第六章 6.2等差数列-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)

(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)

(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)

(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.(　　)

2、在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．6

3、已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于(　　)

A．100  B．99  C．98  D．97

4、已知数列{an}中，a3＝3，an＋1＝an＋2，则a2＋a4＝________，an＝________.

5、若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．

无

题型一　等差数列基本量的运算

例1　(1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为(　　)

A．2  B．10  C.  D.

(2)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.

【同步练习】

(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)

A．13   B．35

C．49   D．63

(2)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．

题型二　等差数列的判定与证明

例2　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．

引申探究

例2中，若条件变为a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式．

【同步练习】

(1)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为(　　)

A．an＝   B．an＝

C．an＝   D．an＝

(2)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.

①设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；

②求{an}的通项公式．

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．

2．等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.

3．等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．

4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．

5．等差数列的前n项和公式

设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.

6．等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn＝n2＋n.

数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

7．等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．

【知识拓展】

等差数列的四种判断方法

(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．

(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列．

(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．

(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．

题型三　等差数列性质的应用

命题点1　等差数列项的性质

例3　(1)已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝8π，则{an}前9项的和S9＝______，cos(a3＋a7)的值为________．

(2)已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________.

命题点2　等差数列前n项和的性质

例4　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝________.

(2)在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 018的值等于(　　)

A．－2 018   B．－2 016

C．－2 019   D．－2 017

【同步练习】

(1)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于(　　)

A．58  B．88  C．143  D．176

(2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于(　　)

A.   B.

C.   D.

题型四 等差数列的前n项和及其最值

例5 (1)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于(　　)

A．45   B．60

C．75   D．90

(2)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝________.

例6 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．

一、等差数列运算问题的通性通法

(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

二、等差数列的四个判定方法

(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．

(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．

(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．

(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．

三、等差数列的性质

(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．

(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则

①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；

②S2n－1＝(2n－1)an.

1．在数列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，则{an}的前4项和为(　　)

A．9   B．22

C．24   D．32

2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于(　　)

A．40   B．42

C．43   D．45

3．已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则n的值为(　　)

A．8   B．9

C．10   D．11

4．各项均不为零的等差数列{an}中，若an＋1＝a－an－1(n∈N*，n≥2)，则S2 016等于(　　)

A．0  B．2  C．2 015  D．4 032

5．已知数列{an}满足an＋1＝an－，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为(　　)

A．7   B．8

C．7或8   D．8或9

*6.设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“吉祥数列”，则数列{bn}的通项公式为(　　)

A．bn＝n－1   B．bn＝2n－1

C．bn＝n＋1   D．bn＝2n＋1

7．已知数列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，则a10＝________.

8．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.

9．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．

10．设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是________．

11．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．

12．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.

(1)求证：成等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

*13.已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．

(1)求证：数列{an}为等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．