河南省2020年中考数学模拟试卷（三）（解析版） (2)

这是一份河南省2020年中考数学模拟试卷（三）（解析版） (2)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年河南省中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中是负数的是（　　）
A．|﹣3| B．﹣3 C．﹣（﹣3） D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝a6 B．a2+a3＝a5
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣2a3）2＝﹣4a6
3．（3分）智能手机的芯片都是采用光刻技术制作出来的半导体集成电路，随着科技的迅猛发展，纳米芯片的特征尺寸已达到10 nm（1 m＝109 nm），那么10 nm用科学记数法表示为（　　）m．
A．1.0×10﹣7 B．1.0×10﹣8 C．1.0×10﹣9 D．1.0×10﹣10
4．（3分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（　　）

A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
5．（3分）下列等式是四位同学解方程﹣1＝过程中去分母的一步，其中正确的是（　　）
A．x﹣1＝2x B．x﹣1＝﹣2x C．x﹣x﹣1＝﹣2x D．x﹣x+1＝﹣2x
6．（3分）如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝150°，则∠C的度数是（　　）

A．100° B．120° C．130° D．150°
7．（3分）九年级一班数学老师对全班学生在模拟考试中A卷成绩进行统计后，制成如下的统计表：
成绩（分）
80
82
84
86
87
90
人数
8
12
9
3
5
8
则该班学生A卷成绩的众数和中位数分别是（　　）
A．82分，82分 B．82分，83分 C．80分，82分 D．82分，84分
8．（3分）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2＝0的一个根是﹣2，则另一个根是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
9．（3分）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（　　）

A．6π﹣ B．6π﹣9 C．12π﹣ D．
10．（3分）如图所示，把多块大小不同的30°角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与x轴重合且点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交x轴于点B1，第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交y轴于点B2，第四块三角板斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交x轴于点B3．按此规律继续下去，则线段OB2020的长为（　　）

A．2×（）2020 B．2×（）2021 C．（）2020 D．（）2021
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）计算：|﹣2|﹣＝　 　．
12．（3分）如图，已知△ABC的周长为13，根据图中尺规作图的痕迹，直线分别与BC，AC交于D，E两点，若AE＝2，则△ABD的周长为　 　．

13．（3分）为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是　 　．
14．（3分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，直线l⊥AB．当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E，F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示，则四边形ABCD的周长是　 　．

15．（3分）菱形ABCD的边长是4，∠ABC＝120°，点M，N分别在边AD，AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△AˊMN，若△AˊDC恰为等腰三角形，则AP的长为　 　．

三、解答题（共75分）
16．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
17．（9分）为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛．从中抽取了部分学生成绩（得分数取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计频数分布直方图（未完成）和扇形图如下，请解答下列问题：
（1）A组的频数a比B组的频数b小24，样本容量　 　，a为　 　：
（2）n为　 　°，E组所占比例为　 　%：
（3）补全频数分布直方图；
（4）若成绩在80分以上优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀学生有　 　名．

18．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点P，过A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D，连接PA，PB．
（1）求证：AP平分∠CAB；
（2）若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则
①当弦AP的长是　 　时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；
②当的长度是　 　时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形．

19．（9分）如图，已知斜坡AB长60 m，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请将下面2小题的结果都精确到0.1 m，参考数据：≈1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为　 　m；
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27 m远（即AG＝27 m），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？

20．（9分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反比例函数y＝（x＞0）的函数图象经过点D，点P是一次函数y＝kx+3﹣3k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算，说明一次函数y＝kx+3﹣3k（k≠0）的图象一定过点C；
（3）对于一次函数y＝kx+3﹣3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围（不必写出过程）．

21．（10分）在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）．现有两种购买方案：
方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；（总费用＝广告赞助费+门票费）
方案二：购买门票方式如图所示．解答下列问题：
（1）方案一中，y与x的函数关系式为　 　；方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为　 　；当x＞100时，y与x的函数关系式为　 　；
（2）如果购买本场足球赛超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由；
（3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？

22．（10分）已知△ABC是等边三角形，点P是平面内一点，且四边形PBCD为平行四边形，将线段CD绕点C逆时针旋转60°，得到线段CF．
（1）如图1，当P为AC的中点时，求证：FC⊥PD；
（2）如图2，当P为△ABC内任一点时，连接PA，PF，AF试判断△PAF的形状，并证明你的结论；
（3）当B，P，F三点共线且AB＝，PB＝3时，求PA的长．
23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．
（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．


2020年河南省洛阳市中考数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．【分析】根据负数的定义可得B为答案．
【解答】解：﹣3的绝对值＝3＞0；
﹣3＜0；
﹣（﹣3）＝3＞0；
＞0．
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝a6 B．a2+a3＝a5
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣2a3）2＝﹣4a6
【分析】根据幂的乘方的运算法则，合并同类项的法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方的运算法则计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A.（﹣a3）2＝a6，原计算正确，故此选项符合题意；
B.a2与a3不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D.（﹣2a3）2＝4a6，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
3．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：10 nm用科学记数法表示为1.0×10﹣8 m．
故选：B．
4．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看是一个田字，
“田”字是中心对称图形，
故选：C．
5．【分析】两边都乘以x﹣1，再去括号可得答案．
【解答】解：两边都乘以x﹣1，得：x﹣（x﹣1）＝﹣2x，即x﹣x+1＝﹣2x，
故选：D．
6．【分析】求出∠CDB，根据平行线的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ABC，再根据平行线的性质求出即可．
【解答】解：∵∠CDE＝150°，
∴∠CDB＝180°﹣150°＝30°，
∵DC∥AB，
∴∠ABD＝∠CDB＝30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∴∠C＝120°，
故选：B．
7．【分析】根据中位数与众数的定义进行解答即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列，则该班学生成绩的中位数是84；
82出现了12次，出现的次数最多，则众数是82；
故选：D．
8．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2＝来求方程的另一个根．
【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2＝0的两个根，
由韦达定理，得x1•x2＝2，即﹣2x2＝2，
解得，x2＝﹣1．
即方程的另一个根是﹣1．
故选：C．
9．【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC＝OC，则OD＝2OC＝6，CD＝3，从而得到∠CDO＝30°，∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD，线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD，进行计算即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，
∴OD＝2OC＝6，
∴CD＝＝3，
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD，线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝﹣•3•3＝6π﹣，
∴阴影部分的面积为6π﹣．
故选：A．

10．【分析】根据题意和图象可以发现题目中的变化规律：OB＝2×，OB1＝2×（）2，OB2＝2×（）3，……，从而可以推算出OB2020的长．
【解答】解：由题意可得，
∵OB＝OA•tan60°＝2×＝2，
∴B（0，2），
∵OB1＝OB•tan60°＝2×＝2×（）2，
∴B1（﹣2×（）2，0），
∵OB2＝OB1•tan60°＝2×（）3，
∴B2（0，﹣2×（）3），
∵OB3＝OB2•tan60°＝2×（）4，
∴B3（2×（）4，0），
……
∴线段OB2020的长为2×（）2021．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．【分析】根据绝对值和立方根的定义计算即可．
【解答】解：|﹣2|﹣＝2﹣3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．【分析】根据线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．
【解答】解：由作图可知，DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，AE＝EC，
∵AB+BC+AC＝13，AC＝2AE＝4，
∴AB+BC＝9，
∴△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝9，
故答案为9．
13．【分析】将三个小区分别记为A，B，C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：将三个小区分别记为A，B，C，
列表如下：

A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，
所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为＝．
故答案为：．
14．【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到AB，BC，AD的长，再根据平行线的性质和图形中的数据可以得到CD的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．
【解答】解：∵∠B＝30°，直线l⊥AB，
∴BE＝2EF，
由图可得，
AB＝4cos30°＝4×＝2，
BC＝5，
AD＝7﹣4＝3，
由图象可得，
AN＝5﹣4＝1，ND＝CM＝7﹣5＝2，DM＝2，
∵∠B＝30°，EF⊥AB，
∴∠M＝60°，
又∵DM＝MC＝2，
∴△DMC是等边三角形，
∴DC＝DM＝2，
∴四边形ABCD的周长是：AB+BC+AD+CD＝2+5+3+2＝10+2，
故答案为：10+2．

15．【分析】△A'DC恰为等腰三角形，分两种情况进行讨论：当A'D＝A'C时，当CD＝CA'＝4时，分别通过解直角三角形，求得AA'的长，即可得到AP的长．
【解答】解：①如图，当A'D＝A'C时，∠A'DC＝∠A'CD＝30°，

∴∠AA'D＝60°，
又∵∠CAD＝30°，
∴∠ADA'＝90°，
∴Rt△ADA'中，AA'＝＝＝，
由折叠可得，AP＝AA'＝；
②如图，当CD＝CA'＝4时，连接BD交AC于O，则

Rt△COD中，CO＝CD×cos30°＝4×＝2，
∴AC＝4，
∴AA'＝AC﹣A'C＝4﹣4，
由折叠可得，AP＝AA'＝2﹣2；
故答案为：或2﹣2．
三、解答题（共75分）
16． 【分析】首先化简（﹣）÷，然后根据x的值从不等式组的整数解中选取，求出x的值是多少，再把求出的x的值代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（﹣）÷
＝÷
＝
解不等式组，
可得：﹣2＜x≤2，
∴x＝﹣1，0，1，2，
∵x＝﹣1，0，1时，分式无意义，
∴x＝2，
∴原式＝＝﹣．
17．【分析】（1）由于A组的频数比B组小24，而A组的频率比B组小12%，则可计算出调查的总人数，然后计算a和b的值；
（2）用360度乘以D组的频率可得到n的值，根据百分比之和为1可得E组百分比；
（3）计算出C和E组的频数后补全频数分布直方图；
（4）利用样本估计总体，用2000乘以D组和E组的频率和即可．
【解答】解：（1）调查的总人数为24÷（20%﹣8%）＝200，
所以a＝200×8%＝16，b＝200×20%＝40，
故答案为：200，16；
（2）D部分所对的圆心角＝360°×＝126°，即n＝126，
E组所占比例为1﹣（8%+20%+25%+×100%）＝12%，
故答案为126，12；
（3）C组的频数为200×25%＝50，E组的频数为200﹣16﹣40﹣50﹣70＝24，
补全频数分布直方图为：


（4）2000×＝940，
所以估计成绩优秀的学生有940人．
18．【分析】（1）利用切线的性质得OP⊥PC，再证明AC∥OP得到∠1＝∠3，加上∠2＝∠3，所以∠1＝∠2；
（2）①当∠AOP＝90°，根据正方形的判定方法得到四边形AOPC为正方形，从而得到AP＝2；
②根据菱形的判定方法，当AD＝AP＝OP＝OD时，四边形ADOP为菱形，所以△AOP和△AOD为等边三角形，然后根据弧长公式计算的长度．当AD＝DP＝PO＝OA时，四边形ADPO为菱形，△AOD和△DOP为等边三角形，则∠AOP＝120°，根据弧长公式计算的长度．
【解答】（1）证明：∵PC切⊙O于点P，
∴OP⊥PC，
∵AC⊥PC，
∴AC∥OP，
∴∠1＝∠3，
∵OP＝OA，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AP平分∠CAB；
（2）解：①当∠AOP＝90°，四边形AOPC为矩形，而OA＝OP，此时矩形AOPC为正方形，AP＝OP＝2；
②当AD＝AP＝OP＝OD时，四边形ADOP为菱形，△AOP和△AOD为等边三角形，则∠AOP＝60°，的长度＝＝π．
当AD＝DP＝PO＝OA时，四边形ADPO为菱形，△AOD和△DOP为等边三角形，则∠AOP＝120°，的长度＝＝π．
故答案为2，π或π．

19．【分析】（1）根据题意得出，∠BEF最大为45°，当∠BEF＝45°时，EF最短，此时ED最长，进而得出EF的长，即可得出答案；
（2）利用在Rt△DPA中，DP＝AD，以及PA＝AD•cos30°进而得出DM的长，利用HM＝DM•tan30°得出即可．
【解答】解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，
∴∠BEF最大为45°，
当∠BEF＝45°时，EF最短，此时ED最长，
∵∠DAC＝∠BDF＝30°，AD＝BD＝30，
∴BF＝EF＝BD＝15，
DF＝15，
故：DE＝DF﹣EF＝15（﹣1）≈10.9（m）；
若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为10.9 m；

（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．
在Rt△DPA中，DP＝AD＝×30＝15，
PA＝AD•cos30°＝×30＝15．
在矩形DPGM中，MG＝DP＝15，DM＝PG＝15+27，
在Rt△DMH中，
HM＝DM•tan30°＝×（15+27）＝15+9．
GH＝HM+MG＝15+15+9≈45.6．
答：建筑物GH高约为45.6 m．

20．【分析】（1）由B（3，1），C（3，3）得到BC⊥x轴，BC＝2，根据平行四边形的性质得AD＝BC＝2，而A点坐标为（1，0），可得到点D的坐标为（1，2），然后把D（1，2）代入y＝即可得到m＝2，从而可确定反比例函数的解析式；
（2）把x＝3代入y＝kx+3﹣3k（k≠0）得到y＝3，即可说明一次函数y＝kx+3﹣3k（k≠0）的图象一定过点C；
（3）设点P的横坐标为a，由于一次函数y＝kx+3﹣3k（k≠0）过C点，并且y随x的增大而增大时，则P点的纵坐标要小于3，横坐标要小于3，当纵坐标小于3时，由y＝得到a＞，于是得到a的取值范围．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵B（3，1），C（3，3），
∴BC⊥x轴，AD＝BC＝2，
而A点坐标为（1，0），
∴点D的坐标为（1，2）．
∵反比例函数y＝（x＞0）的函数图象经过点D（1，2），
∴2＝
∴m＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）当x＝3时，y＝kx+3﹣3k＝3k+3﹣3k＝3，
∴一次函数y＝kx+3﹣3k（k≠0）的图象一定过点C；

（3）设点P的横坐标为a，
则a的范围为＜a＜3．
21．【分析】（1）依题意可得y与x的函数关系式y＝60x+10000；本题考查了分段函数的有关知识（0≤x≤100；x＞100）；
（2）设60x+10000＞80x+2000，可用方案二买；当60x+1000＝80x+2000时，两种方案均可选择；当60x+1000＜80x+200时，可选择方案一；
（3）设甲、乙单位购买本次足球赛门票数分别为a张，b张，分别可采用方案一或方案二购买．
【解答】解：（1）方案一：y＝60x+10000；当0≤x≤100时，y＝100x；当x＞100时，y＝80x+2000；

（2）因为方案一y与x的函数关系式为y＝60x+10000，∵x＞100，方案二的y与x的函数关系式为y＝80x+2000；
当60x+10000＞80x+2000时，即x＜400时，选方案二进行购买，当60x+10000＝80x+2000时，即x＝400时，两种方案都可以，当60x+10000＜80x+2000时，即x＞400时，选方案一进行购买；
（3）设甲、乙单位购买本次足球赛门票数分别为a张，b张；
∵甲、乙单位分别采用方案一和方案二购买本次足球比赛门票，
∴乙公司购买本次足球赛门票有两种情况：0＜b≤100或b＞100．
当b≤100时，乙公司购买本次足球赛门票费为100b，
解得不符合题意，舍去；
当b＞100时，乙公司购买本次足球赛门票费为80b+2000，
解得符合题意．
答：甲、乙单位购买本次足球赛门票分别为500张，200张．
22．【分析】（1）如图1，由等边三角形和平行四边形的性质求得∠FCD+∠D＝90°，易得FC⊥PD．
（2）△PAF是等边三角形．如图2，连接PA，PF，延长BC，构造全等三角形：△ABP≌△ACF（SAS），由该全等三角形的对应边相等、对应角相等以及等边三角形的判定定理证得结论；
（3）需要分类讨论：当点P在线段BF上和当点P落在线段FB的延长线上两种情况，通过作辅助线，构造直角三角形，结合勾股定理求得线段PA的长度．
【解答】（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，且P为AC的中点，
∴∠PBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵四边形PBCD为平行四边形，
∴∠D＝∠PBC＝30°．
∵∠FCD＝60°
∴∠FCD+∠D＝90°，
∴FC⊥PD．

（2）△PAF是等边三角形，理由如下：
如图2，延长BC，
证明∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∠2＝60°﹣∠1，
∠4＝180°﹣60°﹣60°﹣∠3＝60°﹣∠3．
∵四边形PACD是平行四边形，
∴PB∥CD，PB＝CD＝FC．
∴∠1＝∠3．
∴∠2＝∠4．
又AB＝AC，PB＝FC，
∴△ABP≌△ACF（SAS）．
∴AP＝AF，∠BAP＝∠CAF．
∵∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAC+∠CAF＝∠PAF＝60°，
∴△PAF是等边三角形．

（3）①当点P在线段BF上时，如图3，
过A作AE⊥BF于E，由（2）可得∠APF＝60°，
设PE＝x，则AE＝x，
于是得：（x+3）2+32＝19，
x1＝1，x2＝﹣（不合题意，故舍去）
∴PA＝2x＝2．
②当点P落在线段FB的延长线上时，
如图4，过B作BE⊥PA于E，则
在Rt△PBE中，PB＝3，由（2）可得∠BPE＝60°，
∴∠PBE＝30°．
∴PE＝，BE＝．
在Rt△ABE中，AB＝，BE＝．
∴AE＝＝，
∴PA＝PE+AE＝5．
由于P点不可能线段BF的延长线上，所以，综上所述，PA的长为2或5．




23．【分析】（1）将A，B两点代入可求解析式．
（2）分类讨论，以AB为边的菱形和以AB为对角线的菱形，抓住菱形边长为4和E的横坐标为3，可解F点坐标，即可求点F到二次函数图象的垂直距离．
（3）构造三角形，根据两点之间线段最短，可得最短距离为AN，根据勾股定理求AN．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），
∴0＝a+b+
0＝25a+5b+
∴a＝，b＝﹣3
∴解析式y＝x2﹣3x+
（2）当y＝0，则0＝x2﹣3x+
∴x1＝5，x2＝1
∴A（1，0），B（5，0）
∴对称轴直线x＝3，顶点坐标（3，﹣2），AB＝4
∵抛物线与y轴相交于点C．
∴C（0，）
如图1

①如AB为菱形的边，则EF∥AB，EF＝AB＝4，且E的横坐标为3
∴F的横坐标为7或﹣1
∵AE＝AB＝4，AM＝2，EM⊥AB
∴EM＝2
∴F（7，2），或（﹣1，2）
∴当x＝7，y＝×49﹣7×3+＝6
∴点F到二次函数图象的垂直距离6﹣2
②如AB为对角线，如图2

∵AEBF是菱形，AF＝BF＝4
∴AB⊥EF，EM＝MF＝2
∴F（3，﹣2）
∴点F到二次函数图象的垂直距离﹣2+2
（3）当F（3，﹣2）时，点F到二次函数图象的垂直距离最小
如图3，以BQ为边作等边三角形BQD，将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置，连接AN，作PN⊥AB于P


∵等边三角形BQD
∴QD＝QB＝BD，
∵将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置
∴NB＝BF＝4，∠FBN＝60°，DN＝FQ
∵AQ+BQ+FQ＝AQ+QD+DN
∴当AQ，QD，DN共线时AQ+BQ+FQ的和最短，即最短值为AN的长．
∵AF＝BF＝4＝AB，
∴∠ABF＝60°
∴∠NBP＝60°且BN＝4，
∴BP＝2，PN＝2
∴AP＝6
在Rt△ANP中，AN＝＝4
∴AQ+BQ+FQ的和最短值为4．