高中数学人教版新课标A必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和导学案

这是一份高中数学人教版新课标A必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和导学案，共5页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．熟练应用等比数列前n项和的有关性质解题．
2．应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关的问题．
【自主预习】
1．等比数列前n项和公式的函数观点
(1)当公比q≠1时，公式可写成Sn＝－Aqn＋A的形式，数列{Sn}对应的点(n，Sn)是指数型函数y＝－Aqx＋A图象上的一些离散的点．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数，数列{Sn}对应的点(n，Sn)是正比例函数y＝a1x图象上的一些离散的点．
另外应注意：如果已知数列的前n项和公式Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，那么这个数列一定是公比为q的等比数列．
2．等比数列前n项和的有关性质
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q．
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝eq \f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠1且q≠－1)．
(2)若一个非常数数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A⇔数列{an}为等比数列．
(3)若数列{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qn·Sm．
(4)“片段和”性质：等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则依次每k项的和构成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…(当Sk≠0时)成等比数列，其公比为qk(q≠－1)．
【互动探究】
等比数列前n项和公式的函数特征
设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，有下列三个命题：
①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1；
②若Sn＝an(a为非零常数)，则{an}是等比数列；
③若Sn＝1－(－1)n，则{an}是等比数列．
其中真命题的序号是______________．
解析：易知①是真命题，由等比数列前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1,1－q)－eq \f(a1,1－q)·qn知②不正确，③正确．
答案：①③
等比数列前n项和的性质及应用
(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为( )
A．28 B．32
C．21 D．28或－21
(2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________．
[思路点拨](1)由S2，S4－S2，S6－S4成等比数列求解．
(2)利用eq \f(S偶,S奇) ＝q，及S2n＝S奇＋S偶求解．
解析：(1)因为{an}为等比数列，
所以S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，
即7，S4－7,91－S4成等比数列．
所以(S4－7)2＝7(91－S4)．
解得S4＝28或S4＝－21．
因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，所以S4＝28．
(2)设S＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，
S′＝a1＋a3＋a5＋…＋a79．
则eq \f(S,S′)＝q＝3，即S＝3S′．
又S＋S′＝S80＝32，所以eq \f(4,3)S＝32.解得S＝24．
即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24．
等差、等比数列的综合问题
(2018·北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求ea1＋e a2＋…＋e an．
解 (1)设{an}的公差为d．
因为a2＋a3＝5ln 2，所以2a1＋3d＝5ln 2．
又a1＝ln 2，所以d＝ln 2．
所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2．
(2)因为e a1＝eln 2＝2，eq \f(ean,ean－1)＝ean－an－1＝eln 2＝2，
所以数列{ean}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以e a1＋e a2＋…＋ean＝eq \f(2×1－2n,1－2)
＝2(2n－1)＝2n＋1－2．
【课堂练习】
1．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则eq \f(S4,a2)等于( )
A．2 B．4
C．eq \f(15,2) D．eq \f(17,2)
解析：eq \f(S4,a2)＝eq \f(\f(a11－q4,1－q),a1q)＝eq \f(a11－16,－a1·2)＝eq \f(15,2)．
答案：C
2．已知各项不为0的等差数列{an}满足2a3－aeq \\al(2,7)＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8＝( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：因为数列{an}是等差数列，所以a3＋a11＝2a7.由2a3－aeq \\al(2,7)＋2a11＝0，得4a7－aeq \\al(2,7)＝0．
又an≠0，所以a7＝4．
所以b6·b8＝beq \\al(2,7)＝42＝16．
答案：D
3．等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于__________．
解析：S8－S4＝q4·S4＝24×10＝160，S8＝170．
答案：170
4．已知数列{an}的通项公式为an＝2·3n，求由其奇数项所组成的数列的前n项和Sn．
解：由an＝2·3n得eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2·3n＋1,2·3n)＝3.又a1＝6，
所以{an}是等比数列，其公比为q＝3，首项a1＝6．
所以数列{an}的奇数项也成等比数列，公比为q2＝9，首项为a1＝6.所以Sn＝eq \f(61－9n,1－9)＝eq \f(3,4)(9n－1)．