初中数学北师大版七年级上册第二章 有理数及其运算2.3 绝对值教案设计

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1．使学生掌握有理数的绝对值概念及表示方法；
2．使学生熟练掌握有理数绝对值的求法和有关的简单计算；
3．在绝对值概念形成过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的概括能力．
正确理解绝对值的概念．
一、从学生原有的认知结构提出问题
1．下列各数中：
＋7，－2，eq \f(1,3)，－8，3，0，＋0.01，－eq \f(2,5)，1eq \f(1,2)，哪些是正数？哪些是负数？哪些是非负数？
2．什么叫做数轴？画一条数轴，并在数轴上标出下列各数：
－3，4，0，3，－1.5，－4，eq \f(3,2)，2.
3．问题2中有哪些数互为相反数？从数轴上看，互为相反数的一对有理数有什么特点？
4．怎样表示一个数的相反数？
二、师生共同研究形成绝对值概念
例1：两辆汽车，第一辆沿公路向东行驶了5千米，第二辆向西行驶了4千米，为了表示行驶的方向(规定向东为正)和所在位置，分别记作＋5千米和－4千米．这样，利用有理数就可以明确表示每辆汽车在公路上的位置了．
我们知道，出租汽车是计程收费的，这时我们只需要考虑汽车行驶的距离，不需要考虑方向．当不考虑方向时，两辆汽车行驶的距离就可以记为5千米和4千米(在图上标出距离)．这里的5叫做＋5的绝对值，4叫做－4的绝对值．
例2：两位徒工分别用卷尺测量一段1米长的钢管，由于测量工具使用不当或读数不准确，甲测得的结果是1.01米，乙侧得的结果是0.98米．甲测量的差额即多出的数记作＋0.01米，乙测量的差额即减少的数记作－0.02米．
如果不计测量结果是多出或减少，只考虑测量误差，那么他们测量的误差分别是0.01和0.02.这里所说的测量误差也就是测量结果所多出来或减少了的数＋0.01和－0.02的绝对值．
如果请有经验的老师傅进行测量，结果恰好是1米，我们用有理数来表示测量的误差，这个数就是0(也可以记作＋0或－0)，自然这个差额0的绝对值是0.
现在我们撇开例题的实际意义来研究有理数的绝对值，那么，有
＋5的绝对值是5，在数轴上表示＋5的点到原点的距离是5；
－4的绝对值是4，在数轴上表示－4的点到原点的距离是4；
＋0.01的绝对值是0.01，在数轴上表示＋0.01的点到原点的距离是0.01；
－0.02的绝对值是0.02，在数轴上表示－0.02的点它到原点的距离是0.02；
0的绝对值是0，表明它到原点的距离是0.
一般地，一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离．
为了方便，我们用一种符号来表示一个数的绝对值．约定在一个数的两旁各画一条竖线来表示这个数的绝对值．如
＋5的绝对值记作|＋5|，显然有|＋5|＝5；
－0.02的绝对值记作|－0.02|，显然有|－0.02|＝0.02；
0的绝对值记作|0|，也就是|0|＝0.
a的绝对值记作|a|，(提醒学生a可以是正数，也可以是负数或0)．
例3：利用数轴求5，3.2，7，－2，－7.1，－0.5的绝对值．
由例3学生自己归纳出：
一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
这也是绝对值的代数定义．把绝对值的代数定义用数学符号语言如何表达？
把文字叙述语言变换成数学符号语言，这是一个比较困难的问题，教师应帮助学生完成这一步．
1．用a表示一个数，如何表示a是正数，a是负数，a是0?
由有理数大小比较可以知道：
a是正数：a＞0；a是负数：a＜0；a是0：a＝0.
2．怎样表示a的本身，a的相反数？
a的本身是自然数还是a.a的相反数为－a.现在可以把绝对值的代数定义表示成
如果a＞0，那么|a|＝a；如果a＜0，那么|a|＝－a；如果a＝0，那么|a|＝0.
由绝对值的代数定义，我们可以很方便地求已知数的绝对值了．
例4：求8，－8，eq \f(1,4)，－eq \f(1,4)，0，6，－π，π－5的绝对值．
三、课后作业
见学生用书．
中学代数里，实数绝对值的形式定义是：a∈R，
|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a＜0.))
而利用数轴将表示a的点到原点的距离作为它的一种几何解释．实际上，它的几何意义反映了概念的本质，也可以作为绝对值的定义即实质定义．一般在同一知识系统中不宜出现同一对象的两种不同定义，为了避免证明等价性的麻烦，通常以形式化的表述作为定义，另一种表术作为辅助性的解释，这在逻辑上可带来方便，其不足之处是形式定义较难理解．
我们采用的办法是重点放在几何意义的理解上，最后再概括上升到形式定义上来．这样比较符合从感性认识上升到理性认识的规律，同时使得绝对值概念的非负性具有较扎实的基础．