人教版新课标A必修53.2 一元二次不等式及其解法学案

这是一份人教版新课标A必修53.2 一元二次不等式及其解法学案，共5页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．了解一元二次不等式的概念．
2．理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系，并会用其来解一元二次不等式．
3.会解含参数的一元二次不等式．
【自主预习】
1．一元二次不等式的概念
(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式．
(2)一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a≠0)．
2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系
3．请分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－1>0之间的关系．
提示：x2－1>0eq \(――→,\s\up7( y>0))y＝x2－1eq \(――→,\s\up7(y＝0))x2－1＝0．
【互动探究】
不含参数的一元二次不等式的解法
求下列一元二次不等式的解集．
(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6．
解：(1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0．
因为x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6，
所以原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．
(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0．
方程(2x－1)2＝0的根为x＝eq \f(1,2)．
所以4x2－4x＋1≤0的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)))))．
(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0．
而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6，
所以不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1 含参数的一元二次不等式的解法
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0．
解：当a＜0时，不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)＞0.因为a＜0，所以eq \f(1,a)＜1．
所以不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＜\f(1,a)或x＞1)).
当a＝0时，不等式即－x＋1＜0，解集为{x|x＞1}．
当a＞0时，不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0.
当0＜a＜1时，eq \f(1,a)＞1，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|1＜x＜\f(1,a)))；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a＞1时，eq \f(1,a)＜1，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(1,a)＜x＜1)).
综上，当a＜0时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＜\f(1,a)或x＞1))；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|1＜x＜\f(1,a)))；
当a＝1时，解集为∅；
当a＞1时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(1,a)＜x＜1)).
“三个二次”间对应关系的应用
已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．
解：由根与系数的关系，可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－a＝1＋2，,b＝1×2，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝2.))
所以不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0．
由2x2－3x＋1>0，解得x1．
所以bx2＋ax＋1>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＜\f(1,2)或x＞1))．
【课堂练习】
1．不等式(1－x)(3＋x)>0的解集是( )
A．(－3,1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．(－1,3) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析：不等式可变为(x－1)(x＋3)<0，
解得－3答案：A
2．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．所以－7×(－1)＝eq \f(21,a)，故a＝3．
答案：C
3．设集合M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为( )
A．8 B．7
C．4 D．3
解析：由x2－2x－3<0得－1答案：B
4．二次函数y＝x2－4x＋3在y<0时x的取值范围是________________．
解析：由x2－4x＋3<0，得(x－1)(x－3)<0，解得1答案：(1,3)
5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围．
解：当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，
所以a＝2时解集为R．
当a－2≠0时，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2<0，,Δ<0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<2，,4a－22－4a－2－4<0，))
解得－2综上所述，a的取值范围为(－2,2]．
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1∅
∅