专题02 二次根式解答题压轴训练（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用）

这是一份专题02 二次根式解答题压轴训练（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用），共22页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
专题02 二次根式解答题压轴训练
（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分
解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。
（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。
对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。
①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。
②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。
③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。
一、解答题
1．阅读材料：一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如其思考过程如下：
设（其中均为正整数）则有，∴，
请你解决问题：
（1）当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得：=_____，=____．
（2）利用所探索的结论，找一组正整填空：____+____=；
（3）若，且均为正整数，求的值．
【答案】（1），；（2）13，4，1，2（答案不唯一）；（3）或．
【分析】
（1）利用完全平方公式得到，则，；
（2）可设，，根据（1）中的公式代入即可；
（3）由于，则，即，所以，或，，然后分别计算对应的的值．
【详解】
解：（1），
，；
故答案为，；
（2）令，，
则，，
故答案为13，4，1，2（答案不唯一）；
（3），
，即，
而、为正整数，
，或，，
当，时，，
当，时，．
故或．
【点睛】
本题考查了二次根式的计算．先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了完全平方公式．
2．阅读下列解题过程：
＝＝-1；
＝＝-；
＝＝-＝2-；
…
解答下列各题：
（1）＝　　；
（2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝　　．
（3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）．
【答案】（1）；（2）；（3）2020
【分析】
（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；
（2）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；
（3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】
（1）
＝
＝
＝
故答案为：；
（2）


故答案为：；
（3）（+…+）×（+1）
＝（+…+）×（+1）
＝（）×（+1）
＝
＝2020．
【点睛】
本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解．
3．若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|．
例如：＝＝|++|＝请解决下列问题：
（1）求的值．
（2）设S＝++…+，求S的整数部分．
（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围．
【答案】（1）；（2）2019；（3）0＜x≤
【分析】
（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；
（2）将原式进行化简，再确定整数部分；
（3）将原式化简为||+||，再根据||+||取最小值时，确定x的取值范围．
【详解】
解：（1）＝＝|++|＝；
（2）S＝++…+，
＝++…+，
＝|1+1﹣|+|1+﹣|+…+|1+﹣|，
＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣，
＝2019+，
故整数部分为2019；
（3）由题意得，
+|﹣﹣|，
＝|++|+|﹣﹣|，
＝||+||，
又y+z＝3yz，
原式＝||+||，
因为||+||取最小值，
所以﹣3≤≤3，而x＞0，
因此，0＜x≤，
答：x的取值范围为0＜x≤．
【点睛】
本题考查了分式的加减法、实数的运算、二次根式的运算，解题关键是掌握数字间的变化规律，准确计算．
4．已知m,n是两个连续的正整数，，，求证：是定值且为奇数．
【答案】见解析
【分析】
设，用n将a表示出来，代入原式化简即可证明．
【详解】
由题：，
原式



∴代数式定值为1，是一个奇数．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，和分解因式，题目较为新颖，难度较大，用n将a表示出来是本题的关键．
5．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在中，已知，，，求的面积；
（2）计算（1）中的边上的高．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解；
（2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解．
【详解】
解：（1），
所以，
答：的面积是．
（2）边上的高，
答：边的高是．
故答案为（1）；（2）．
【点睛】
本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值．
6．先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简 ①． ②．
【答案】（1）④；；（2）①；②
【分析】
（1）第④步出现了错误，==．
（2）类比例题，将13和8分别拆分成两个二次根式的平方和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．
【详解】
解：（1）第④步出现了错误；

=
=．
（2）①
=
=
=．
②
=
=
．
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简以及完全平方公式的应用，利用完全平方公式对二次根式进行化简是解题关键．
7．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，形如一样的式子，我们可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）请用上述的方法化简；
（2）利用上面的解法，化简：．
【答案】（1）；（2）18
【分析】
（1）给分子、分母同时乘以，然后在化简即可；
（2）先分别给各无理式分母有理化、然后找规律解答即可．
【详解】
解：（1）；
（2）
=
=
=
=
=18．
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，掌握分母有理化并根据分母有理化总结规律、应用规律是解答本题的关键．
8．（1）用计算器计算：
________________；
_______________；
_____________；
____________．
（2）观察（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？
（3）试运用发现的规律猜想出下式的结果，并用计算器验证你的猜想__________．
【答案】（1）5，55，555，5555；（2）（n个3，n个4）=55…5（n个5）；（3）55555，计算机验证正确
【分析】
（1）直接利用计算器计算得出答案；
（2）利用计算结果可得出数字变化规律；
（3）根据（2）中发现的规律猜想结果，再用计算机验证．
【详解】
解：（1）5，
55，
555，
5555，
故答案为：5，55，555，5555；
（2）观察题（1）中各式的计算结果，可得出：
（n个3，n个4）=55…5（n个5）；
（3）由（2）可得：
55555，
计算机验证正确．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的化简以及计算器的应用，正确发现数字变化规律是解题关键．
9．(1) 观察下列各式的特点：
，
，
，
，
…
根据以上规律可知：_____(填“＞”“＜”或“＝”)．
(2)观察下列式子的化简过程：
，
，
，
…
根据观察，请写出式子(n≥2)的化简过程．
(3)根据上面(1)(2)得出的规律计算下面的算式：.
【答案】(1)＞；(2)；(3)．
【分析】
（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；
（2）把分子分母同时乘以，然后化简即可得答案；
（3）根据（2）中的规律可得，，…，分别把绝对值里面的式子化简计算即可.
【详解】
(1)根据题意可得＞，
故答案为＞．
(2) ；
(3)原式＝|(﹣1)﹣(﹣)|+|(﹣)﹣(﹣)|+|(﹣)﹣(﹣)|+…+|(﹣)﹣(﹣)|
＝(﹣1)﹣(﹣)+(﹣)﹣(﹣)+(﹣)﹣(﹣)+…+(﹣)﹣(﹣)
＝(﹣1)﹣(﹣)
＝﹣1﹣+10
＝﹣+9．
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，关键是认真观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后应用规律进行计算.
10．若a，b都是正整数，且a＜b，与是可以合并的二次根式，是否存在a，b，使＋＝？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
【答案】当a＝3，b＝48；当a＝12，b＝27.
【解析】
试题分析：直接利用同类二次根式的定义得出，与是同类二次根式，进而得出答案．
试题解析：∵与是可以合并二次根式，+=，
∴+==5，
∴当a=3，则b=48，
当a=12，则b=27．

11．先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是 _______；
(2)化去式子分母中的根号： _____．（直接写结果）
(3) （填或）
(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：
【答案】（1）+1；（2）；（3）
∴