，
解得．
故笔记本的单价为5元，钢笔的单价为7元；
（2）设购买钢笔m支，
则购买笔记本的钱数为（100﹣7m），
则购买笔记本的本数为，
∵购买钢笔的支数和购买笔记本的本数都为正整数，
∴m最大为10．
故该同学最多购买钢笔10支．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）身高1.62米的小付同学在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，小付同学位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）．经测量，小付同学与建筑物的距离BC＝2米，建筑物底部宽FC＝4米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB＝1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．
（1）求风筝距地面的高度GF；
（2）在建筑物后面有长2.5米的梯子MN，梯脚M在距墙1.5米处固定摆放，通过计算说明：若小付同学充分利用梯子和一根3米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】（1）过A作AP⊥GF于点P．在Rt△PAG中利用三角函数求得GP的长，进而求得GF的长；
（2）在直角△MNF中，利用勾股定理求得NF的长度，NF的长加上身高再加上竹竿长，与GF比较大小即可．
【解答】解：（1）过A作AP⊥GF于点P，
则AP＝BF＝BC+FC＝2+4＝6（米），AB＝PF＝1.4米，∠GAP＝37°，
在Rt△PAG中，tan∠PAG＝，
∴GP＝AP•tan37°≈6×0.75＝4.5（米）．
∴GF＝GP+PF＝4.5+1.4＝5.9（米）．
（2）由题意可知MN＝2.5，MF＝1.5，
在Rt△MNF中，NF＝＝＝2（米），
∵2+1.62+3＝6.62＞5.9，
∴能触到挂在树上的风筝．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0），B（0，1），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，n），点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为t（0＜t＜3），EF∥y轴交直线AB于点F，D是y轴上任意一点，连接DE，DF．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当t为何值时，△DEF为等腰直角三角形．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当∠FDE为直角时，则△DEF为等腰直角三角形，故DH＝HE＝HF＝EF，即可求解；当∠FDE（∠FD′E）为直角时，同理可得，D′F＝EF，即可求解；当∠FED为直角时，和∠FDE为直角时得到的等式相同，故t值也相同．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
故一次函数表达式为y＝﹣x+1；
将点C的坐标代入上式得：n＝﹣3+1＝﹣，故点C的坐标为（3，﹣），
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：m＝3×（﹣）＝﹣，
故反比例函数表达式为y＝﹣；
（2）设点E的坐标为（t，﹣），则点F（t，﹣t+1），
当∠FDE为直角时，如下图，
过点D作DH⊥EF于点H，
∵△DEF为等腰直角三角形，故DH＝HE＝HF＝EF，
即t＝（﹣t+1+），解得t＝﹣（舍去）或1；
当∠FDE（∠FD′E）为直角时，
同理可得，D′F＝EF，即t＝﹣t+1+，
解得t＝（舍去负值）；
当∠FED为直角时，和∠FDE为直角时得到的等式相同，故t值也相同；
综上，t＝1或．
20．（8分）为了调查全校学生对垃圾分类知识的了解情况，小胡和小叶同学分别随机抽取了20名男生和20名女生进行了相关知识测试，获得了数据（成绩）（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
收集数据：
20名男生的成绩统计（单位：分）76 82 78 86 60 92 76 80 98 72 78 96 75 100 82 87 70 54 87 78；
20名女生的成绩统计（单位：分）97 95 90 68 78 80 68 94 86 80 87 92 59 75 93 86 56 76 86 70．
整理数据：（成绩得分用x表示）
成绩
0≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
男生（人数）
1
1
8
6
4
女生（人数）
2
a
b
6
6
分析数据：
平均分
中位数
众数
男生
80.35
79
78
女生
80.8
c
d
请回答下列问题：
（1）上述两表中，a＝ 2 ，b＝ 4 ，c＝ 83 ，d＝ 86 ；
（2）你认为男生和女生对垃圾分类知识的了解情况哪个更好一些，并利用数据说明理由；
（3）若此次成绩不低于80分为优秀，请估计全校800人中优秀人数为多少？
【分析】（1）根据表中20名女生的成绩统计即可直接得到a、b的值，将20名女生的成绩从小到大排列，根据中位数和众数的定义求解可得c、d的值；
（2）从平均数、中位数和众数方面进行分析，即可得出女生对垃圾分类知识的了解情况更好一些；
（3）样本估计总体，求出样本中优秀率即可求解．
【解答】解：（1）由表中的数据得：a＝2，b＝4，
∵20名女生的成绩从小到大排列为：56 59 68 68 70 75 76 78 80 80 86 86 86 87 90 92 93 94 95 97．排在中间的两个数是88和89，
∴c＝＝83；
出现次数最多的是86分，因此众数是86，即d＝86，
故答案为：2，4，83，86；
（2）女生对垃圾分类知识的了解情况更好一些．理由如下：
∵从平均数、中位数和众数上看女生的较高，
∴女生对垃圾分类知识的了解情况更好一些；
（3）800×＝440（人），
答：估计全校800人中优秀人数为440人．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并延长至D，使∠D＝∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．
（1）求证：BD＝BE；
（2）已知AC＝1cm，BC＝cm．
①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；
②求图中阴影部分面积．
【分析】（1）只要证得OB⊥DE即可；
（2）①证得BF是△DCE的中位线，得到BF＝CD，即可求得BF的长；
②由S阴影＝S扇形ODE﹣S△ODE求得即可．
【解答】（1）证明：∵AO＝AC，
∴∠ACO＝∠AOC，
∵∠D＝∠OCB，∠BOD＝∠AOC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠BOD+∠D，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BOD+∠D＝90°，
∴OB⊥DE，
∴BD＝BE；
（2）解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1cm，BC＝cm．
∴tan∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，∠A＝60°，
∵OA＝AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴OC＝AC＝1cm，∠AOC＝60°，
∴∠D＝∠OCB＝30°，OB＝AB﹣OA＝1，
∴OD＝2OB＝2，
∴CD＝OD+OC＝3，
∵∠D＝∠OCB，
∴BD＝BC，
∵BD＝BE，
∴BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴∠D+∠BEC＝∠DCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴BF∥CD，
∵BD＝BE，
∴BF＝CD＝；
②解：连接OE，
∵OD＝OE，
∴∠D＝∠OE＝30°，
∴∠DOE＝120°，
S阴影＝S扇形ODE﹣S△ODE＝﹣＝π﹣．
22．（9分）【问题情境】
如图1，将△ADC绕点A旋转到△ABF，且∠BAD+∠BCD＝90°，AC＝2AD，连接BD，BC，CF．
（1）①求证：△ACF∽△ADB，∠CBF＝90°；
②猜想BC2，CD2，BD2的数量关系，并说明理由；
【数学思考】
（2）若AC＝nAD，其他条件不变，则BC2，CD2，BD2的数量关系为 BC2+CD2＝n2BD2 ；（不需要说明理由）
【类比探究】
（3）如图2，若∠BAD+∠BCD＝120°．AD＝AB，AC＝nAD，则BC，CD，BD的数量关系为 BC2+BC•CD+CD2＝n2BD2 ．（不需要说明理由）
【分析】（1）①由旋转△ADC≌△ABF，根据全等三角形的性质得AD＝AB，CE＝FB，AC＝AF，∠DAC＝∠BAF，∠ADC＝∠ABF，可得出∠DAB＝∠CAF，＝2，根据两边对应成比例且夹角相等可得△ACF∽△ADB，根据四边形的内角和是360°可得∠ABC+∠ADC＝270°，由∠ADC＝∠ABF得∠ABC+∠ABF＝270°，由圆周角的定义可得∠CBF＝90°；
②由①得△ACF∽△ADB，根据相似三角形的性质得＝2，则FC＝2BD，在Rt△CBF中，由勾股定理得BC2+BF2＝FC2，由旋转可得CD＝BF，等量代换即可得出BC2+CD2＝8BD2；
（2）若AC＝nAD，利用（1）②的方法即可得出结论；
（3）由AD＝AB可得，△ADC绕点A旋转到∠DAB的度数得到△ABF，连接CF，由（1）①得△ACF∽△ADB，可求出∠CBF＝120°，过点F作EF⊥BC交CB的延长线于点E，可得∠EBF＝60°，∠EFB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得BE＝BF＝CD，EF＝BE＝CD，在Rt△CEF中，由勾股定理即可得出结论．
【解答】（1）①证明：由旋转得△ADC≌△ABF，
∴AD＝AB，CE＝FB，AC＝AF，∠DAC＝∠BAF，∠ADC＝∠ABF，
∴∠DAB＝∠CAF，
∵AC＝2AD，
∴＝2，
∴△ACF∽△ADB，
∵∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD＝360°，∠BAD+∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝270°，
∴∠ADC＝∠ABF，
∴∠ABC+∠ABF＝270°，
∴∠CBF＝90°；
②解：BC2+CD2＝8BD2．
理由：由①得△ACF∽△ADB，
∴＝2，
∴FC＝2BD，
在Rt△CBF中，BC2+BF2＝FC2，
由旋转可得CD＝BF，
∴BC2+CD2＝8BD2；
（2）解：∵AC＝nAD，
∴＝n，
由①得△ACF∽△ADB，
∴＝n，
∴FC＝nBD，
在Rt△CBF中，BC2+BF2＝FC2，
由旋转可得CD＝BF，
∴BC2+CD2＝n2BD2，
故答案为：BC2+CD2＝n2BD2；
（3）解：∵AD＝AB可得，
∴△ADC绕点A旋转到∠DAB的度数得到△ABF，连接CF，
∵AC＝nAD，
∴＝n，
由①得△ACF∽△ADB，
∴＝n，
∴FC＝nBD，
∵∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD＝360°，∠BAD+∠BCD＝120°，
∴∠ABC+∠ADC＝240°，
∴∠ADC＝∠ABF，
∴∠ABC+∠ABF＝240°，
∴∠CBF＝120°，
过点F作EF⊥BC交CB的延长线于点E，
∴∠EBF＝60°，∠EFB＝30°，
∵EF⊥BC，
∴BE＝BF＝CD，EF＝BE＝CD，
在Rt△CEF中，EC2+EF2＝FC2，
∴（BC+CD）2+（CD）2＝（nBD）2，
∴BC2+BC•CD+CD2＝n2BD2．
故答案为：BC2+BC•CD+CD2＝n2BD2．
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