3.2.2函数的奇偶性

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知识点1：函数的奇偶性
1.定义
题型一:函数奇偶性概念的理解
例1：给出下列结论：
①若的定义域关于原点对称，则是偶函数； ②若是偶函数，则它的定义域关于原点对称；
③若，则（）是偶函数； ④若（）是偶函数，则；
⑤若，则（）不是偶函数； ⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是；
⑦若是定义域为R的奇函数，则.
其中正确的结论是 .（填序号）
例2：若函数为奇函数，则必有（ ）
A. B. C. D.
例3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
A B C D
题型二：函数的奇偶性的判定与证明
函数的奇偶性判定方法
（1）定义法：
（2）图像法：
性质法：奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性
设的定义域分别是F、G，若F=G，则有下列结论：
例1;判断函数的奇偶性
(1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)； (3)f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1)；
例2：分段函数的奇偶性
例8：已知函数，则（ ）.
是奇函数 B. 是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
例3：如果是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）.
B. C. D.
例4：已知则下列结论正确的是（ ）
是偶函数 B.是奇函数
C. 是偶函数 D. 是奇函数
变式训练：
知识点2：奇、偶函数的图像特征（几何意义）
1.奇函数的图像特征
若一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
2.偶函数的图像特征
若一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.
3.奇、偶函数的单调性
根据奇、偶函数的图像特征，我们不难得出以下结论.
（1）奇函数在关于端点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.
（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.
例1：下列四个结论：
①偶函数的图像一定与轴相交；
②奇函数的图像一定经过原点；
③偶函数的图像关于轴对称；
④奇函数的图像必经过点
表述正确的个数是（ ）
1 B. 2 C. 3 D.4
例2：已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是 .
例3：（1）奇函数的局部图像如图所示，则与的大小关系为 .
（2）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如图所示，那么的值域是 .
变式训练：
定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(1)画出f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)>0.
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间；
(3)根据图象写出使f(x)