广西人教版2021年中考数学模拟练习题(三)及答案

这是一份广西人教版2021年中考数学模拟练习题(三)及答案，共27页。试卷主要包含了2021的相反数是，不等式组的解集是，下列命题中，正确的是个数是等内容，欢迎下载使用。

1．2021的相反数是（ ）
A．2021B．﹣2021C．D．﹣
2．如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
3．某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为20万分之一，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A．2×10﹣5B．2×10﹣6C．5×10﹣5D．5×10﹣6
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（ ）
第5题图 第8题图 第11题图 第12题图
A．∠1＝∠2B．∠1＝∠DFEC．∠1＝∠AFDD．∠2＝∠AFD
6．不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣1B．x＞﹣3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3
7．某顾客以八折的优惠价买了一件商品，比标价少付了30元，那么他购买这件商品花了（ ）
A．70元B．120元C．150元D．300元
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE＝AB，联结ED、EC、AC．添加一个条件，能使四边形ACDE成为菱形的是（ ）
A．AB＝ADB．AB＝EDC．CD＝AED．EC＝AD
9．某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
10．下列命题中，正确的是个数是（ ）
①半圆是弧；②弧是半圆；③直径是弦；④弧长相等的弧是等弧；⑤直径的两个端点分圆所成的两条弧，每一条弧都是半圆．
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3πB．C．6πD．24π
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共6小题）
13．因式分解：﹣3x2+27＝ ．
14．一人骑自行车连续通过两个装有红、黄、绿三种信号灯的十字路口，则他二次遇到红灯的概率是 ．
15．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝15，tan∠ABC＝，将菱形纸片沿折痕FG翻折，使点B落在AD边上的点E处，若CE⊥AD，则cs∠EFG的值为 ．

第15题图 第16题图 第17题图
16．如图，直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则关于x的不等式k1x﹣b＜的解是 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为
18．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，
其部分图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：
①ac＞0；
②9a+3b+c＞0；
③若m＞n＞0，则x＝1+m时的函数值大于x＝1﹣n时的函数值；
④点（﹣，0）一定在此抛物线上．
其中正确结论的序号是 （填写所有正确结论的序号）．
第18题图
三．解答题（共8小题）
19．（6分）计算：﹣2sin45°+（）﹣1﹣|2﹣|．
20．（6分）先化简，再求值：（m+2﹣），其中m是不等式组的最小整数解．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
22．（9分）某初中学校餐厅为了解学生对早餐的要求，随即抽样调查了该校的部分学生，并根据其中两个单选问题的调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图表．
学生能接受的早餐价格统计表
根据以上信息解答下列问题：
（1）统计表中，a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）扇形统计图中，m的值为 ，“甜”所对应的圆心角的度数是 ．
（3）该餐厅计划每天提供早餐2000份，其中咸味大约准备多少份较好？
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边BC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆切AB于点D，交BC于另一点E，连接OA，DE．
（1）求证：ED∥OA．
（2）若BD＝2AC，求的值．
24．（10分）某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店每天的利润．
（1）若每份套餐售价不超过10元
①试写出y与x的函数关系式；
②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应不低于多少元？
（2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客？若不能，说明理由．
25．（9分）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．
26．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．2021的相反数是（ ）
A．2021B．﹣2021C．D．﹣
【分析】利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得此几何体的主视图是一个梯形．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为20万分之一，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A．2×10﹣5B．2×10﹣6C．5×10﹣5D．5×10﹣6
【分析】先把20万分之一转化成0.000 005，然后再用科学记数法记数记为5×10﹣6．小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：＝0.000005＝5×10﹣6．
故选：D．
【点评】考查了科学记数法﹣表示较小的数，将一个绝对值较小的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＝∠DFEC．∠1＝∠AFDD．∠2＝∠AFD
【分析】由平行线的性质得出∠1＝∠2，再由∠1＝∠DFE，得出∠2＝∠DFE，由内错角相等，两直线平行即可得出DF∥BC．
【解答】解：要使DF∥BC，只需再有条件∠1＝∠DFE；理由如下：
∵EF∥AB，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠DFE，
∴∠2＝∠DFE，
∴DF∥BC；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
6．不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣1B．x＞﹣3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3
【分析】首先解每个不等式，然后利用数轴确定两个不等式的解集的公共部分，即是不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞﹣3；
解不等式②，得x＞﹣1；
所以原不等式组的解集为x＞﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．某顾客以八折的优惠价买了一件商品，比标价少付了30元，那么他购买这件商品花了（ ）
A．70元B．120元C．150元D．300元
【分析】要求顾客购买这个商品换了多少钱，可以先假设出未知数，再通过理解题意，列出方程，再通过这个方程求解．
【解答】解：假设他购买这个商品花了x元，
则这个商品原价为（30+x）元，
则由题目可得方程：（30+x）﹣0.8（30+x）＝30，
解得：x＝120元，
答：他购买这个商品花了120元．
故选：B．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE＝AB，联结ED、EC、AC．添加一个条件，能使四边形ACDE成为菱形的是（ ）
A．AB＝ADB．AB＝EDC．CD＝AED．EC＝AD
【分析】直接利用平行四边形的判定方法得出四边形DEAC是平行四边形，进而利用菱形的判定方法得出答案．
【解答】解：添加AB＝ED能使四边形ACDE成为菱形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABDC，
∵AE＝AB，
∴AEDC，
∴四边形DEAC是平行四边形，
∵AB＝DE，AE＝AB，
∴AE＝DE，
∴平行四边形DEAC是菱形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定，正确掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
9．某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【分析】由于有13名同学参加百米赛跑，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【解答】解：共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小勇需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小勇知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：C．
【点评】本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
10．下列命题中，正确的是个数是（ ）
①半圆是弧；②弧是半圆；③直径是弦；④弧长相等的弧是等弧；⑤直径的两个端点分圆所成的两条弧，每一条弧都是半圆．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①半圆是弧，正确；
②弧是半圆，错误；
③直径是弦，正确；
④弧长相等的弧是等弧，错误；
⑤直径的两个端点分圆所成的两条弧，每一条弧都是半圆，正确，
正确的有三个，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理及圆的认识的知识，解题的关键是能够了解圆的有关的定义，难度不大．
11．如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3πB．C．6πD．24π
【分析】根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积．即求阴影部分的面积就等于求扇形ABB′的面积．
【解答】解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积．
则阴影部分的面积是：＝π．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积是解题的关键．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝1计算2a+b与偶的关系，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故本选项正确；
②由对称轴为x＝1，一个交点为（﹣1，0），
∴另一个交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3，故本选项正确；
③由对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于（0，2），
∴c＝2，
∵a＜0，
∴c﹣a＞2，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
二．填空题（共6小题）
13．因式分解：﹣3x2+27＝ ﹣3（x+3）（x﹣3） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝﹣3（x2﹣9）＝﹣3（x+3）（x﹣3），
故答案为：﹣3（x+3）（x﹣3）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．一人骑自行车连续通过两个装有红、黄、绿三种信号灯的十字路口，则他二次遇到红灯的概率是 ．
【分析】列举出所有情况，看二次遇到红灯的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：共有9种情况，二次都是红灯的情况数只有一种，
所以2次都是红灯的概率为．
【点评】考查概率的求法；得到所求的情况数和总情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝15，tan∠ABC＝，将菱形纸片沿折痕FG翻折，使点B落在AD边上的点E处，若CE⊥AD，则cs∠EFG的值为 ．
【分析】由锐角三角函数求出AH＝9＝EC，由勾股定理可求BE的长，由锐角三角函数可求AP，PE，由勾股定理可求EF，FO的长，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接BE，过点P作PE⊥AB，
∵AB＝15，tan∠ABC＝，
∴AH＝9，BH＝12，
∴CH＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝15，AD∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AH⊥AD，且AH⊥BC，CE⊥AD，
∴四边形AHCE是矩形
∴EC＝9，AE＝CH＝3，
∴BE＝＝＝3，
∵将菱形纸片沿折痕FG翻折，使点B落在AD边上的点E处，
∴BF＝EF，BE⊥FG，BO＝EO＝
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝∠PAE，
∴tan∠ABC＝tan∠PAE＝，且AE＝3，
∴AP＝，PE＝，
∵EF2＝PE2+PF2，
∴EF2＝+（15﹣EF+）2，
∴EF＝，
∴FO＝＝＝
∴cs∠EFG＝＝
故答案为：
【点评】本题考查了翻折变换，菱形的性质，锐角三角函数的应用，添加辅助线构造直角三角形是本题的关键．
16．如图，直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则关于x的不等式k1x﹣b＜的解是 ﹣5＜x＜﹣1或x＞0 ．
【分析】根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，相当于把直线向下平移2b个单位，然后根据函数的对称性可得交点坐标与原直线的交点坐标关于原点对称，再找出直线在双曲线下方的自变量x的取值范围即可．
【解答】解：由k1x＜+b，得，k1x﹣b＜，
所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移2b个单位得到，
直线向下平移2b个单位的图象如图所示，交点A′的横坐标为﹣1，交点B′的横坐标为﹣5，
当﹣5＜x＜﹣1或x＞0时，双曲线图象在直线图象上方，
所以，不等式k1x﹣b＜的解是：﹣5＜x＜﹣1或x＞0．
故答案是：﹣5＜x＜﹣1或x＞0．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据不等式与函数解析式得出不等式的解集与双曲线和向下平移2b个单位的直线的交点有关是解题的关键．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为
【分析】如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE＝EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．
【解答】解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA＝10．
CH＝，
∵EF+CE＝EF′+EC，
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为，
故答案为：
【点评】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题
18．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：
①ac＞0；
②9a+3b+c＞0；
③若m＞n＞0，则x＝1+m时的函数值大于x＝1﹣n时的函数值；
④点（﹣，0）一定在此抛物线上．
其中正确结论的序号是 ②④ （填写所有正确结论的序号）．
【分析】利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的性质可对③进行判断；抛物线的对称性得出点（﹣2，0）的对称点是（4，0），由c＝﹣8a 即可得出﹣＝4，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），
∴x＝3时，y＞0
9a+3b+c＞0，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴横坐标是1﹣n的点的对称点的横坐标为1+n，
∵若m＞n＞0，
∴1+m＞1+n，
∴x＝1+m时的函数值小于x＝1﹣n时的函数值，故③错误；
∵抛物线的对称轴为﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+c，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），
∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∴﹣＝4，
∵点（﹣2，0）的对称点是（4，0），
∴点（﹣，0）一定在此抛物线上，故④正确，
故答案为：②④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点位置；抛物线与x轴交点个数由△决定．本题属于拔高题．
三．解答题（共8小题）
19．计算：﹣2sin45°+（）﹣1﹣|2﹣|．
【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质进而化简得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣2×+3﹣（2﹣）
＝4﹣+3﹣2+
＝5．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．先化简，再求值：（m+2﹣），其中m是不等式组的最小整数解．
【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据m是不等式组的最小整数解，可以求得m的值，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（m+2﹣）
＝
＝
＝
＝﹣2（m+3）
＝﹣2m﹣6，
由不等式组，得＜x≤2，
∵m是不等式组的最小整数解，
∴m＝﹣1，
∴原式＝﹣2×（﹣1）﹣6＝2﹣6＝﹣4．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，A1（2，﹣4），B1（3，﹣1），C1（﹣2，1）．
（2）S△ABC＝5×5﹣×4×5﹣×1×3﹣×2×5＝．
【点评】本题考查轴对称变换、三角形的面积等知识，解题的关键是正确得出对应点的位置．
22．某初中学校餐厅为了解学生对早餐的要求，随即抽样调查了该校的部分学生，并根据其中两个单选问题的调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图表．
学生能接受的早餐价格统计表
根据以上信息解答下列问题：
（1）统计表中，a＝ 48 ，b＝ 400 ，c＝ 0.45 ．
（2）扇形统计图中，m的值为 30 ，“甜”所对应的圆心角的度数是 108° ．
（3）该餐厅计划每天提供早餐2000份，其中咸味大约准备多少份较好？
【分析】（1）根据表格中的数据，可以求得b的值，从而可以求得a、c的值，本题得以解决；
（2）根据扇形统计图中的数据可以求得m的值和“甜”所对应的圆心角的度数；
（3）根据扇形统计图中的数据可以求得该餐厅计划每天提供早餐2000份，其中咸味大约准备多少份较好．
【解答】解：（1）b＝60÷0.15＝400，
a＝400×0.12＝48，
c＝180÷400＝0.45，
故答案为：48，400，0.45；
（2）m%＝1﹣26%﹣12%﹣23%﹣9%＝30%，
即m的值是30，
“甜”所对应的圆心角的度数是：360°×30%＝108°，
故答案为：30，108°；
（3）2000×26%＝520（份），
答：该餐厅计划每天提供早餐2000份，其中咸味大约准备520份较好．
【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边BC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆切AB于点D，交BC于另一点E，连接OA，DE．
（1）求证：ED∥OA．
（2）若BD＝2AC，求的值．
【分析】（1）根据切线的性质定理可证明△AOC≌△AOD，从而得到∠AOC＝∠AOD，可以有2∠AOC+∠DOE＝180°，而在等腰△DOE中，∠ODE＝∠OED，根据三角形内角和定理可得2∠OED+∠DOE＝180°，利用同位角相等即可证明ED∥OA；
（2）根据平行线分线段成比例定理可得，再利用合比性质即可得出的值．
【解答】（1）证明：∵AB与⊙O相切于D点
∴OD⊥AD
而OC是⊙O的半径，且∠ACB＝90°，
∴AC是⊙O的切线，C点是切点
∴AC＝AD
∴Rt△AOC≌Rt△AOD（HL）
∴∠AOC＝∠AOD
又∵∠AOC+∠AOD+∠DOE＝180°
即：2∠AOC+∠DOE＝180°，
而在等腰△DOE中，∠ODE＝∠OED，
根据三角形内角和定理可得：2∠OED+∠DOE＝180°，
∴∠AOC＝∠OED
∴ED∥OA．即得证．
（2）解：由（1）得ED∥OA
∴
∵BD＝2AC，而AC＝AD
∴BD＝2AD
即：
而OE＝OC
∴BE＝EC
∴＝
故的值为．
【点评】本题考查的是切线的性质定理及平行线分线段成比例定理，正确运用线段与角之间的数量关系进行计算与证明是解决问题的重点．
24．某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店每天的利润．
（1）若每份套餐售价不超过10元
①试写出y与x的函数关系式；
②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应不低于多少元？
（2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客？若不能，说明理由．
【分析】（1）①利用每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），以及每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份得出等式求出即可；
②由题意得400（x﹣5）﹣600≥800，解出x的取值范围即可．
（2）由题意可得y与x的函数关系式，再求出当y＝1560时x的值即可．
【解答】解：（1）①y＝400（x﹣5）﹣600．（5＜x≤10），
②依题意得：400（x﹣5）﹣600≥800，
解得：x≥8.5，
∵5＜x≤10，且每份套餐的售价x（元）取整数，
∴每份套餐的售价应不低于9元．
（2）依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，
y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，
当y＝1560时，
（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600＝1560，
解得：x1＝11，x2＝14，
为了保证净收入又能吸引顾客，应取x1＝11，即x2＝14不符合题意．
故该套餐售价应定为11元．
【点评】本题考查的是一次函数的实际应用和一元二次方程的应用以及分段函数的有关知识，解题的关键是根据题目中的等量关系列出函数关系．
25．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．
【分析】（1）证明△AEF≌△ADB（SAS），得出∠AEF＝∠ADB，证得∠EGB＝90°，则结论得出；
（2）证明△AEF∽△DCF，得出，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解方程即可得出答案；
（3）在线段EG上取点P，使得EP＝DG，证明△AEP≌△ADG（SAS），得出AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，证得△PAG为等腰直角三角形，可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，
即∠EGB＝90°，
故BD⊥EC，
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF，
∴，
即AE•DF＝AF•DC，
设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，
解得或（舍去），
∴AE＝．
（3）证明：如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，
在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，
∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，将B（0，3）代入可得a＝﹣，则可求解析式；
（2）连接PO，设P（n，﹣n2+2n+3），分别求出S△BPO＝n，S△APO＝﹣n2+3n+，S△ABO＝，所以S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，当x＝时，S△ABP的最大值为；
（3）设D点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），过D作对称轴的垂线，垂足为G，则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，在Rt△CGD中，CG＝DG，所以（t﹣3）＝t2﹣2t+3，求出D（3+3，﹣3），所以AG＝3，GD＝3，连接AD，在Rt△ADG中，AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，设Q（0，m），AQ为圆A的半径，AQ2＝OA2+QO2＝9+m2＝36，求出m＝3或m＝﹣3，即可求Q．
【解答】解：（1）抛物线顶点坐标为C（3，6），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，
将B（0，3）代入可得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）连接PO，
BO＝3，AO＝3，
设P（n，﹣n2+2n+3），
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO，
S△BPO＝n，
S△APO＝﹣n2+3n+，
S△ABO＝，
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，
∴当x＝时，S△ABP的最大值为；
（3）存在，设D点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
过D作对称轴的垂线，垂足为G，
则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，
∴∠ACD＝30°，
∴2DG＝DC，
在Rt△CGD中，
CG＝DG，
∴（t﹣3）＝t2﹣2t+3，
∴t＝3+3或t＝3（舍）
∴D（3+3，﹣3），
∴AG＝3，GD＝3，
连接AD，在Rt△ADG中，
∴AD＝＝6，
∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，
∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，
设Q（0，m），AQ为圆A的半径，
AQ2＝OA2+QO2＝9+m2，
∴AQ2＝AC2，
∴9+m2＝36，
∴m＝3或m＝﹣3，
综上所述：Q点坐标为（0，3）或（0，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角形和圆的知识综合解题是关键． 价格分组（单位：元）
频数
频率
0＜x≤2
60
0.15
2＜x≤4
180
c
4＜x≤6
92
0.23
6＜x≤8
a
0.12
x＞8
20
0.05
合计
b
1
价格分组（单位：元）
频数
频率
0＜x≤2
60
0.15
2＜x≤4
180
c
4＜x≤6
92
0.23
6＜x≤8
a
0.12
x＞8
20
0.05
合计
b
1