高中数学人教版新课标A必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和导学案及答案

这是一份高中数学人教版新课标A必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和导学案及答案，共4页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．理解等比数列前n项和公式的推导方法和过程.
2．掌握等比数列前n项和公式及其性质的运用．
【自主预习】
1．等比数列的前n项和公式
2．等比数列的前n项和公式的推导方法是什么？
提示：教材中用错位相减法推导出等比数列的前n项和公式．错位相减法是数列求和的一种基本方法．它适用于一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}的对应项的积构成的数列{anbn}求和．
【互动探究】
等比数列前n项和基本运算
在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q．
解：由题意，得若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．
此时，q＝1，a3＝a1＝2．
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得S3＝eq \f(a11－q3,1－q)＝eq \f(21－q3,1－q)＝6.解得q＝－2．
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8．
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8．
等差、等比数列的综合问题
已知等差数列{an}，a2＝9，a5＝21．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn．
解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋d＝9，,a1＋4d＝21.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝5，,d＝4.))所以数列{an}的通项公式为an＝4n＋1．
(2)由an＝4n＋1，得bn＝24n＋1.所以{bn}是首项为b1＝25，公比为q＝24的等比数列．于是得数列{bn}的前n项和Sn＝eq \f(2524n－1,24－1)＝eq \f(3224n－1,15)．
等比数列前n项和的实际应用问题
某家用电器一件现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812≈1.1)
解：设每期应付款x元，则第1期付款到最后一次付款时的本息和为x(1＋0.008)11，第2期付款到最后一次付款时的本息和为x(1＋0.008)10，…，第12期付款没有利息，故各期付款构成等比数列，各期付款连同利息之和即为此数列的前12项和，即：
x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝eq \f(1.00812－1,1.008－1)x．
又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，
于是有eq \f(1.00812－1,1.008－1)x＝2 000×1.00812．
解得x＝eq \f(16×1.00812,1.00812－1)≈176(元)．
所以每期应付款176元．
【课堂练习】
1．数列{2n－1}的前99项和为( )
A．2100－1 B．1－2100
C．299－1 D．1－299
解析：数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝eq \f(1－299,1－2)＝299－1．
答案：C
2．对于等比数列{an}，a1＝5，q＝2，Sn＝35，则an＝________．
解析：由Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)，得an＝eq \f(a1－1－qSn,q)＝eq \f(5＋35,2)＝20．
答案：20
3．一个等比数列，它的前4项和为前2项之和的2倍，则此数列的公比为________________．
解析：当q＝1时，S4＝2S2满足题意；
当q≠1时，eq \f(a11－q4,1－q)＝eq \f(2a11－q2,1－q)，即1＋q2＝2．
所以q＝1(舍去)，或q＝－1.综上q＝－1或1．
答案：－1或1
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn．
解：设数列{an}的公比为q，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1q＝6，,6a1＋a1q2＝30.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝3，,q＝2，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝2，,q＝3.))
当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1．