第八章 8.7立体几何中向量方法-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面的单位法向量是唯一确定的．(　　)

(2)若两平面的法向量平行，则两平面平行．(　　)

(3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．(　　)

(4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　)

(5)两异面直线夹角的范围是(0，]，直线与平面所成角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π]．(　　)

(6)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.(　　)

2、已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　)

A．(－1,1,1)   B．(1，－1,1)

C．(－，－，－)   D．(，，－)

3、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为(　　)

A.   B.

C.   D.

4、设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．

5、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．

题型一　利用空间向量证明平行问题

例1 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.

引申探究

本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC.

【同步练习】

1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.

题型二　利用空间向量证明垂直问题

例2　如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1綊BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求证：

(1)A1B1⊥平面AA1C；

(2)AB1∥平面A1C1C.

【同步练习】

1、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点．

(1)求证：EF∥平面PAD；

(2)求证：平面PAB⊥平面PDC.

1．直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为

2．用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.

(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.

(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.

(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.

3．用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.

(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.

(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.

4．两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

5.直线与平面所成角的求法

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝.

6．求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．

题型三　利用空间向量求空间角

命题点1　求直线和平面所成的角

例3　如图1，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；

(2)若M是A1D上的点，试确定点M的位置，使得直线CM与平面A1BE所成角的正弦值为.

命题点2　求二面角

例4　已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABCD所成的二面角的正切值为________．

【同步练习】

1、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

(1)证明MN∥平面PAB；

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

2、如图1所示，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B，如图2所示．

(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

(2)求二面角E－DF－C的余弦值；

(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．

一、证明垂直问题的方法

(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．

(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．

二、利用向量法求空间角的方法

(1)先求出直线的方向向量和平面的法向量，将求空间角转化为求两个向量的夹角．

(2)利用数量积求向量的夹角，然后根据和所求角的关系得到空间角，但要注意所求角的大小．

1．若平面α，β的法向量分别是n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　)

A．α∥β   B．α⊥β

C．α，β相交但不垂直   D．以上答案均不正确

2．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)

A．P(2,3,3)   B．P(－2,0,1)

C．P(－4,4,0)   D．P(3，－3,4)

3．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　)

A．相交   B．平行

C．在平面内   D．平行或在平面内

4．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t等于(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A．斜交    B．平行   C．垂直   D．MN在平面BB1C1C内

6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)

A.     B.     C.    D.

7．已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是_______________．

8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．

9.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．

*10.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________．

11．如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且

AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：

(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.

12．在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示．

(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

*13.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，点P是CD上的一点，PC＝λPD.

(1)若A1C⊥平面PBC1，求λ的值；

(2)设λ1＝1，λ2＝3所对应的点P为P1，P2，二面角P1—BC1—P2的大小为θ，求cos θ的值．