沪科版九年级上册第23章 解直角三角形综合与测试精练

第23章达标检测卷

一、选择题(每题4分，共40分)

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sin B的值是(　　)

A.　　    B.     C.　　　   D.

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cos A的值是(　　)

A.     B.     C.     D.

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝，则斜边上的高等于(　　)

A.     B.     C.     D.

4．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A，B，C均为格点，则sin∠BAC为(　　)

A.     B.     C.    D.

5．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为(　　)

A.     B.     C.     D．2

6．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝8，BC＝10，则tan∠EFC等于(　　)

A.     B.     C.     D.

7．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为(　　)

A．100  m  B．50  m  C．50  m  D.  m

8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为(　　)

A．30°    B．150°    C．60°或120°  D．30°或150°

9．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，在斜边CB上取点M，N(不与C，B两点重合)，且tan B＝tan C＝tan∠MAN＝1，设MN＝x，BM＝n，CN＝m，则以下结论能成立的是(　　)

A．m＝n    B．x＝m＋n   C．x＞m＋n   D．x2＝m2＋n2

10．如图，在一个宽度为AB长的小巷内，一个梯子的长为a，梯子的底端位于AB上的点P处，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离(BC的长)为b，梯子的倾斜角∠BPC为45°；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D处，点D到AB的距离(AD的长)为c，且此时梯子的倾斜角∠APD为75°，则AB的长等于(　　)

A．a     B．b     C.    D．c

二、填空题(每题5分，共20分)

11．已知△ABC，若与(tan B－)2互为相反数，则∠C的度数是________．

12．已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，BC，则tan∠CAB的值为________．

13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC对称，若DM＝1，则tan ∠ADN＝________．

14．如图，已知点A(5 ，0)，直线y＝x＋b(b＞0)与y轴交于点B，连接AB.若α＝75°，则b＝________．

三、解答题(15～18题每题8分；19，20题每题10分；21，22题每题12分；23题14分，共90分)

15．计算：

(1)＋(π－3)0＋|1－|＋tan 45°；

(2)(cos 60°)－1÷(－1)2 022＋|2－|－×(tan 30°－1)0.

16．根据下列条件，求出Rt△ABC(∠C＝90°)中未知的边和锐角．

(1)BC＝8，∠B＝60°；

(2)∠B＝45°，AC＝.

17．如图，将一副三角尺叠放在一起，测得AB＝12，试求阴影部分的面积．

18．如图，已知▱ABCD，E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC＝∠DEC.

(1)求证：四边形DECF是平行四边形；

(2)若AB＝13，DF＝14，tan A＝，求CF的长．

19．如图，合肥市某中学九年级数学兴趣小组要测量校园主教学楼AB的高度．由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点D，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处(D，E，B三点在同一直线上)，又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度．(≈1.73，结果精确到0.1米)

20．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC，AD＝7，tan A＝2.求CD的长．

21．如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆．拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果保留根号)

22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.

(1)求抛物线y＝－x2＋ax＋b的表达式；

(2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，求sin∠OCB的值．

23．如图，有一艘渔船在作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A，B上的观测点进行观测．从A岛测得渔船在南偏东37°方向的C处，B岛在南偏东66°方向；从B岛测得渔船在正西方向．已知两个小岛间的距离为72海里．A岛上维修船的速度为20海里/时，B岛上维修船的速度为28.8海里/时．为及时赶到维修，调度中心应派遣哪个岛上的维修船前去维修？(参考数据：cos 37°≈0.8，sin 37°≈0.6，sin 66°≈0.9，cos 66°≈0.4)

答案

一、1.D

2．B　【点拨】由余弦定义可得cos A＝，∵AB＝10，AC＝6，∴cos  A＝＝，故选B.

3．D　4.D

5．B　【点拨】过点A作AD⊥BC于点D，如图，则∠ADC＝∠ADB＝90°.

∵tan C＝2＝，sin B＝＝，

∴AD＝2DC，AB＝3AD.

∵AB＝3，

∴AD＝1，DC＝.

在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝＝＝，故选B.

6．A　7.A

8．D　【点拨】有两种情况．当顶角为锐角时，如图①，sin A＝，所以∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC)＝，所以180°－∠BAC＝30°，所以∠BAC＝150°.

9．D

10．D　【点拨】过点C作CE⊥AD于点E，如图，则四边形ABCE是矩形，

∴AB＝CE，∠CED＝∠DAP＝90°.

∵∠BPC＝45°，∠APD＝75°，

∴∠CPD＝180°－45°－75°＝60°.

又∵CP＝DP＝a，

∴△CPD是等边三角形．

∴CD＝DP，∠PDC＝60°.

∵∠ADP＝90°－75°＝15°，

∴∠EDC＝15°＋60°＝75°.

∴∠EDC＝∠APD.

在△EDC和△APD中，

∴△EDC≌△APD(AAS)．

∴CE＝AD.∴AB＝AD＝c.故选D.

二、11.90°　【点拨】由题意得sin A＝，tan B＝，因为是在△ABC中，所以∠A＝30°，∠B＝60°，所以∠C的度数是90°.

12．2

13.　【点拨】如图，过点N作NG⊥AD于点G.∵正方形ABCD的边长为4，点M，N关于AC对称，DM＝1，

∴MC＝NC＝3，∴GD＝3.而GN＝AB＝4，∴tan ∠ADN＝＝.

14．5　【点拨】设直线y＝x＋b(b＞0)与x轴交于点C，

易得C(－b，0)，B(0，b)，

∴OC＝OB＝b，∴∠BCO＝45°.

又∵α＝75°，

∴∠BAO＝30°.

在Rt△AOB中，∠BAO＝30°，又易知OA＝5 ，

∴OB＝OA·tan ∠BAO＝5 ×＝5，∴b＝5.

三、15.解：(1)原式＝－2＋1＋－1＋1＝－1.

(2)原式＝÷1＋2－2－2(－1)×1＝2＋2－2－2＋2＝2.

16．解：(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.

∵sin A＝，BC＝8，

∴sin 30°＝＝，

∴AB＝16，

又∵cos A＝，

∴cos 30°＝＝，

∴AC＝8 .

(2)∵∠B＝45°，∠C＝90°，

∴∠A＝45°，

∴BC＝AC＝，

∴AB＝＝2 .

17．解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝12，

∴AC＝6.易知BC∥ED，

∴∠AFC＝∠ADE＝45°，

∴AC＝CF＝6.

∴S△ACF＝×6×6＝18，

即阴影部分的面积为18.

18．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC.

∴∠ADE＝∠DEC.

又∵∠AFC＝∠DEC，

∴∠AFC＝∠ADE，

∴DE∥FC.

∴四边形DECF是平行四边形．

(2)解：过点D作DH⊥BC于点H，如图．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BCD＝∠A，AB＝CD＝13.

又∵tan A＝＝tan ∠DCH＝，

∴DH＝12，CH＝5.

∵四边形DECF是平行四边形，

∴DF＝EC，DE＝CF.

∵DF＝14，

∴CE＝14.∴EH＝9.

∴DE＝＝15.

∴CF＝DE＝15.

19．解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，

∴FG＝＝AG，

在Rt△ACG中，tan∠ACG＝，

∴CG＝＝AG.

又∵CG－FG＝24米，

即AG－AG＝24米，

∴AG＝12米，

∴AB＝12＋1.6≈22.4(米)，

即主教学楼AB的高度约为22.4米．

20．解：如图，延长AB，DC交于点E，

∵∠ABC＝∠D＝90°，

∴∠A＋∠DCB＝180°，

又∵∠ECB＋∠DCB＝180°，

∴∠A＝∠ECB，

∴tanA＝tan∠ECB＝2.

∵AD＝7，

∴DE＝AD·tan A＝14，设BC＝AB＝x，则BE＝BC·tan ∠ECB＝2x，

∴AE＝3x，CE＝x.在Rt△ADE中，由勾股定理得：(3x)2＝72＋142，解得x＝ ，∴CE＝× ＝，则CD＝14－＝.

21．解：如图，过点A作AM⊥CD，垂足为M.

∴AM＝BD＝6米，

MD＝AB＝1.5米．

在Rt△ACM中，tan 30°＝，

∴CM＝AM·tan 30°＝6×＝2 (米)．

∴CD＝CM＋MD＝(2 ＋1.5)米．

在Rt△CED中，sin 60°＝，

即＝，

∴CE＝(4＋)米．

故拉线CE的长为(4＋)米．

22．解：(1)将点A，B的坐标分别代入y＝－x2＋ax＋b可得，

解得

∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x－3.

(2)∵点C在y轴上，

∴点C的横坐标为0，

∵点P是线段BC的中点，

∴点P的横坐标为xP＝＝，

∵点P在抛物线y＝－x2＋4x－3上，

∴yP＝－＋4×－3＝，

∴点P的坐标为.

(3)∵点P的坐标为，且点P是线段BC的中点，

∴点C的纵坐标为2×－0＝，

∴点C的坐标为，

∴BC＝＝，

∴sin∠OCB＝＝＝.

23．解：如图，作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.

在Rt△ADB中，AD＝AB·cos∠BAD＝72×cos 66°≈72×0.4＝28.8(海里)，

BD＝AB·sin ∠BAD＝72×sin 66°≈72×0.9＝64.8(海里)．

在Rt△ADC中，AC＝≈≈＝36(海里)．

CD＝AC·sin ∠CAD≈36×sin 37°≈36×0.6＝21.6(海里)，

∴BC＝BD－CD≈64.8－21.6＝43.2(海里)，

∴A岛上维修船赶到C处需要的时间

tA＝≈＝1.8(时)，

B岛上维修船赶到C处需要的时间

tB＝≈＝1.5(时)．

∵tA＞tB，

∴调度中心应派遣B岛上的维修船前去维修．