人教版新课标A2.2 等差数列导学案

这是一份人教版新课标A2.2 等差数列导学案，共5页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．掌握等差数列的有关性质．
2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．
【自主预习】
1．等差数列的项与序号的关系
(1)等差数列通项公式的推广
(2)项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak．
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
2．等差数列的性质({an}和{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，c，p，q为常数，k＜n且k∈N*)
3．在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，则m＋n＝p＋q成立吗？
提示：不一定．若数列{an}是常数列，则m＋n＝p＋q不一定成立．
4．由等差数列通项公式的推广可得d＝eq \f(an－a1,n－1)，d＝eq \f(an－am,n－m).你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
提示：等差数列通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是这条直线上的点．d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜率d＝eq \f(an－a1,n－1).当两点为(n，an)，(m，am)时，有d＝eq \f(an－am,n－m)．
【互动探究】
等差数列推广通项公式的应用
在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．
解：因为a8＝a2＋(8－2)d，
所以17＝5＋6d.解得d＝2．
又因为an＝a2＋(n－2)d，
所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1．
等差数列的性质及应用
已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
解：方法一 因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5．
又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9．
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2．
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n．
方法二 设等差数列的公差为d，
则由a1＋a4＋a7＝15，得
a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，
即a1＋3d＝5.①
由a2a4a6＝45．
得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45．
将①代入上式，得
(a1＋d)×5×(5＋2d)＝45，
即(a1＋d)×(5＋2d)＝9.②
解①②组成的方程组，
得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2．
即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13．
等差数列的综合问题
首项为a1，公差为d的整数等差数列{an}满足下列两个条件：
(1)a3＋a5＋a7＝93；
(2)满足an>100的n的最小值是15．
试求公差d和首项a1的值．
解：由a3＋a5＋a7＝93，得a5＝31．
所以an＝a5＋(n－5)d>100，n>eq \f(69,d)＋5．
因为n的最小值是15，故14≤eq \f(69,d)＋5<15．
所以6.9因为d为整数，所以d＝7．
所以a1＝a5－4d＝3．
【课堂练习】
1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：a3＋a4＋a5＝3a4＝12，所以a4＝4．
答案：C
2．等差数列{an}中，a3＝7，a7＝－5，则公差d＝( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
解析：由题意得4d＝a7－a3＝－5－7＝－12.所以d＝－3．
答案：B
3．在等差数列{an}中，a1＝2，a2＋a5＝13，则a5＋a6＋a7＝________．
解析：由a1＋a6＝a2＋a5得a6＝11.故a5＋a6＋a7＝3a6＝33．
答案：33
4．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是公差为________的等差数列．
解析：(an＋1＋2an＋3)－(an＋2an＋2)＝(an＋1－an)＋2(an＋3－an＋2)＝d＋2d＝3d．
答案：3d
5．在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13．
解：由m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq，
得a2＋a24＝a3＋a23＝2a13．
因为a2＋a3＋a23＋a24＝48，
所以4a13＝48.所以a13＝12．
通项公式
通项公式的推广
an＝a1＋(n－1)d
(揭示首末两项的关系)
an＝am＋(n－m)d
(揭示任意两项之间的关系)
数列
结论
{c＋an}
是公差为d的等差数列
{c·an}
是公差为cd的等差数列
{an＋an－k}
是公差为2d的等差数列
{pan＋qbn}
是公差为pd＋qd′的等差数列