2021年人教版七年级下册数学期末培优专项复习：《平行线与三角板问题》及《平行线与折叠问题》（word版，含详解）

这是一份2021年人教版七年级下册数学期末培优专项复习：《平行线与三角板问题》及《平行线与折叠问题》（word版，含详解），共15页。
一．选择题
1．如图，已知直线a∥b，把三角尺的顶点放在直线b上．若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．138°B．132°C．128°D．122°
2．将一块直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A、C分别落在直线a、b上，若a∥b，∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．75°B．65°C．35°D．25°
3．如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED'＝50°，则∠EFC等于（ ）
A．65°B．110°C．115°D．130°
4．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CED＝46°，那么∠BAF的度数为（ ）
A．48°B．16°C．14°D．32°
5．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠2＝70°，则∠1的大小是（ ）
A．45°B．50°C．55°D．40°
6．如图，直线a∥b，将一块含30°角的直角三角尺按图中方式放置，其中点A和点B两点分别落在直线a和b上．若∠2＝50°，则∠1的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
7．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝34°．则∠BHQ等于（ ）
A．73°B．34°C．45°D．30°
8．将一块直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置．
下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠3＝90°；④∠4+∠5＝180°．
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
10．将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝25°，则∠ACD的度数为（ ）
A．125°B．130°C．135°D．150°
二．填空题
11．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝40°，则∠2＝ ．
12．把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若∠AOB'＝70°，则∠DGC'＝ ．
13．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝43°，则∠2＝ ．
14．将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠后，ED与BF交于G点，若∠EFG＝56°，则∠BGE的度数是 ．
15．如图，把一张对边平行的纸条沿EF按图中那样折叠，点B、C分别落在点H、G处，若∠FEH＝124°，则∠1＝ ．
16．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点M、N处，若∠EFM＝2∠BFM，则∠EFC的度数为 ．
17．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝30°，则∠2的大小为 度．
18．将一副常规直角三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，其中一个三角板的斜边与纸条一边重合．则∠1的度数是 ．
三．解答题
19．如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于点G，过点G作HG⊥EG交AD于点H．
（1）请判断HG与AE的位置关系，并说明理由．
（2）若∠CEG＝20°，请利用平行线相关知识求∠DHG的度数．
20．如图，有一条纸带ABCD，现小慧对纸带进行了下列操作：
（1）将这条上下两边互相平行的纸带折叠，设∠1为65°，则∠α的度数为 ．
（2）已知这是一条长方形纸带，点E在折线AD﹣DC上运动，点F是AB上的动点，连接EF，将纸带沿着EF折叠，使点A的对应点A'落在DC边上，若∠CA'F＝x°，请用含x的代数式来表示∠EAA'的度数： ．
21．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EF为折痕，点B落在点G处，FH平分∠EFC．
（1）如图1，若点G恰好落在FH上，求∠EFH的度数；
（2）如图2，若∠EFG＝32°，求∠GFH的度数．
22．一副常规直角三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，已知∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．
（1）若∠DCE＝50°，则∠ACB的度数为 ；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（3）若∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出∠ACE角度所有可能的值．
23．数学实践课上，小明同学将直角三角板AOB的直角顶点O放在直尺EF的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转．
（1）若三角板AOB在EF的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现∠AOE、∠BOF的大小发生了变化，但它们的和不变，即∠AOE+∠BOF＝ °．
（2）若OA、OB分别位于EF的上方和下方，如图2所示，则∠AOE、∠BOF之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由；
（3）射线OM、ON分别是∠AOE、∠BOE的角平分线，若三角板AOB始终在EF的上方，则旋转过程中，∠MON的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠1＝42°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝180°﹣42°﹣90°＝48°，
∵a∥b，
∴∠2＝180°﹣∠3＝132°．
故选：B．
2．解：如图，
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝65°，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣65°＝25°．
故选：D．
3．解：∵∠AED′＝50°，
∴∠DED′＝180°﹣∠AED′＝180°﹣50°＝130°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，
∴∠DEF＝∠D′EF，
∴∠DEF＝∠DED′＝×130°＝65°．
∵DE∥CF，
∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝115°．
故选：C．
4．解：∵DE∥AF，
∴∠CED＝∠EAF＝46°，
∵∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAF＝∠BAC﹣∠EAF＝60°﹣46°＝14°，
故选：C．
5．解：由题意得，∠4＝60°，
∵∠2＝70°，AB∥CD，
∴∠3＝∠2＝70°，
∴∠1＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
故选：B．
6．解：∵直线a∥b，∠2＝50°，
∴∠1+90°+∠2+30°＝180°，即∠1+90°+50°+30°＝180°，
解得∠1＝10°．
故选：A．
7．解：∵∠AGE＝34°，
∴∠DGE＝146°，
由折叠可得，∠DGH＝∠EGH＝∠DGE＝73°，
∵AD∥BC，
∴∠BHG＝∠DGH＝73°，
∵EG∥QH，
∴∠QHG＝180°﹣∠EGH＝107°，
∴∠BHQ＝∠QHG﹣∠BHG＝107°﹣73°＝34°．
故选：B．
8．解：∵纸条的两边互相平行，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4+∠5＝180°，故①，②，④正确；
∵三角板是直角三角板，
∴∠2+∠4＝180°﹣90°＝90°，
∵∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝90°，故③正确．
综上所述，正确的个数是4．
故选：D．
9．解：如图所示：
∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，
∴ED∥FA，∠EBC＝∠CBA，
∴∠EBC＝∠ACB，∠CAB＝∠DBA＝30°，
∵∠EBC+∠CBA+∠ABD＝180°，
∴∠ACB+∠ACB+30°＝180°，
∴∠ACB＝75°，
故选：D．
10．解：延长DC至E，
由题意可得：∠ABC＝∠BCE＝∠BCA＝25°，
则∠ACD＝180°﹣25°﹣25°＝130°．
故选：B．
二．填空题
11．解：如图，
由题意得，∠3＝60°，
∵∠1＝40°，
∴∠4＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠2＝80°，
故答案为：80°．
12．解：由翻折性质得，∠BOG＝∠B′OG，∠CGO＝∠C′GO，
∵∠AOB′+∠BOG+∠B′OG＝180°，∠AOB'＝70°，
∴∠BOG＝∠B′OG＝（180°﹣∠AOB′）＝×（180°﹣70°）＝55°．
∵AB∥CD，
∴∠DGO＝∠BOG＝55°，
∴∠CGO＝180°﹣∠DGO＝180°﹣55°＝125°，
∴∠C′GO＝125°，
∴∠DGC′＝∠C'GO﹣∠DGO＝125°﹣55°＝70°，
故答案为：70°．
13．解：如图，过点E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，
∴∠2＝∠3，∠1＝∠4，
∵∠1＝43°，
∴∠4＝43°，
∵∠M＝30°，
∴∠MEN＝∠3+∠4＝90°﹣∠M＝60°，
∴∠2＝∠3＝17°，
故答案为：17°．
14．解：根据翻折的性质，得：∠DEF＝∠GEF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG，∠BGE＝∠DEG，
∵∠EFG＝56°，
∴∠BGE＝2∠DEF＝2∠EFG＝112°．
故答案为：112°．
15．解：∵EH∥FG，
∴∠EFG＝180°﹣∠FEH＝180°﹣124°＝56°，
由翻折的性质得：∠EFG＝∠EFC，
∴∠CFG＝∠EFG+∠EFC＝112°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝180°﹣∠CFG＝180°﹣112°＝68°，
故答案为：68°．
16．解：由折叠得：∠EFM＝∠EFC，
∵∠EFM＝2∠BFM，
∴设∠EFM＝∠EFC＝x，则有∠BFM＝x，
∵∠MFB+∠MFE+∠EFC＝180°，
∴x+x+x＝180°，
解得：x＝72°，
则∠EFC＝72°．
故答案为：72°．
17．解：如图，延长FA，由折叠的性质，可得∠3＝∠1＝30°，
∴∠4＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵CD∥BE，BE∥AF，
∴∠ACD＝∠4＝120°，
又∵AC∥BD，
∴∠2＝180°﹣∠ACD＝180°﹣120°＝60°．
故答案为：60．
18．解：由题意可得∠3＝45°，∠1+∠2＝90°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝45°，
∴∠1＝90°﹣∠2＝45°．
故答案为：45°．
三．解答题
19．解：（1）平行，理由如下：
∵长方形沿AE折叠，
∴∠AEB＝∠AEF，
∵EG平分∠CEF交CD于点G，
∴∠FEG＝∠CEG，
∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°，
∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°，
∴AE⊥EG，
∵HG⊥ED，
∴HG∥AE；
（2）∵∠CEG＝20°，
∴∠AEB＝70°，
∵长方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝70°，
∵HG∥AE，
∴∠DHG＝∠DAE＝70°．
20．（1）如图②﹣1中，
由翻折的性质可知，∠3＝∠4，
∵CD∥AB，
∴∠α＝∠3，
∴∠α＝∠4，
∵∠1＝∠2＝65°，
∴∠α＝（180°﹣65°）＝57.5°．
（2）如图③﹣1中，
由翻折可知，EA＝EA′，∠EA′F＝∠DAB＝90°，
∴∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠DEA′＝∠EAA′+∠EA′A＝2∠EAA′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵∠DEA′+∠DA′E＝90°，∠DA′E+∠CA′F＝90°，
∴∠DEA′＝∠CA′F，
∴∠CA′F＝2∠DAA′．
∴∠EAA′＝∠CA′F＝x．
如图③﹣2中，
由翻折可知，EA＝EA′，FA＝FA′，
∴∠EAA′＝∠EA′A，∠FAA′＝∠FA′A，
∵AB∥CD，
∴∠EA′A＝∠FAA′，
∴∠EAA′＝∠AA′F，
∴∠EA′F＝2∠EAA′，
∵∠CA′F+∠EA′F＝180°，
∴2∠EAA′＝180°﹣x，
∴∠EAA′＝90°﹣x．
21．解：（1）由折叠可知∠BFE＝∠EFG，
∵FH平分∠EFC，
∴∠EFH＝∠HFC，
∴∠BFE＝∠EFH＝∠HFC，
∵∠BFE+∠EFH+∠HFC＝180°，
∴∠EFH＝60°；
（2）由折叠可知∠BFE＝∠EFG，
∵∠EFG＝32°，
∴∠BFE＝32°，∠EFC＝180°﹣32°＝148°，
∵FH平分∠EFC，
∴∠EFH＝∠HFC＝∠EFC＝74°，
∴∠GFH＝∠EFH﹣∠EFG＝74°﹣32°＝42°．
22．解：∵ACD＝∠BCE＝90°，∠DCE＝50°
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝90°+90°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
（2）∠ACB与∠DCE互补．理由如下：
由（1）可得∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝180°﹣∠DCE．
∴∠ACB+∠DCE＝180°．
（3）当BE∥AC时，
∠ACE＝∠E＝45°，
当BC∥AD时，∠BCD＝∠D＝30°，
∵∠ACE+∠ECD＝90°，∠BCD+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝30°．
∴∠ACE＝45°或30°．
23．解：（1）∵∠AOE+∠AOB+∠BOF＝180°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°；
故答案为90；
（2）∠AOE﹣∠BOF＝90°，
理由如下：∵∠AOE+∠AOF＝180°，∠AOF+∠BOF＝90°，
∴∠AOE﹣∠BOF＝90°；
（3）∠MON的度数是一个定值，
理由如下：∵射线OM、ON分别是∠AOE、∠BOE的角平分线，
∴∠EOM＝∠AOE，∠EON＝∠BOE＝（∠AOE+∠AOB）＝∠AOE+45°，
∴∠MON＝∠EON﹣∠EOM＝45°．