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    2021年湖南省株洲市渌口区中考数学模拟试卷(word版 含答案)

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    这是一份2021年湖南省株洲市渌口区中考数学模拟试卷(word版 含答案),共22页。试卷主要包含了解析题等内容,欢迎下载使用。

    2021年湖南省株洲市渌口区中考数学模拟试卷
    一、选择题(本大题共10题,每题4分,满分40分)【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
    1.下列各数中,比﹣2小的数是(  )
    A.﹣3 B.﹣1.5 C.﹣1 D.2
    2.计算(﹣a)6÷a3的结果是(  )
    A.﹣a3 B.﹣a2 C.a3 D.a2
    3.如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是(  )

    A.∠1>∠4+∠5 B.∠2=∠3+∠5 C.∠1=∠2 D.∠2<∠5
    4.如图,点A,B,C均在⊙O上,若∠A=64°,则∠OCB的度数是(  )

    A.24° B.26° C.28° D.30°
    5.若点A(1+m,1﹣n)与点B(﹣3,2)关于y轴对称,则m+n的值是(  )
    A.﹣5 B.﹣3 C.3 D.1
    6.如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=6,现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是(  )

    A.3 B.6 C.3 D.6
    7.已知一次函数y=kx+4的图象经过点A,且y随x的增大而减小,则点A的坐标不会是(  )
    A.(﹣2,﹣5) B.(﹣1,6) C.(﹣2,6) D.(1,3)
    8.若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是(  )
    A.x≠2 B.x≥2 C.x≤2 D.x≠﹣2
    9.如果x2+nx+2k=(x﹣1)2,那么kn是(  )
    A.﹣ B. C.4 D.﹣4
    10.将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列,则图中阴影部分的面积为(  )

    A. B. C. D.3
    二、填空题(本大题共8题,每题4分,满分32分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
    11.已知f(x)=,那么f(5)的值是   .
    12.计算:=   .
    13.分解因式:xy2﹣x=   .
    14.为了解某市六年级8400名学生中会游泳的学生人数,随机调查了其中400名学生,结果有120名学生会游泳,那么估计该市会游泳的六年级学生人数约为   .
    15.已知α,β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根,则α2+α﹣αβ的值是   .
    16.小李从家步行到学校需走的路程为1800米.图中的折线OAB反映了小李从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系,根据图象提供的信息,当小李从家出发去学校步行16分钟时,到学校还需步行   米.

    17.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=,则CD=   .

    18.Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是   .
    三、解析题(本大题共8个小题,满分78分)
    19.(6分)计算:()﹣2﹣2sin45°+|﹣|﹣(2021﹣π)0.
    20.(8分)先化简,再求值()÷,其中m=+1.
    21.(8分)如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长.

    22.(10分)为响应党的“文化自信”号召,某校开展了古诗词诵读大赛活动,现随机抽取部分同学的成绩进行统计,并绘制成两个不完整的统计图,请结合图中提供的信息,解答下列各题:
    (1)直接写出a的值,a=   ,并把频数分布直方图补充完整.
    (2)求扇形B的圆心角度数.
    (3)如果全校有2700名学生参加这次活动,90分以上(含90分)为优秀,那么估计获得优秀奖的学生有多少人?

    23.(10分)某区域平面示意图如图,点O在河的一侧,AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°,乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°,测得AC=840m,BC=500m.请求出点O到BC的距离.
    参考数据:sin73.7°≈,cos73.7°≈,tan73.7°≈

    24.(10分)如图,点O是△ABC的边AB上一点,⊙O与边AC相切于点E,与边BC、AB分别相交于点D、F,且DE=EF.
    (1)求证:∠C=90°;
    (2)当BC=3,sinA=时,求AF的长.

    25.(13分)已知反比例函数的图象经过三个点A(﹣4,﹣3),B(2m,y1),C(6m,y2),其中m>0.
    (1)当y1﹣y2=4时,求m的值;
    (2)如图,过点B、C分别作x轴、y轴的垂线,两垂线相交于点D,点P在x轴上,若三角形PBD的面积是8,请写出点P坐标(不需要写解答过程).

    26.(13分)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2).
    (1)若点(﹣,0)也在该抛物线上,求a,b满足的关系式;
    (2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;当0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0.以原点O为心,OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B,C,且△ABC有一个内角为60°.
    ①求抛物线的解析式;
    ②若点P与点O关于点A对称,且O,M,N三点共线,求证:PA平分∠MPN.

    2021年湖南省株洲市渌口区中考数学模拟试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(本大题共10题,每题4分,满分40分)【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
    1.下列各数中,比﹣2小的数是(  )
    A.﹣3 B.﹣1.5 C.﹣1 D.2
    【分析】正数大于0,负数小于0,正数大于负数,负数比较大小,绝对值大的反而小.
    【解答】解:∵﹣3<﹣2<﹣1.5<﹣1<2,
    ∴比﹣2小的数是﹣3,
    故选:A.
    2.计算(﹣a)6÷a3的结果是(  )
    A.﹣a3 B.﹣a2 C.a3 D.a2
    【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案.
    【解答】解:原式=a6÷a3=a3.
    故选:C.
    3.如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是(  )

    A.∠1>∠4+∠5 B.∠2=∠3+∠5 C.∠1=∠2 D.∠2<∠5
    【分析】根据对顶角的性质,三角形的外角性质判断即可.
    【解答】解:A.∵∠1是△OBC的外角,∴∠1=∠4+∠5,故本选项不符合题意;
    B.∵∠2是△AOD的外角,∴∠2=∠3+∠A,故本选项不符合题意;
    C.∵∠1与∠2是对顶角,∴∠1=∠2,正确.
    D.∵∠2是△OBC的外角,∴∠2>∠5,故本选项不符合题意;
    故选:C.
    4.如图,点A,B,C均在⊙O上,若∠A=64°,则∠OCB的度数是(  )

    A.24° B.26° C.28° D.30°
    【分析】先根据圆周角定理得到∠BOC=128°,然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠OCB的度数.
    【解答】解:∵∠A与∠BOC都对,
    ∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°,
    ∵OB=OC,
    ∴∠OBC=∠OCB,
    ∴∠OCB=(180°﹣128°)=26°.
    故选:B.
    5.若点A(1+m,1﹣n)与点B(﹣3,2)关于y轴对称,则m+n的值是(  )
    A.﹣5 B.﹣3 C.3 D.1
    【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变,据此求出m、n的值,代入计算可得.
    【解答】解:∵点A(1+m,1﹣n)与点B(﹣3,2)关于y轴对称,
    ∴1+m=3、1﹣n=2,
    解得:m=2、n=﹣1,
    所以m+n=2﹣1=1,
    故选:D.
    6.如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=6,现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是(  )

    A.3 B.6 C.3 D.6
    【分析】要求最短路径,首先要把圆柱的侧面展开,利用两点之间线段最短,然后利用勾股定理即可求解.
    【解答】解:蚂蚁也可以沿A﹣B﹣C的路线爬行,AB+BC=9,
    把圆柱侧面展开,展开图如右图所示,点A、C的最短距离为线段AC的长.
    在Rt△ADC中,∠ADC=90°,CD=AB=3,AD为底面半圆弧长,AD=3π,
    所以AC===3<9,
    故选:A.

    7.已知一次函数y=kx+4的图象经过点A,且y随x的增大而减小,则点A的坐标不会是(  )
    A.(﹣2,﹣5) B.(﹣1,6) C.(﹣2,6) D.(1,3)
    【分析】由点A的坐标,利用一次函数图象上点的坐标特征求出k的值,结合y随x的增大而减小即可求解.
    【解答】解:A、当点A的坐标为(﹣2,﹣5)时,﹣2k+4=﹣5,
    解得k=4.5>0,
    ∴y随x的增大而增大,选项A符合题意;
    B、当点A的坐标为(﹣1,6)时,﹣k+4=6,
    解得k=﹣2<0,
    ∴y随x的增大而减小,选项B不符合题意;
    C、当点A的坐标为(﹣2,6)时,﹣2k+4=6,
    解得k=﹣1<0,
    ∴y随x的增大而减小,选项C不符合题意;
    D、当点A的坐标为(1,3)时,k+4=3,
    解得k=﹣1<0,
    ∴y随x的增大而减小,选项D不符合题意,
    故选:A.
    8.若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是(  )
    A.x≠2 B.x≥2 C.x≤2 D.x≠﹣2
    【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数,即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围.
    【解答】解:∵在实数范围内有意义,
    ∴2x﹣4≥0,
    解得:x≥2,
    ∴x的取值范围是:x≥2.
    故选:B.
    9.如果x2+nx+2k=(x﹣1)2,那么kn是(  )
    A.﹣ B. C.4 D.﹣4
    【分析】已知等式右边利用完全平方公式化简,再根据多项式相等的条件求出n与k的值,代入原式计算即可求出值.
    【解答】解:∵x2+nx+2k=(x﹣1)2=x2﹣2x+1,
    ∴n=﹣2,2k=1,
    解得:k=,
    则kn=()﹣2=4.
    故选:C.
    10.将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列,则图中阴影部分的面积为(  )

    A. B. C. D.3
    【分析】根据相似三角形的性质,利用相似比求出梯形的上底和下底,用面积公式计算即可.
    【解答】解:对角线所分得的三个三角形相似,
    根据相似的性质可知5:10=x:5,
    解得x=2.5,
    即阴影梯形的上底就是3﹣2.5=0.5.
    再根据相似的性质可知2:5=x:2.5,
    解得:x=1,
    所以梯形的下底就是3﹣1=2,
    所以阴影梯形的高是(2+0.5)×3÷2=3.75=.
    故选:C.

    二、填空题(本大题共8题,每题4分,满分32分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
    11.已知f(x)=,那么f(5)的值是  .
    【分析】把x=5代入函数关系式求解即可.
    【解答】解:当x=5时,
    f(5)==,
    故答案为:.
    12.计算:= ﹣2 .
    【分析】先求出的值,再化简即可.
    【解答】解:原式=3﹣5
    =﹣2.
    故答案为:﹣2.
    13.分解因式:xy2﹣x= x(y﹣1)(y+1) .
    【分析】先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
    【解答】解:xy2﹣x,
    =x(y2﹣1),
    =x(y﹣1)(y+1).
    故答案为:x(y﹣1)(y+1).
    14.为了解某市六年级8400名学生中会游泳的学生人数,随机调查了其中400名学生,结果有120名学生会游泳,那么估计该市会游泳的六年级学生人数约为 2520 .
    【分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案.
    【解答】解:8400×=2520(人),
    答:估计该市会游泳的六年级学生人数约为2520人.
    故答案为:2520.
    15.已知α,β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根,则α2+α﹣αβ的值是 4 .
    【分析】由题意得α2+α﹣2=0,αβ=﹣2,再代入所要求的代数式,即可得出答案.
    【解答】解:∵α,β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根,
    ∴α2+α﹣2=0、αβ=﹣2,
    ∴α2+α﹣αβ=2﹣(﹣2)=4,
    故答案为4.
    16.小李从家步行到学校需走的路程为1800米.图中的折线OAB反映了小李从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系,根据图象提供的信息,当小李从家出发去学校步行16分钟时,到学校还需步行 280 米.

    【分析】当8≤t≤20时,设s=kt+b,将(8,960)、(20,1800)代入求得s=70t+400,求出t=16时s的值,从而得出答案.
    【解答】解:当8≤t≤20时,设s=kt+b,
    将(8,960)、(20,1800)代入,得:

    解得,
    ∴s=70t+400;
    当t=16时,s=1520,
    1800﹣1520=280(米),
    ∴当小明从家出发去学校步行16分钟时,到学校还需步行280米,
    故答案为:280.
    17.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=,则CD= ﹣1 .

    【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2,BF=AF=1,再利用勾股定理求出DF,即可得出结论.
    【解答】解:如图,过点A作AF⊥BC于F,
    在Rt△ABC中,∠B=45°,
    ∴BC=AB=2,BF=AF=AB=1,
    ∵两个同样大小的含45°角的三角尺,
    ∴AD=BC=2,
    在Rt△ADF中,根据勾股定理得,DF==
    ∴CD=BF+DF﹣BC=1+﹣2=﹣1,
    故答案为:﹣1.

    18.Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是 3.6或4.32或4.8 .
    【分析】在Rt△ABC中,通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=6,找出所有可能的剪法,并求出剪出的等腰三角形的面积即可.
    【解答】解:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,
    ∴AC==5,S△ABC=AB•BC=6.
    沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,有三种情况:

    ①当AB=AP=3时,如图①所示,
    S等腰△ABP=S△ABC=×6=3.6;
    ②当AB=BP=3,且P在AC上时,如图②所示,
    作△ABC的高BD,则BD===2.4,
    ∴AD=DP==1.8,
    ∴AP=2AD=3.6,
    ∴S等腰△ABP=S△ABC=×6=4.32;
    ③当CB=CP=4时,如图③所示,
    S等腰△BCP=S△ABC=×6=4.8.
    综上所述:等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8.
    故答案为3.6或4.32或4.8.
    三、解析题(本大题共8个小题,满分78分)
    19.(6分)计算:()﹣2﹣2sin45°+|﹣|﹣(2021﹣π)0.
    【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算,第二项利用特殊角的三角函数值计算,第三项绝对值的代数意义化简,最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果.
    【解答】解:原式=4﹣2×+﹣1
    =4﹣+﹣1
    =3.
    20.(8分)先化简,再求值()÷,其中m=+1.
    【分析】根据分式的运算法则进行化简,然后将m的值代入原式即可求出答案.
    【解答】解:原式=•
    =,
    当m=+1时,
    原式=

    =1.
    21.(8分)如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长.

    【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD,求出BC=CD=4,证△AEB∽△CED,得出比例式,求出AE=2CE,即可得出答案.
    【解答】解:∵BD为∠ABC的平分线,
    ∴∠ABD=∠CBD,
    ∵AB∥CD,
    ∴∠D=∠ABD,
    ∴∠D=∠CBD,
    ∴BC=CD,
    ∵BC=4,
    ∴CD=4,
    ∵AB∥CD,
    ∴△ABE∽△CDE,
    ∴=,
    ∴=,
    ∴AE=2CE,
    ∵AC=6=AE+CE,
    ∴AE=4.
    22.(10分)为响应党的“文化自信”号召,某校开展了古诗词诵读大赛活动,现随机抽取部分同学的成绩进行统计,并绘制成两个不完整的统计图,请结合图中提供的信息,解答下列各题:
    (1)直接写出a的值,a= 30 ,并把频数分布直方图补充完整.
    (2)求扇形B的圆心角度数.
    (3)如果全校有2700名学生参加这次活动,90分以上(含90分)为优秀,那么估计获得优秀奖的学生有多少人?

    【分析】(1)先根据E等级人数及其占总人数的比例可得总人数,再用D等级人数除以总人数可得a的值,用总人数减去其他各等级人数求得C等级人数可补全图形;
    (2)用360°乘以B等级人数所占比例可得;
    (3)用总人数乘以样本中E等级人数所占比例.
    【解答】解:(1)∵被调查的总人数为10÷=50(人),
    ∴D等级人数所占百分比a%=×100%=30%,即a=30,
    C等级人数为50﹣(5+7+15+10)=13人,
    补全图形如下:

    故答案为:30;
    (2)扇形B的圆心角度数为360°×=50.4°;
    (3)估计获得优秀奖的学生有2700×=540(人).
    23.(10分)某区域平面示意图如图,点O在河的一侧,AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°,乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°,测得AC=840m,BC=500m.请求出点O到BC的距离.
    参考数据:sin73.7°≈,cos73.7°≈,tan73.7°≈

    【分析】作OM⊥BC于M,ON⊥AC于N,设OM=x,根据矩形的性质用x表示出OM、MC,根据正切的定义用x表示出BM,根据题意列式计算即可.
    【解答】解:作OM⊥BC于M,ON⊥AC于N,
    则四边形ONCM为矩形,
    ∴ON=MC,OM=NC,
    设OM=x,则NC=x,AN=840﹣x,
    在Rt△ANO中,∠OAN=45°,
    ∴ON=AN=840﹣x,则MC=ON=840﹣x,
    在Rt△BOM中,BM==x,
    由题意得,840﹣x+x=500,
    解得,x=480,
    答:点O到BC的距离为480m.

    24.(10分)如图,点O是△ABC的边AB上一点,⊙O与边AC相切于点E,与边BC、AB分别相交于点D、F,且DE=EF.
    (1)求证:∠C=90°;
    (2)当BC=3,sinA=时,求AF的长.

    【分析】(1)连接OE,BE,因为DE=EF,所以=,从而易证∠OEB=∠DBE,所以OE∥BC,从可证明BC⊥AC;
    (2)设⊙O的半径为r,则AO=5﹣r,在Rt△AOE中,sinA===,从而可求出r的值.
    【解答】解:(1)证明:连接OE,BE,
    ∵DE=EF,
    ∴=,
    ∴∠OBE=∠DBE,
    ∵OE=OB,
    ∴∠OEB=∠OBE,
    ∴∠OEB=∠DBE,
    ∴OE∥BC,
    ∵⊙O与边AC相切于点E,
    ∴OE⊥AC,
    ∴BC⊥AC,
    ∴∠C=90°;
    (2)在△ABC,∠C=90°,BC=3,sinA=,
    ∴AB=5,
    设⊙O的半径为r,则AO=5﹣r,
    在Rt△AOE中,sinA===,
    ∴r=,
    ∴AF=5﹣2×=.

    25.(13分)已知反比例函数的图象经过三个点A(﹣4,﹣3),B(2m,y1),C(6m,y2),其中m>0.
    (1)当y1﹣y2=4时,求m的值;
    (2)如图,过点B、C分别作x轴、y轴的垂线,两垂线相交于点D,点P在x轴上,若三角形PBD的面积是8,请写出点P坐标(不需要写解答过程).

    【分析】(1)先根据反比例函数的图象经过点A(﹣4,﹣3),利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y=,再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1==,y2==,然后根据y1﹣y2=4列出方程﹣=4,解方程即可求出m的值;
    (2)设BD与x轴交于点E.根据三角形PBD的面积是8列出方程••PE=8,求出PE=4m,再由E(2m,0),点P在x轴上,即可求出点P的坐标.
    【解答】解:(1)设反比例函数的解析式为y=,
    ∵反比例函数的图象经过点A(﹣4,﹣3),
    ∴k=﹣4×(﹣3)=12,
    ∴反比例函数的解析式为y=,
    ∵反比例函数的图象经过点B(2m,y1),C(6m,y2),
    ∴y1==,y2==,
    ∵y1﹣y2=4,
    ∴﹣=4,
    ∴m=1,
    经检验,m=1是原方程的解.
    故m的值是1;

    (2)设BD与x轴交于点E.
    ∵点B(2m,),C(6m,),过点B、C分别作x轴、y轴的垂线,两垂线相交于点D,
    ∴D(2m,),BD=﹣=.
    ∵三角形PBD的面积是8,
    ∴BD•PE=8,
    ∴••PE=8,
    ∴PE=4m,
    ∵E(2m,0),点P在x轴上,
    ∴点P坐标为(﹣2m,0)或(6m,0).

    26.(13分)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2).
    (1)若点(﹣,0)也在该抛物线上,求a,b满足的关系式;
    (2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;当0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0.以原点O为心,OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B,C,且△ABC有一个内角为60°.
    ①求抛物线的解析式;
    ②若点P与点O关于点A对称,且O,M,N三点共线,求证:PA平分∠MPN.
    【分析】(1)由抛物线经过点A可求出c=2,再代入(﹣,0)即可找出2a﹣b+2=0(a≠0);
    (2)①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴、开口向下,进而可得出b=0,由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形,结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形,设线段BC与y轴交于点D,根据等边三角形的性质可得出点C的坐标,再利用待定系数法可求出a值,此题得解;
    ②由①的结论可得出点M的坐标为(x1,﹣+2)、点N的坐标为(x2,﹣+2),由O、M、N三点共线可得出x2=﹣,进而可得出点N及点N′的坐标,由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上,进而即可证出PA平分∠MPN.
    【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2),
    ∴c=2.
    又∵点(﹣,0)也在该抛物线上,
    ∴a(﹣)2+b(﹣)+c=0,
    ∴2a﹣b+2=0(a≠0).
    (2)①∵当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0,
    ∴x1﹣x2<0,y1﹣y2<0,
    ∴当x<0时,y随x的增大而增大;
    同理:当x>0时,y随x的增大而减小,
    ∴抛物线的对称轴为y轴,开口向下,
    ∴b=0.
    ∵OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B、C,
    ∴△ABC为等腰三角形,
    又∵△ABC有一个内角为60°,
    ∴△ABC为等边三角形.
    设线段BC与y轴交于点D,则BD=CD,且∠OCD=30°,
    又∵OB=OC=OA=2,
    ∴CD=OC•cos30°=,OD=OC•sin30°=1.
    不妨设点C在y轴右侧,则点C的坐标为(,﹣1).
    ∵点C在抛物线上,且c=2,b=0,
    ∴3a+2=﹣1,
    ∴a=﹣1,
    ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2.
    ②证明:由①可知,点M的坐标为(x1,﹣+2),点N的坐标为(x2,﹣+2).
    直线OM的解析式为y=k1x(k1≠0).
    ∵O、M、N三点共线,
    ∴x1≠0,x2≠0,且=,
    ∴﹣x1+=﹣x2+,
    ∴x1﹣x2=﹣,
    ∴x1x2=﹣2,即x2=﹣,
    ∴点N的坐标为(﹣,﹣+2).
    设点N关于y轴的对称点为点N′,则点N′的坐标为(,﹣+2).
    ∵点P是点O关于点A的对称点,
    ∴OP=2OA=4,
    ∴点P的坐标为(0,4).
    设直线PM的解析式为y=k2x+4,
    ∵点M的坐标为(x1,﹣+2),
    ∴﹣+2=k2x1+4,
    ∴k2=﹣,
    ∴直线PM的解析式为y=﹣x+4.
    ∵﹣•+4==﹣+2,
    ∴点N′在直线PM上,
    ∴PA平分∠MPN.




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