人教版新课标A必修53.3 二元一次不等式（组）与简单的线性学案及答案

这是一份人教版新课标A必修53.3 二元一次不等式（组）与简单的线性学案及答案，共6页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．了解线性规划的意义．
2．通过实例弄清线性规划的有关概念．
3．会用图解法求一些简单的线性规划问题．
【自主预习】
1．线性规划中的基本概念
2.在线性约束条件下，最优解唯一吗？
提示：不一定，可能只有一个，可能有多个，也可能有无数个．
【互动探究】
求线性目标函数的最值问题
已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y≤8，,4x≤16，,4y≤12，,x≥0，,y≥0，))该不等式组所表示的平面区域如图，求2x＋3y的最大值．
解：设区域内任一点P(x，y)，z＝2x＋3y，
则y＝－eq \f(2,3)x＋eq \f(z,3)，
这时斜率为定值－eq \f(2,3)，在y轴上的截距为eq \f(z,3)的直线，如图．
由图可以看出，
当直线y＝－eq \f(2,3)x＋eq \f(z,3)经过直线x＝4与直线x＋2y－8＝0的交点M(4,2)时，截距eq \f(z,3)的值最大，
此时2x＋3y＝14．
求非线性目标函数的最值问题
(1)已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥0，,3x＋4y≥4，,y≥0，))则x2＋y2＋2x的最小值是( )
A．eq \f(2,5) B．eq \r(2)－1
C．eq \f(24,25) D．1
(2)(2015·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－4≤0，))则eq \f(y,x)的最大值为________．
解析：(1)画出可行域如图所示，x2＋y2＋2x＝(x＋1)2＋y2－1，而(x＋1)2＋y2表示可行域上一点到定点C(－1,0)的距离的平方．由图可知|AC|最小，所以x2＋y2＋2x的最小值为|AC|2－1＝(eq \r(2))2－1＝1．
(2)画出可行域如图阴影所示，
因为eq \f(y,x)表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，
所以点(x，y)在点A处时eq \f(y,x)最大．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,x＋y－4＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3.))所以A(1,3)．
所以eq \f(y,x)的最大值为3．
答案：(1)D (2)3
由目标函数的最值求参数问题
已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0，))若目标函数z＝ax＋y的最大值有无数个最优解，求实数a的值．
解： 约束条件所表示的平面区域如图．
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z．
当a＝0时，最优解只有一个，过点A(1,1)时取得最大值；
当a＞0时，当y＝－ax＋z与x＋y＝2重合时，最优解有无数个，此时a＝1；
当a＜0时，当y＝－ax＋z与x－y＝0重合时，最优解有无数个，此时a＝－1．
综上，a＝1或a＝－1．
【课堂练习】
1．在满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－2x≤0，,x＋2y＋3>0，,5x＋3y－5<0))的可行域中，整点的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：画出可行域，如图所示．由可行域知有4个整点，分别是(0,0)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－2)．
答案：B
2．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3y≤3，,x－y≥1，,y≥0，))则z＝x＋y的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z．
作出直线y＝－x，并平移该直线，当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取得最大值．
由图知A(3,0)，
故zmax＝3＋0＝3.故选D．
答案：D
3．已知实数x，y满足不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－1≥0，,y≥3x－3，))则z＝eq \f(y－1,x＋1)的最大值为____________．
解析：作出实数x，y满足的可行域，易知在点(2,3)处，z取得最大值．所以zmax＝eq \f(3－1,2＋1)＝eq \f(2,3)．
答案：eq \f(2,3)
4．已知非负实数x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－4≤0，,x＋y－3≤0.))
(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；
(2)求z＝x＋3y的最大值．
解：(1)由x，y取非负实数，根据线性约束条件作出可行域，如图所示阴影部分．
(2)作出直线l：x＋3y＝0，将直线l向上平移至l1与y轴的交点M位置时，此时可行域内点M与直线l的距离最大，
而直线x＋y－3＝0与y轴交于点M(0,3)．
所以zmax＝0＋3×3＝9．
名称
意义
约束条件
关于变量x，y 的不等式(或方程)组
线性约束条件
关于x，y 的一次不等式(或方程)组
目标函数
欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于x，y 的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
由所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题