解答题压轴题训练（四）（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用）

这是一份解答题压轴题训练（四）（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用），共23页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。
（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。
对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。
①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。
②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。
③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。
一、解答题
1．甲、乙两车分别从，两地同时出发，甲车匀速前往地，到达地后以另一速度返回地；乙车匀速前往地．甲、乙两车距地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示．
（1）求甲车到达所用的时间；
（2）求乙车距地的路程（千米）与时间（小时）的函数表达式；
（3）求乙车到达地时，甲车与地之间的距离．
【答案】（1）2.5小时；（2）；（3）175km．
【分析】
（1）用待定系数法求甲车去B地的解析式，再代入300即可；
（2）用待定系数法即可求解析式；
（3）先求出乙车到达地的时间，再代入甲返回时的解析式．
【详解】
解：（1）设甲车从A地到B地的函数解析式为：，
把（1.5,180）代入得，，
解得，，
甲车从A地到B地的函数解析式为：，
把y=300代入得，
，
解得，，
答：甲车到达用了2.5小时．
（2）设乙车距地的路程（千米）与时间（小时）的函数表达式为：，
把（0,300），（1.5,180）代入得，
，
解得，，
∴；
（3）把y=0代入得，
，
解得，，
设甲车返回时的函数表达式为：，
把（2.5,300），（5.5,0）代入得，
，
解得，，
∴，
把代入得，
，
乙车到达地时，甲车与地之间的距离为175 km；
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解题关键是读懂图象，能利用待定系数法求解析式和利用解析式解决问题．
2．若b=+-a+10．
（1）求ab及a+b的值；
（2）若a、b满足x，试求x的值．
【答案】（1）10；（2）±2．
【分析】
（1）已知已经给出了关于b的关系式，只需按照要求进行计算即可．（2）先对
进行化简，然后利用（1）的结论，即可完成解答
【详解】
解：（1）∵b=+-a+10，
∴ab=10，b=-a+10，
则a+b=10；
（2）∵a、b满足x，
∴x2=，
∴x2===8，
∴x=±2．
【点睛】
本题第一问比较简单，第二问略难，第二问的解答关键在于将x化简成为含有ab和a+b的形式
3．如图，在中，，，动点从点C出发，按的路径运动，且速度为，设运动时间为．
（1）求的面积；
（2）求边上的高的长；
（3）当为何值时，的面积为；
（4）当点P在边上运动时，若是等腰三角形，请求出满足条件的的值．
【答案】（1）；（2）；（3）当为4.5s或5.6s时，的面积为；（4）满足条件的t的值为6.2s或或．
【分析】
（1）作AH⊥BC于H，利用三线合一可求得BH，再利用勾股定理求得AH，即可求得三角形面积；
（2）利用等面积法即可求得BD的长度；
（3）根据同高的三角形面积之比等于底之比，再分类讨论即可求得t的值；
（4）分当CD=CP时，当PD=PC时，当DP=DC时，三种情况讨论求得t的值．
【详解】
（1）解：如图中，作AH⊥BC于H．
∵AB=AC，
∴cm，
∴cm，
∴；
（2）∵，
∴cm；
（3）∵的面积为，，
∴，
当P在AC上时，A、P、C不构成三角形；
当P在AB上时，cm，
此时；
当P在BC上时，，
，
故当为4.5s或5.6s时，的面积为；
（4）当点P在BC上时，，
，
①如图，当CD=CP时，
∵CD=5-1.4=3.6cm，
∴16-2t=3.6，
∴t=6.2s；
②如图，当PD=PC时，
∵PD=PC，
∴∠C=∠PDC，
∵∠C+∠CBD=90°，∠PDC+∠PDB=90°，
∴∠PBD=∠PDB，
∴PB=PD，
∴PC=PB=3，
∴16-2t=3，
∴；
③如图，当DP=DC时，过点D作DH⊥BC于H．
∵DP=DC，DH⊥PC，
∴PH=CH=8-t，
∵cm，
∴cm，
∴，解得．
综上所述，满足条件的t的值为6.2s或或．
【点睛】
本题考查勾股定理，等腰三角形的性质．掌握等面积法和分类讨论思想是解题关键．
4．已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的重合，连接AN、CM，E是AN的中点，连接BE．

（观察猜想）
（1）CM与BE的数量关系是________；CM与BE的位置关系是________；
（探究证明）
（2）如图2所示，把三角板BMN绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段CM与BE的关系是否仍然成立，并说明理由；
（拓展延伸）
（3）若旋转角，且，求的值．
【答案】（1）；；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】
（1）【观察猜想】根据正方形ABCD，得到AB=CB，由等腰三角形BMN，得到BM=BN，可证明Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，又根据E是AN的中点，即可证明CM=2BE，根据等边对等角得到∠ABE=∠BCM，∠ABE+∠BMC=90∘即可证明CM⊥BE．
（2）【探究证明】延长BE至F使EF= BE，连接AF，先证明△AEF≌△NEB，再证明△FAB≌MBC，得到CM=BF=2BE，∠BCM=∠ABF，得到∠ABF+∠FBC=90°，进而求得∠BCM+∠EBC=90°，即可证明EB⊥CM；
（3）[拓展延伸] 由a=45°得到∠ABE= 15°，由前面可得∠BMC= 30°，过C作CG⊥MB于G，设CG为m，则BC=m，MG=m，所以MB= BN=m-m，最后求得的值．
【详解】
解:【观察猜想】(1)CM =2BE ；CM⊥BE；如图1所示
图1
∵正方形ABCD，
∴AB=CB，
∵等腰三角形BMN，
∴BM=BN，
∴Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，
∴∠BAN=∠BCM，
又∵E是AN的中点，
∴BE=AE=NE=AN，
∴CM=2BE，
∵BE=AE，
∴∠BAN=∠ABE，
∴∠ABE=∠BCM，
∴∠ABE+∠BMC=∠BCM+∠BMC=90∘
∴∠BPM=90∘
∴CM⊥BE．
【探究证明】
(2)CM = 2BE，CM ⊥ BE仍然成立．
如图2所示，延长BE至F使EF= BE，连接AF，
∵AE= EN，∠AEF=∠NEB，EF= BE，
∴△AEF≌△NEB
∴AF= BN，∠F=∠EBN，
∴AF//BN，AF= BM，
∴∠FAB+∠ABN = 180°，
∵ ∠MBN= ∠ABC= 90°，
∴∠NBC+∠ABN= 90°，
∴∠NBA+∠FAD= 90°，
∴∠CBN= ∠FAD
∴∠FAB=∠MBC，
∵AB=BC，
∴△FAB≌MBC，
∴CM=BF=2BE，∠BCM=∠ABF，
∵∠ABF+∠FBC=90°
∴∠BCM+∠EBC=90°，
∴EB⊥CM；
[拓展延伸] (3)由a=45°得 ∠MBA=∠ABN= 45°，
∵∠NBE= 2∠ABE，
∴ ∠ABE= 15°，
由前面可得∠MCB=∠ABE= 15°，∠MBC= 135°，
∴∠BMC= 180°-15°-135°=30°，
如图3所示，过C作CG⊥MB于G，
图3
设CG为m
则BC=m，MG=m ，所以MB= BN=m-m，
∴．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用以上性质解决问题．
5．（1）[问题发现]如图1，和均为等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接．
容易发现：的度数为__________，线段、之间的数量关系为__________；
（2）[类比探究]如图2，和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一直线上，连接，试判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）[问题解决]如图3，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x、y轴于点A、B，将一只含的直角三角尺置于直线右侧，斜边恰好与线段重合，请直接写出直角顶点C到原点O的距离．
【答案】（1），；（2），，见解析；（3）
【分析】
（1）由等边三角形的性质证明，即可得到，，就能证明结论；
（2）同（1）证明，即可证明结论，；
（3）过点C作x轴的垂线，交x轴于点M，过点B作于点N，证明，再根据函数解析式求出点A和点B坐标，得到线段长，设，由三角形全等得到的，，列式求出x的值即可求出OC的长．
【详解】
解：（1）∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案是：，；
（2），，
∵，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，过点C作x轴的垂线，交x轴于点M，过点B作于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
令，则，∴，
令，则，∴，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，解得，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，一次函数与几何问题的综合题，解题的关键是构造全等三角形，利用全等三角形的性质和判定解决函数中的图象问题．
6．先观察下列等式，再回答问题：
① =1+1=2；
②=2+ =2 ；
③=3+=3；…
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n（n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析．
【分析】
（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，即可猜想出第四个等式为44；
（2）根据等式的变化，找出变化规律“n”，再利用开方即可证出结论成立．
【详解】
（1）∵①1+1=2；②22；③33；里面的数字分别为1、2、3，
∴④ ．
（2）观察，发现规律：1+1=2，223344，…，∴ ．
证明：等式左边=n右边．
故n成立．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律“n”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．
7．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A在x轴正半轴上，B在x轴负半轴上，C在y 轴正半轴上，且BO:AO:CO=2:3:4；
(1)证明：△ABC是等腰三角形；
(2)已知=40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t(秒)
①求A、B、C的坐标；
②若△OMN的边与BC平行，求t的值；
③若点D是边AC的中点，在点M运动的过程中，△MOD能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)①A(6，0)，B(-4，0)，C(0，8)；②△OMN的边与BC平行时，t的值为5或6秒；③符合要求的t值为9或10或秒．
【分析】
(1)设BO=，AO=，CO=，由勾股定理即可得到结论；
(2)①由△ABC的面积公式求出BO，AO，CO的长，即可求解；
②分MN∥BC和ON∥BC两种情况讨论，得到方程即可求解；
③当点M在OA上，即时，△MOD为等腰三角形，有三种可能，即OD=MO，OD=MD，MO=MD分别列出方程，即可求解．
【详解】
(1)设BO=，AO=，CO=，
是AB=，
在Rt△AOC中，AC=，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)①(cm2)，而，
∴，
∴BO=，AO=，CO=，AB=AC=，
∴A(6，0)，B(-4，0)，C(0，8)；
②由题意：BM=，AN=，AM=，
当MN∥BC时，
∴AM=AN，即=，
解得：=5，
当ON∥BC时，
∴AO=AN，即=，
∴=6，
∴△OMN的边与BC平行时，t的值为5或6秒；
③∵点D是边AC的中点，且∠AOC=90，
∴OD=AB=5cm，
当点M在BO上，即时，△MOD为钝角三角形，但OMOD；
当时，点M运动到点O，不构成三角形；
当点M在OA上，即时，△MOD为等腰三角形，有三种可能：
如果OD=MO，则，
∴=9；
如果OD=MD=5，则点M运动到点A，
∴=10；
如果MO=MD=，
作DN⊥BA于N，
∵点D是边AC的中点，且∠AOC=90，
∴DN是△AOC的中位线，
∴DN=OC=4cm，ON=OA=3cm，
∴MN=，
在Rt△DNM中，
则，
∴=；
综上，符合要求的t值为9或10或秒．
【点睛】
本题考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解方程等知识，本题有一定的难度，需要分类讨论才能得出结论．
8．如图1，在矩形中，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为．
（1）若，
①如图2，当点落在时，显然是直角三角形，求此时的值；
②是否存在异于图2的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的的值？若不存在，请说明理由；
（2）当点不与点重合时，若直线与直线相交于点，且当时存在某一时刻有结论成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”是否总是成立？请说明理由．
【答案】（1）①；②存在，t=2或6或；（2）成立，理由见解析
【分析】
（1）①利用勾股定理求出，根据对称的性质得到AB′和B′P，从而得到B′C和PC，在△CB′P中利用勾股定理列出方程，解之即可解决问题．
②分三种情形分别求解即可：如图中，当时．如图中，当时．如图中，当时．
（2）如图中，首先证明四边形是正方形，如图中，利用全等三角形的性质，翻折不变性即可解决问题．
【详解】
解：（1）①如图1中，
四边形是矩形，
，
∵AB=，BC=3，
，
∵点B和B′关于AP对称，
∴AB=AB′=，B′P=BP=t，∠B=∠AB′P=CB′P=90°，
∴B′C=AC-AB′=，PC=BC-BP=3-t，
在Rt△CB′P中，
，
解得：t=；
②如图中，当时，
四边形是矩形，
，，，
，
，
在中，，
，
．
如图中，当时，
在中，，
在中则有：，解得．
如图中，当时，
由对称可知：AB=AB′，
∴四边形为正方形，
∴BP=AB=，
∴．
综上所述，满足条件的的值为或或．
（2）如图中，
，
又翻折，
，，
又，，
，
，
即四边形是正方形，
如图，设．
，
，
同理可证：△，
，
翻折，
，
，
，
．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．