高中数学人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和学案

这是一份高中数学人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和学案，共5页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．体会递推公式是数列的一种表示法，并能根据递推公式写出数列的前n项．
2．掌握由简单递推公式求通项公式的方法．
【自主预习】
1．数列递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的第1项(或前n项)；
②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．
2．数列递推公式与通项公式之间的关系
3.仅由数列{an}的递推公式an＝f(an－1)(n≥2，n∈N*)能否确定一个数列？
提示：不能．由递推公式确定一个数列，必须满足：
①“基础”——数列{an}的第1项或前几项；
②递推关系——数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2，n∈N*)之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示．
二者必须同时具备才能确定一个数列．
【互动探究】
由递推关系写数列的项
已知数列{an}的第一项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝eq \f(2an,an＋2)给出，试写出这个数列的前5项．
解：因为a1＝1，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，
所以a2＝eq \f(2a1,a1＋2)＝eq \f(2,3)，
a3＝eq \f(2a2,a2＋2)＝eq \f(2×\f(2,3),\f(2,3)＋2)＝eq \f(1,2)，
a4＝eq \f(2a3,a3＋2)＝eq \f(2×\f(1,2),\f(1,2)＋2)＝eq \f(2,5)，
a5＝eq \f(2a4,a4＋2)＝eq \f(2×\f(2,5),\f(2,5)＋2)＝eq \f(1,3)．
故该数列的前5项为1，eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，eq \f(2,5)，eq \f(1,3)．
由递推关系求数列的通项公式
(1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求an；
(2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)＝an(n≥2，n∈N*)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n)(n≥2，n∈N*)，求an．
解：(1)n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
a1＝1也适合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1．
(2)n≥2时，an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)＝1·eq \f(1,2)·eq \f(2,3)·…·eq \f(n－1,n)＝eq \f(1,n)．
a1＝1也适合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝eq \f(1,n)．
【课堂练习】
1．符合递推公式an＝eq \r(2)an－1(n≥2)的数列是( )
A．1,2,3,4，… B．1，eq \r(2)，2,2eq \r(2)，…
C．eq \r(2)，2，eq \r(2)，2，… D．0，eq \r(2)，2,2eq \r(2)，…
解析：B中从第2项起，后一项是前一项的eq \r(2)倍，符合递推公式an＝eq \r(2)an－1(n≥2)．
答案：B
2．已知数列{an}的首项a1＝2，an＋1＝2an＋1(n≥1，n∈N*)，则a5为( )
A．7 B．15
C．30 D．47
解析：将a1＝2代入关系式an＋1＝2an＋1得a2＝5，将a2＝5再代入an＋1＝2an＋1可得a3＝11，依次类推得a5＝47，故选D．
答案：D
3．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n(n∈N*)
B．an＝an－1＋n(n≥2，n∈N*)，a1＝1
C．an＋1＝an＋(n－1)(n∈N*)
D．an＝an－1＋(n－1)(n≥2，n∈N*)，a1＝1
解析：观察数列的前5项，发现相邻两项的后一项比前一项大后一项的序号数，故an＝an－1＋n(n≥2，n∈N*)，a1＝1.故选B．
答案：B
4．数列{an}中，a1＝2，an＝an＋1－3，则14是数列{an}的第________项．
解析：a1＝2，a2＝a1＋3＝5，a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，a5＝a4＋3＝14．
答案：5
5．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋eq \f(an,n＋1)．
(1)写出数列的前5项；
(2)猜想数列的通项公式．
解：(1)a1＝1，a2＝a1＋eq \f(a1,2)＝eq \f(3,2)，
a3＝a2＋eq \f(a2,3)＝2，a4＝a3＋eq \f(a3,4)＝eq \f(5,2)，
a5＝a4＋eq \f(a4,5)＝3．
(2)猜想：an＝eq \f(n＋1,2)．
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系
表示an与n之间的关系
联系
(1)都是表示数列的一种方法；
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式