2021年四川省泸州市中考数学真题卷及答案解析

这是一份2021年四川省泸州市中考数学真题卷及答案解析，共26页。试卷主要包含了选择题.，填空题.等内容，欢迎下载使用。

2021年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．2021的相反数是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
2．第七次全国人口普查统计，泸州市常住人口约为4254000人，将4254000用科学记数法表示为（　　）
A．4.254×105 B．42.54×105 C．4.254×106 D．0.4254×107
3．下列立体图形中，主视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
4．函数y＝的自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
5．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是（　　）

A．61° B．109° C．119° D．122°
6．在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，﹣2）向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点B′的坐标为（　　）
A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
8．在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（　　）
A． B． C．16π D．64π
9．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
10．已知10a＝20，100b＝50，则a+b+的值是（　　）
A．2 B． C．3 D．
11．如图，⊙O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD＝10，则BF的长是（　　）

A． B． C． D．
12．直线l过点（0，4）且与y轴垂直，若二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a（其中x是自变量）的图象与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（　　）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）.
13．分解因式：4﹣4m2＝　 　．
14．不透明袋子中装有3个红球，5个黑球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是　 　．
15．关于x的不等式组恰好有2个整数解，则实数a的取值范围是　 　．
16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是　 　．

三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分.
17．（6分）计算：（）0+（）﹣1﹣（﹣4）+2cos30°．
18．（6分）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．

19．（6分）化简：（a+）÷．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分.
20．（7分）某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：
16 14 13 17 15 14 16 17 14 14
15 14 15 15 14 16 12 13 13 16
（1）根据上述样本数据，补全条形统计图；
（2）上述样本数据的众数是　 　，中位数是　 　；
（3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．

21．（7分）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分.
22．（8分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（6，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值．
23．（8分）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．

六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分.
24．（12分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC．
（1）求证：∠ACF＝∠B；
（2）若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD•AE的值．

25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．


2021年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．2021的相反数是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
【分析】利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．
故选：A．
2．第七次全国人口普查统计，泸州市常住人口约为4254000人，将4254000用科学记数法表示为（　　）
A．4.254×105 B．42.54×105 C．4.254×106 D．0.4254×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：4254000＝4.254×106．
故选：C．
3．下列立体图形中，主视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别得出三棱柱，圆柱，圆锥，球的主视图即可．
【解答】解：三棱柱、圆柱的主视图都是长方形，
圆锥的主视图是三角形，
球的主视图是圆，
故选：D．
4．函数y＝的自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
【分析】根据二次根式的意义和分式的意义可知：x﹣1＞0，可求x的范围．
【解答】解：要使函数有意义，
则x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故选：B．
5．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是（　　）

A．61° B．109° C．119° D．122°
【分析】由平行四边形的性质可得∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝58°，由角平分线的性质和外角性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝58°，
∴∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝58°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝61°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝119°，
故选：C．
6．在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，﹣2）向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点B′的坐标为（　　）
A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点A（﹣3，﹣2）向右平移4个单位长度得到的B的坐标为（﹣3+5，﹣2），即（2，﹣2），
则点B关于y轴的对称点B′的坐标是：（﹣2，﹣2）．
故选：C．
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】根据平行四边形及特殊平行四边形的判定，逐个判断即可．
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四边形，故A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故B符合题意；
C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故C不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不能判断它的内角有直角，故D不符合题意；
故选：B．
8．在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（　　）
A． B． C．16π D．64π
【分析】已知c，所以求出∠C的度数即可使用题中的结论，得到关于R的方程，再求圆的面积即可．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵＝2R，
∴2R＝＝＝，
∴R＝，
∴S＝πR2＝π（）2＝π，
故选：A．
9．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m＝2，进而求得m＝2或m＝﹣1，从而求得x1+x2＝﹣4或2，把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，
则x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1，
∴x1+x2＝﹣4或2，
（x12+2）（x22+2）
＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，
当x1+x2＝﹣4时，原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32；
当x1+x2＝2时，原式＝22+2×22﹣4×2+4＝8；
故选：C．
10．已知10a＝20，100b＝50，则a+b+的值是（　　）
A．2 B． C．3 D．
【分析】把100变形为102，两个条件相乘得a+2b＝3，整体代入求值即可．
【解答】解：∵10a×100b＝10a×102b＝10a+2b＝20×50＝1000＝103，
∴a+2b＝3，
∴原式＝（a+2b+3）＝×（3+3）＝3，
故选：C．
11．如图，⊙O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD＝10，则BF的长是（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图，构建如图平面直角坐标系，过点D作DH⊥BC于H．想办法求出C，D两点坐标，构建一次函数，利用方程组确定交点坐标即可．
【解答】解：如图，构建如图平面直角坐标系，过点D作DH⊥BC于H．

∵AB是直径，AB＝8，
∴OA＝OB＝4，
∵AD，BC，CD是⊙O的切线，
∴∠DAB＝∠ABH＝∠DHB＝90°，DA＝DE，CE＝CB，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD＝BH，AB＝DH＝8，
∴CH＝＝＝6，
设AD＝DE＝BH＝x，则EC＝CB＝x+6，
∴x+x+6＝10，
∴x＝2，
∴D（2，4），C（8，﹣4），B（0，﹣4），
∴直线OC的解析式为y＝﹣x，直线AD的解析式为y＝4x﹣4，
由，解得，
∴F（，﹣），
∴BF＝＝，
故选：A．
12．直线l过点（0，4）且与y轴垂直，若二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a（其中x是自变量）的图象与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（　　）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
【分析】先写出直线l的解析式，根据直线和抛物线有两个不同的交点，由直线和抛物线解析式得出关于x的一元二次方程，通过判别式△＞0，求出a的取值，再根据对称轴在y轴右侧，得出a的取值，故可以判断D正确．
【解答】解：∵直线l过点（0，4）且与y轴垂直，
∴直线l为：y＝4，
∵二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a的图象与直线l有两个不同的交点，
∴（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a＝4，
整理得：3x2﹣12ax+12a2+a﹣4＝0，
△＝（﹣12a）2﹣4×3（12a2+a﹣4）＝144a2﹣144a2﹣12a+48＝﹣12a+48＞0，
∴a＜4，
又∵二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a＝3x2﹣12ax+12a2+a对称轴在y轴右侧，
∴﹣＝2a＞0，
∴a＞0，
∴0＜a＜4，
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）.
13．分解因式：4﹣4m2＝　4（1+m）（1﹣m）　．
【分析】先提取公因式4，再用平方差公式因式分解．
【解答】解：原式＝4（1﹣m2）
＝4（1+m）（1﹣m）．
故答案为：4（1+m）（1﹣m）．
14．不透明袋子中装有3个红球，5个黑球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是　　．
【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：∵袋子中共有3+5+4＝12个除颜色外无其他差别的球，其中红球的个数为3，
∴从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是＝，
故答案为：．
15．关于x的不等式组恰好有2个整数解，则实数a的取值范围是　0＜a≤0.5　．
【分析】先解不等式组得出1.5＜x＜2a+3，根据不等式组恰有2个整数解得出3＜2a+3≤4，解之即可得出答案．
【解答】解：解不等式2x﹣3＞0，得：x＞1.5，
解不等式x﹣2a＜3，得：x＜2a+3，
∵不等式组恰好有2个整数解，
∴3＜2a+3≤4，
解得：0＜a≤0.5，
故答案为：0＜a≤0.5．
16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是　　．

【分析】根据正方形的性质和相似三角形的性质，可以得到GN的长，然后通过图形可知，△AGF的面积＝△ABF的面积﹣△ABG的面积，代入数据计算即可．
【解答】解：作FM⊥AB于点M，作GN⊥AB于点N，如右图所示，
∵正方形ABCD的边长为4，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，
∴BE＝2，MF＝4，BM＝CF＝3，
∵GN⊥AB，FM⊥AB，
∴GN∥FM，
∴△BNG∽△BMF，
∴，
设BN＝3x，则NG＝4x，AN＝4﹣3x，
∵GN⊥AB，EB⊥AB，
∴△ANG∽△ABE，
∴，
即，
解得x＝，
∴GN＝4x＝，
∴△AGF的面积是：＝＝，
故答案为：．

三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分.
17．（6分）计算：（）0+（）﹣1﹣（﹣4）+2cos30°．
【分析】利用0指数幂、负指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
【解答】解：（）0+（）﹣1﹣（﹣4）+2cos30°．
＝1+4+4+3
＝12．
18．（6分）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．

【分析】要证BD＝CE只要证明AD＝AE即可，而证明△ABE≌△ACD，则可得AD＝AE．
【解答】证明：在△ABE与△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
∴AD＝AE．
∴BD＝CE．
19．（6分）化简：（a+）÷．
【分析】先计算括号内分式的加法，然后将分子因式分解，继而将除法转化为乘法，最后约分即可．
【解答】解：原式＝（+）÷
＝•
＝•
＝a﹣1．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分.
20．（7分）某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：
16 14 13 17 15 14 16 17 14 14
15 14 15 15 14 16 12 13 13 16
（1）根据上述样本数据，补全条形统计图；
（2）上述样本数据的众数是　14万元　，中位数是　14.5万元　；
（3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．

【分析】（1）根据题目中的数据，可以得到销售额14万元和16万元的天数，然后即可将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据，可以直接写出样本数据的众数，计算出样本数据的中位数；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．
【解答】解：（1）由题目中的数据可得，
销售额为14万元的有6天，销售额为16万元的有4天，
补全的条形统计图如右图所示；

（2）由条形统计图可得，
样本数据的众数是14万元，中位数是（14+15）÷2＝14.5（万元），
故答案为：14万元，14.5万元；
（3）＝14.65（万元），
答：估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额是14.65万元．
21．（7分）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
【分析】（1）设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨，根据3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨列出方程组解答即可；
（2）设A货车运输m吨，则B货车运输（190﹣m）吨，设总费用为w元，列出w的一次函数表达式，化简得w随m的增大而减小；根据A、B两种货车均满载，得，都是整数，分类列举得到符合题意得方案，最后根据费用越少，m越大得到费用最少的方案．
【解答】解：（1）设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨，
根据题意得：，
解得：，
答：1辆A货车一次可以运货20吨，1辆B货车一次可以运货15吨；
（2）设A货车运输m吨，则B货车运输（190﹣m）吨，设总费用为w元，
则：w＝500×+400×
＝25m+
＝25m﹣m+
＝﹣m+，
∵﹣＜0，
∴w随m的增大而减小．
∵A、B两种货车均满载，
∴，都是整数，
当m＝20时，不是整数；
当m＝40时，＝10；
当m＝60时，不是整数；
当m＝80时，不是整数；
当m＝100时，＝6；
当m＝120时，不是整数；
当m＝140时，不是整数；
当m＝160时，＝2；
当m＝180时，不是整数；
故符合题意的运输方案有三种：
①A货车2辆，B货车10辆；
②A货车5辆，B货车6辆；
③A货车8辆，B货车2辆；
∵w随m的增大而减小，
∴费用越少，m越大，
故方案③费用最少．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分.
22．（8分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（6，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值．
【分析】（1）根据待定系数法，先求出反比例函数的解析式，求出B点坐标，进而求出一次函数的解析式；
（2）根据直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l求得l的解析式，然后求出点M，N得坐标，根据勾股定理求得MN的长度；联立一次函数l和反比例函数得到点P，Q的坐标，过点P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，两条平行线交于点C，根据勾股定理求得PQ的长度，问题即可迎刃而解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝得图象过点A（2，3），点B（6，n），
∴m＝2×3＝6，m＝6n，
∴y＝，n＝1，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，3），点B（6，1），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）∵直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，
∴直线l的解析式为：y＝﹣x+4﹣8＝﹣x﹣4，
当x＝0时，y＝﹣4，
当y＝0时，x＝﹣8，
∴M（﹣8，0），N（0，﹣4），
∴OM＝8，ON＝4，
∴MN＝＝＝4，
联立，
得：﹣x﹣4＝，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣6，
将x1＝﹣2，x2＝﹣6代入y＝得：y1＝﹣3，y2＝﹣1，
经检验：和都是原方程组的解，
∴P（﹣6，﹣1），Q（﹣2，﹣3），
如图，过点P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，两条平行线交于点C，
则∠C＝90°，C（﹣2，﹣1），
∴PC＝﹣2﹣（﹣6）＝4，CQ＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∴PQ＝＝＝2，
∴＝＝．

23．（8分）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．

【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，根据题意可得∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，根据勾股定理可得AE＝CE＝25（海里），由∠CBE＝30°，即可得结论；
（2）作CF⊥DB于点F，证明四边形CEBF是矩形，可得FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），根据勾股定理求出CD的长，进而可得救援船到达C点需要的最少时间．
【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，

根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，
∴AE＝CE＝25（海里），
∵∠CBE＝30°，
∴BE＝25（海里），
∴BC＝2CE＝50（海里）．
答：观测点B与C点之间的距离为50海里；
（2）如图，作CF⊥DB于点F，
∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，
∴四边形CEBF是矩形，
∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），
∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得
CD＝＝＝70（海里），
∴70÷42＝（小时）．
答：救援船到达C点需要的最少时间是小时．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分.
24．（12分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC．
（1）求证：∠ACF＝∠B；
（2）若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD•AE的值．

【分析】（1）如图1，连接OC，先根据切线的性质和同圆的半径相等，及等边对等角可得：∠ACF＝∠OCE＝∠E，从而得结论；
（2）证明△ACF∽△CBF，得BF＝8，再证明△ABD∽△AEC，列比例式可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，

∵CF是⊙O的切线，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OCA+∠ACF＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠OCA+∠OCE＝90°，
∴∠ACF＝∠OCE＝∠E，
∵∠B＝∠E，
∴∠ACF＝∠B；
（2）解：∵∠ACF＝∠B，∠F＝∠F，
∴△ACF∽△CBF，
∴＝，
∵AF＝2，CF＝4，
∴，
∴BF＝8，
∴AB＝BC＝8﹣2＝6，AC＝3，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ACE＝90°，
∵∠B＝∠E，
∴△ABD∽△AEC，
∴＝，即AE•AD＝AB×AC＝6×3＝18．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．

【分析】（1）由抛物线y＝﹣x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点，求出A，B，C坐标和△ABC三边长，用勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形即可
（2）①由B（8，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，设第一象限D（m，+m+4），则E（m，﹣m+4），可得DE+BF＝（﹣m2+2m）+（8﹣m）＝﹣（m﹣2）2+9，即可得DE+BF的最大值是9；
②由∠CAB+∠CBA＝90°，FEB+∠CBA＝90°，得∠CAB＝∠FEB＝∠DEC，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需＝或＝，而OA＝2，AG＝，用含m的代数式表示DE＝﹣m2+2m，CE＝，分情况列出方程即可得m的值，从而得到答案．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x1＝﹣2，x2＝8，
∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，AB＝10，
∴AC2＝OA2+OC2＝20，BC2＝OB2+OC2＝80，
∴AC2+BC2＝100，
而AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°；
（2）①设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（8，0），C（0，4）代入可得：，
解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，
设第一象限D（m，+m+4），则E（m，﹣m+4），
∴DE＝（+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，BF＝8﹣m，
∴DE+BF＝（﹣m2+2m）+（8﹣m）
＝﹣m2+m+8
＝﹣（m﹣2）2+9，
∴当m＝2时，DE+BF的最大值是9；
②由（1）知∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵DF⊥x轴于F，
∴∠FEB+∠CBA＝90°，
∴∠CAB＝∠FEB＝∠DEC，
∴以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需＝或＝，
而G为AC中点，A（﹣2，0），C（0，4），
∴G（﹣1，2），OA＝2，AG＝，
由①知：DE＝﹣m2+2m，E（m，﹣m+4），
∴CE＝＝，
当＝时，＝，解得m＝4或m＝0（此时D与C重合，舍去）
∴D（4，6），
当＝时，＝，解得m＝3或m＝0（舍去），
∴D（3，），
综上所述，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，则D的坐标为（4，6）或（3，）．