人教版2020-2021学年七年级数学下册期末复习二元一次方程组知识点专练（含解析）

这是一份人教版2020-2021学年七年级数学下册期末复习二元一次方程组知识点专练（含解析），共40页。试卷主要包含了下列方程是二元一次方程的是，二元一次方程的非负整数解有，方程的非负整数解的个数为等内容，欢迎下载使用。
专题04二元一次方程组（含解析）
一．二元一次方程的定义（共3小题）
1．下列方程是二元一次方程的是　　
A． B． C． D．
2．若方程是关于，的二元一次方程，则的值为　　
A． B． C． D．5
3．已知是关于、的二元一次方程，则　　．
二．二元一次方程的解（共3小题）
4．已知是关于，的方程的解，则的值为　　
A． B． C．2 D．3
5．若是关于，的二元一次方程的一组解，则的值为　　
A．2 B． C．8 D．
6．若是关于，的二元一次方程的解，则　　．
三．解二元一次方程（共4小题）
7．二元一次方程的非负整数解有　　
A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个
8．方程的非负整数解的个数为　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．将方程改写成用含的代数式表示的形式是　　．
10．已知，用含有的代数式表示，则　　．
四．由实际问题抽象出二元一次方程（共2小题）
11．某公园门票的价格为：成人票10元张，儿童票5元张．现有名成人、名儿童，买门票共花了75元．据此可列出关于、的二元一次方程为　　
A． B． C． D．
12．要把1张50元的人民币兑换成面额为5元和10元的人民币，面值5元张，面值10元张，那么与间的关系为　 　．
五．二元一次方程的应用（共3小题）
13．笔记本4元本，钢笔5元支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去162元，那么该同学最多购买钢笔　　支．
14．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为5，则符合条件的数有　　个．
15．阅读下面材料
两位同学在用标有数字1，2，，9的9张卡片做游戏．
甲同学：“你先从这9张卡片中随意抽取两张（按抽取的先后顺序分别称为“卡片”和“卡片” ，别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片上的数字乘以5，加上7，再乘以2，再加上卡片上的数字，把最后得到的数的值告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦”
乙同学：“这么神奇？我不信”

试验一下：
（1）如果乙同学抽出的卡片上的数字为2，卡片上的数字为5，他最后得到的数　　；
（2）若乙同学最后得到的数，则卡片上的数字为　　，卡片上的数字为　　．
解密：
请你说明：对任意告知的数，甲同学是如何猜到卡片的．
六．二元一次方程组的定义（共3小题）
16．下列方程组中，是二元一次方程组的为　　
A． B．
C． D．
17．下列方程组中，是二元一次方程组的是　　
A． B．
C． D．
18．下列方程组中，属于二元一次方程组的是　　
A． B．
C． D．
七．二元一次方程组的解（共2小题）
19．已知是二元一次方程组的解，则的值是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
20．已知关于、的方程组，若，则　　．
八．解二元一次方程组（共5小题）
21．解方程组
22．解方程组：
23．解方程组：．
24．解方程组
（1）
（2）．
25．解下列方程：
（1）
（2）．
九．由实际问题抽象出二元一次方程组（共4小题）
26．某年级学生共有300人，其中男生人数比女生人数的2倍多6人，则下面所列的方程组中符合题意的是　　
A． B．
C． D．
27．我国古代数学著作（孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少长？”设绳子长为尺，木条长为尺，则根据题意所列方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
28．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为　　

A． B．
C． D．
29．李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的速度是250米分钟，步行的速度是80米分钟．他家离学校的距离是2900米．若他骑车和步行的时间分别为分钟和分钟，则列出的方程组是　　
A． B．
C． D．
一十．二元一次方程组的应用（共5小题）
30．某商店用2900元购进甲、乙两种饮料共150箱，饮料的成本价与销售价如下：
饮料品种
成本价（元箱）
销售价（元箱）
甲
18
24
乙
22
25
（1）商场购进甲、乙两种饮料各多少箱？
（2）该商场销售完这150箱饮料后可获得利润多少元？
31．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元辆，小型汽车的停车费为7元辆．现在停车场内停有28辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费246元，求中小型汽车各有多少辆？
32．本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小文分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如表：
收费标准：
目的地
起步价（元
超过1千克的部分（元千克）
上海
7

北京
10

实际收费：
目的地
质量（千克）
费用（元
上海
2

北京
3

求，的值．
33．为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个品牌的足球和3个品牌的足球共需380元；购买4个品牌的足球和2个品牌的足球共需360元．
（1）求，两种品牌的足球的单价．
（2）该校打算通过“京东商城”网购20个品牌的足球和3个品牌的足球，“五一”期间商城打折促销，其中品牌打八折，品牌打九折，问：学校购买打折后的足球所花的费用比打折前节省了多少钱？

34．打折前，买20件商品和30件商品要用2200元，买50件商品和10件商品要用2900元．若打折后，买40件商品和40件商品用了3240元，比不打折少花多少钱？
一十一．解三元一次方程组（共3小题）
35．已知，，则　　．
36．已知方程组，则　　．
37．解下列方程组：
（1）；
（2）．
一十二．三元一次方程组的应用（共5小题）
38．有一个男孩的假期有11天在下雨，这11天如果上午下雨下午就不会下雨，下午下雨上午就不下，他的假期里9个上午和12个下午是晴天，他的假期共有几天？　　
A．12 B．14 C．16 D．18
39．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲2件、乙8件、丙5件共需400元；若购买甲3件、乙11件、丙7件只需600元，则购买甲、乙、丙各一件共需　　元．
40．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称
空调
彩电
冰箱
工 时



产值（千元）
4
3
2
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千元为单位）
41．阅读下列材料：
问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡、4只鸭、3只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡、鸭、鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡、鸭、鹅的单价不变）．
解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为、、元．依题意得：
上述方程组可变形为：
设，，上述方程组又可化为：
①②得：　 　
即　 　
答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需　 　元．
阅读后，细心的你，可以解决下列问题：
（1）上述材料中　 　
（2）选择题：上述材料中的解答过程运用了　 　思想方法来指导解题．
、整体　　　　　、数形结合　　　　、分类讨论
（3）某校体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的件数和用钱金额如下表：
品名次数
甲
乙
丙
丁
用钱金额（元
第一次购买件数
5
4
3
1
1882
第二次购买件数
9
7
5
1
2764
那么，购买每种体育用品各一件共需多少元？
42．某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元．
（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买；
（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案．

专题04二元一次方程组（含解析）
参考答案与试题解析
一．二元一次方程的定义（共3小题）
1．下列方程是二元一次方程的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：．是三元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．是二元一次方程，故本选项符合题意；
．是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫二元一次方程．
2．若方程是关于，的二元一次方程，则的值为　　
A． B． C． D．5
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得，且，再解即可．
【解答】解：依题意得：，且，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义．二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
3．已知是关于、的二元一次方程，则　　．
【分析】根据二元一次方程的定义和已知条件得出，，求出、的值，再求出答案即可．
【解答】解：是关于、的二元一次方程，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义和求代数式的值，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫二元一次方程．
二．二元一次方程的解（共3小题）
4．已知是关于，的方程的解，则的值为　　
A． B． C．2 D．3
【分析】将，值代入二元一次方程后解方程即可求解．
【解答】解：是关于，的方程的解，
，
解得，
故选：．
【点评】本题主要考查二元一次方程的解，根据方程解的定义代入计算是解题的关键．
5．若是关于，的二元一次方程的一组解，则的值为　　
A．2 B． C．8 D．
【分析】把与的值代入方程计算求出的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：把代入方程得：，即，
则，
故选：．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
6．若是关于，的二元一次方程的解，则　　．
【分析】将代入二元一次方程即可求得的值．
【解答】解：将代入二元一次方程得：
．
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程．将方程的解代入原方程是解题的关键．
三．解二元一次方程（共4小题）
7．二元一次方程的非负整数解有　　
A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个
【分析】最小的非负整数为0，把，，，依次代入二元一次方程，求值，直至为负数，从而得到答案．
【解答】解：最小的非负整数为0，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：（不合题意，舍去）
即当时，不合题意，
即二元一次方程的非负整数解有6个，
故选：．
【点评】本题考查解二元一次方程，正确掌握代入法是解题的关键．
8．方程的非负整数解的个数为　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】首先用其中的一个未知数表示另一个未知数，然后根据，都是非负整数进行分析求解即可求得答案．
【解答】解：，
，
与是非负整数，
，
，
的可能取值为：0，1，
当时，（不符合题意，舍去），
当时，．
方程的非负整数解的个数为1个．
故选：．
【点评】本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．
9．将方程改写成用含的代数式表示的形式是　　．
【分析】要用的代数式表示，先移项，再将系数化为1即可．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程的知识．解本题关键是把方程中含有的项移到等号的右边，再把的系数化为1．
10．已知，用含有的代数式表示，则　　．
【分析】把看做已知数求出即可．
【解答】解：方程，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程，以及列代数式，熟练掌握解方程步骤是解本题的关键．
四．由实际问题抽象出二元一次方程（共2小题）
11．某公园门票的价格为：成人票10元张，儿童票5元张．现有名成人、名儿童，买门票共花了75元．据此可列出关于、的二元一次方程为　　
A． B． C． D．
【分析】设名成人、名儿童，根据买门票共花了75元，列方程即可．
【解答】解：设名成人、名儿童，
由题意得，．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
12．要把1张50元的人民币兑换成面额为5元和10元的人民币，面值5元张，面值10元张，那么与间的关系为　　．
【分析】先设面值5元的有张，面值10元的张，根据1张50元的人民币兑换成面额为5元和10元的人民币列出方程求解即可．
【解答】解：设面值5元的有张，面值10元的张，根据题意得：
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程．
五．二元一次方程的应用（共3小题）
13．笔记本4元本，钢笔5元支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去162元，那么该同学最多购买钢笔　30　支．
【分析】设该同学购买钢笔支，笔记本本，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案，取的最大值即可得出结论．
【解答】解：设该同学购买钢笔支，笔记本本，
依题意得：．
，均为正整数，
或或或或或或或，
的最大值为30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
14．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为5，则符合条件的数有　5　个．
【分析】设这个两位数的个位数字是，十位数字是，，，为整数，讨论求解．
【解答】解：设这个两位数的个位数字是，十位数字是


，，，，．
有5种情况
故答案为：5
【点评】本题考查的是数字问题，关键是数字问题的设法以及根据等量关系列等式．
15．阅读下面材料
两位同学在用标有数字1，2，，9的9张卡片做游戏．
甲同学：“你先从这9张卡片中随意抽取两张（按抽取的先后顺序分别称为“卡片”和“卡片” ，别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片上的数字乘以5，加上7，再乘以2，再加上卡片上的数字，把最后得到的数的值告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦”
乙同学：“这么神奇？我不信”

试验一下：
（1）如果乙同学抽出的卡片上的数字为2，卡片上的数字为5，他最后得到的数　39　；
（2）若乙同学最后得到的数，则卡片上的数字为　　，卡片上的数字为　　．
解密：
请你说明：对任意告知的数，甲同学是如何猜到卡片的．
【分析】（1）根据游戏规则计算的值即可；
（2）根据游戏规则表示，为一个二元一次方程，取整数解即可；
解密：
设卡片上的数字为，卡片上的数字为，则，，可得结论．
【解答】解：（1），
故答案为：39；
（2）设卡片上的数字为，卡片上的数字为，
则，
，
，
、都是1至9这9个数字，
，，
故答案为：4，3；
解密：
设卡片上的数字为，卡片上的数字为（其中、为1，2，，9这9个数字），
则，
得：，其中十位数字是，个位数字是，
所以由给出的的值减去14，所得两位数十位上的数字为卡片上的数字，个位数上的数字为卡片上的数字．
【点评】本题是阅读型问题，考查了学生有理数的加法和乘法，及规律计算问题，注意理解材料中的由来．
六．二元一次方程组的定义（共3小题）
16．下列方程组中，是二元一次方程组的为　　
A． B．
C． D．
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【解答】解：．方程组中的两个方程都不是整式方程，所以不是二元一次方程组，故本选项不合题意；
．方程组中有三个未知数，所以不是二元一次方程组，故本选项不合题意；
．未知数的项最高次数是2次，所以不是二元一次方程组，故本选项不合题意；
．是二元一次方程组，故本选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
17．下列方程组中，是二元一次方程组的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．
【解答】解：、含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
、是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
、是二元一次方程组，故本选项符合题意；
、是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次一次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义的内容是解此题的关键．
18．下列方程组中，属于二元一次方程组的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据二元一次方程组的定义即可求出答案．
【解答】解：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，
故选：．
【点评】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的定义，本题属于基础题型．
七．二元一次方程组的解（共2小题）
19．已知是二元一次方程组的解，则的值是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】把代入方程组得，于是得到结论．
【解答】解：把代入得，
，
故选：．
【点评】本题主要考查方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
20．已知关于、的方程组，若，则　、3　．
【分析】把看作已知数表示出方程组的解，再将表示出的和代入已知等式，确定出的值即可．
【解答】解：关于、的方程组，
解得：．
将，．代入，
，
，
．
当时，，
当时，，
故答案为：、3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记二元一次方程组的解题方法．
八．解二元一次方程组（共5小题）
21．解方程组
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
22．解方程组：
【分析】①②得出，求出，把代入①求出即可．
【解答】解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
所以原方程组的解为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
23．解方程组：．
【分析】根据加减消元法，可得方程组的解．
【解答】解：，
①②，得
，
解得，
把代入②，得
，
解得，
原方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法是解题关键．
24．解方程组
（1）
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
25．解下列方程：
（1）
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】（1）
解：①②得，
解得：，
将代入②得，
解得：，
则原方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
解：①②得，
解得：，
把代入①得：，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
九．由实际问题抽象出二元一次方程组（共4小题）
26．某年级学生共有300人，其中男生人数比女生人数的2倍多6人，则下面所列的方程组中符合题意的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据某年级学生共有300人，其中男生人数比女生人数的2倍多6人，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
27．我国古代数学著作（孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少长？”设绳子长为尺，木条长为尺，则根据题意所列方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】等量关系是：绳长木长，木长绳长，据此列方程组即可求解．
【解答】解：设绳子长尺，木条长尺，依题意有．
故选：．
【点评】本题主要考查了实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．
28．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为　　

A． B．
C． D．
【分析】设买美酒斗，买普通酒斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．
【解答】解：依题意得：，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
29．李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的速度是250米分钟，步行的速度是80米分钟．他家离学校的距离是2900米．若他骑车和步行的时间分别为分钟和分钟，则列出的方程组是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据关键语句“到学校共用时15分钟”可得方程：，根据“骑自行车的平均速度是250米分钟，步行的平均速度是80米分钟．他家离学校的距离是2900米”可得方程：，两个方程组合可得方程组．
【解答】解：他骑车和步行的时间分别为分钟，分钟，由题意得：
，
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．
一十．二元一次方程组的应用（共5小题）
30．某商店用2900元购进甲、乙两种饮料共150箱，饮料的成本价与销售价如下：
饮料品种
成本价（元箱）
销售价（元箱）
甲
18
24
乙
22
25
（1）商场购进甲、乙两种饮料各多少箱？
（2）该商场销售完这150箱饮料后可获得利润多少元？
【分析】（1）设购进甲种饮料箱，乙种饮料箱，根据该商店用2900元购进甲、乙两种饮料共150箱，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润每箱的利润销售数量（购进数量），即可求出结论．
【解答】解：（1）设购进甲种饮料箱，乙种饮料箱，
依题意得：，
解得：．
答：购进甲种饮料100箱，乙种饮料50箱．
（2）（元．
答：销售完这150箱饮料后可获得利润750元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
31．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元辆，小型汽车的停车费为7元辆．现在停车场内停有28辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费246元，求中小型汽车各有多少辆？
【分析】设中型汽车有辆，小型汽车有辆，根据“停车场内停有28辆中、小型汽车，且这些车共缴纳停车费246元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设中型汽车有辆，小型汽车有辆，
依题意得：，
解得：．
答：中型汽车有10辆，小型汽车有18辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
32．本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小文分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如表：
收费标准：
目的地
起步价（元
超过1千克的部分（元千克）
上海
7

北京
10

实际收费：
目的地
质量（千克）
费用（元
上海
2

北京
3

求，的值．
【分析】根据寄往上海和北京的快递的重量及所需费用，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意得：，
解得：．
答：的值为15，的值为2．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
33．为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个品牌的足球和3个品牌的足球共需380元；购买4个品牌的足球和2个品牌的足球共需360元．
（1）求，两种品牌的足球的单价．
（2）该校打算通过“京东商城”网购20个品牌的足球和3个品牌的足球，“五一”期间商城打折促销，其中品牌打八折，品牌打九折，问：学校购买打折后的足球所花的费用比打折前节省了多少钱？

【分析】（1）设品牌的足球的单价为元个，品牌的足球的单价为元个，根据“购买2个品牌的足球和3个品牌的足球共需380元；购买4个品牌的足球和2个品牌的足球共需360元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总价单价数量，列式计算，即可求出结论．
【解答】解：（1）设品牌的足球的单价为元个，品牌的足球的单价为元个，
根据题意得：，
解得：．
答：品牌的足球的单价为40元个，品牌的足球的单价为100元个．

（2）（元．
答：学校购买打折后的足球所花的费用比打折前节省了190元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于、的二元一次方程组；（2）根据总价单价数量，列式计算．
34．打折前，买20件商品和30件商品要用2200元，买50件商品和10件商品要用2900元．若打折后，买40件商品和40件商品用了3240元，比不打折少花多少钱？
【分析】设商品打折前的单价为元件，商品打折前的单价为元件，根据“买20件商品和30件商品要用2200元，买50件商品和10件商品要用2900元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，根据总价打折前的单价数量结合打折后的总价为3240元，即可求出节省的钱数．
【解答】解：设商品打折前的单价为元件，商品打折前的单价为元件，
根据题意得：，
解得：，
．
答：打折后，买40件商品和40件商品用了3240元，比不打折少花360元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组的应用．
一十一．解三元一次方程组（共3小题）
35．已知，，则　　．
【分析】根据题意用表示出与，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：由，，得到，，
则原式．
故答案为．
【点评】此题考查了分式的化简求值以及三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
36．已知方程组，则　2　．
【分析】方程组三方程相加即可求出所求．
【解答】解：，
①②③得：，
则，
故答案为：2
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
37．解下列方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）利用设法求出方程组的解即可．
【解答】解：（1），
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
则方程组的解为；
（2），
由①设，可得，，，
代入②得：，
解得：，即，，，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解三元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．
一十二．三元一次方程组的应用（共5小题）
38．有一个男孩的假期有11天在下雨，这11天如果上午下雨下午就不会下雨，下午下雨上午就不下，他的假期里9个上午和12个下午是晴天，他的假期共有几天？　　
A．12 B．14 C．16 D．18
【分析】设上午下雨是天，下午下雨是天，假期天，则晴天为：天，由题意列出方程组，可求解．
【解答】解：设上午下雨是天，下午下雨是天，假期天，则晴天为：天
由题意可得：
解得：
故选：．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找出正确的数量关系是本题的关键．
39．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲2件、乙8件、丙5件共需400元；若购买甲3件、乙11件、丙7件只需600元，则购买甲、乙、丙各一件共需　200　元．
【分析】设甲货物的单价为元件，乙货物的单价为元件，丙货物的单价为元件，根据“购买甲2件、乙8件、丙5件共需400元；若购买甲3件、乙11件、丙7件只需600元”，即可得出关于，，的三元一次方程，由①②可得出的值，此题得解．
【解答】解：设甲货物的单价为元件，乙货物的单价为元件，丙货物的单价为元件，
依题意，得：，
①②，得：．
故答案为：200．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
40．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称
空调
彩电
冰箱
工 时



产值（千元）
4
3
2
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千元为单位）
【分析】设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为台、台、台，建立三元一次方程组，则总产值，由于每周冰箱至少生产60台，即，所以，又由于生产空调器、彩电、冰箱共360台，故有台，即可求得，具体的，，的值．
【解答】解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为台、台、台，则有
，
①②得，
总产值，
，
，
而，
，
，
，
即，，．
最高产值：（千元）
【点评】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．
41．阅读下列材料：
问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡、4只鸭、3只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡、鸭、鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡、鸭、鹅的单价不变）．
解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为、、元．依题意得：
上述方程组可变形为：
设，，上述方程组又可化为：
①②得：　105　
即　 　
答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需　 　元．
阅读后，细心的你，可以解决下列问题：
（1）上述材料中　 　
（2）选择题：上述材料中的解答过程运用了　 　思想方法来指导解题．
、整体　　　　　、数形结合　　　　、分类讨论
（3）某校体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的件数和用钱金额如下表：
品名次数
甲
乙
丙
丁
用钱金额（元
第一次购买件数
5
4
3
1
1882
第二次购买件数
9
7
5
1
2764
那么，购买每种体育用品各一件共需多少元？
【分析】（1）按要求补充完整上面求解过程，即可得知；
（2）在（1）解题过程中：设，是运用了整体思想方法来解决问题的，由此得知选；
（3）设体育组所购买的体育用品甲、乙、丙、丁的单价分别为、、、元．根据题意列出关于、、、的四元一次方程组，将方程组进行变形，设“，”将四元一次方程组变为二元一次方程组，解方程组即可得出的值．
【解答】解：（1）按照解方程的过程补充完整解题过程如下：
问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡、4只鸭、3只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡、鸭、鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡、鸭、鹅的单价不变）．
解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为、、元．依题意得：
上述方程组可变形为：
设，，上述方程组又可化为：
①②得：，
即，
答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需，105元．
故答案为：105．
（2）（1）的解题过程中：设，，
是运用了整体思想解决问题．
故选．
（3）设体育组所购买的体育用品甲、乙、丙、丁的单价分别为、、、元．
根据题意得：，
该方程组可变形为：，
设，，
上述方程组又可化为：，
解得：．
即．
答：购买每种体育用品各一件共需1000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及利用换元法解方程组，解题的关键是：（1）根据解方程过程补充完整解题步骤；（2）运用了整体思想解决问题；（3）利用换元法得出关于、的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，整体替换部分是关键．
42．某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元．
（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买；
（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案．
【分析】（1）设购买平板电脑台，台式电脑台，笔记本电脑台，分情况讨论：当购买平板电脑、笔记本电脑时；购买台式电脑、笔记本电脑时；当购买台式电脑、笔记本电脑时分别建立方程组求出其解即可．
（2）可根据三种不同类型的电脑的总量台，购进三种电脑的总费用 000元，以及题中给出的条件“笔记本电脑的购买量不少于15台”来列方程组，求出符合条件的方案．
【解答】解：（1）设购买平板电脑台，台式电脑台，笔记本电脑台，
①若购买平板电脑、台式电脑时，由题意，得
，
解得：；
②若购买平板电脑、笔记本电脑时，由题意，得
，
解得：；
③当购买台式电脑、笔记本电脑时，由题意，得
，
解得：，不合题意，舍去．
故共有两种购买方案：①购买平板电脑40台，台式电脑10台；②购买平板电脑42台，笔记本电脑8台．

（2）根据题意得：
，
解得：或．
答：购买平板电脑4台，台式电脑6台，笔记本电脑16台，或购买平板电脑5台，台式电脑1台，笔记本电脑20台．
【点评】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系：购进的两种电脑的数量和台，购进两种电脑的费用和元．列出方程组．要注意自变量的取值范围要符合实际意义，有两解．

考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
3．二元一次方程的定义
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
4．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
5．解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
6．由实际问题抽象出二元一次方程
（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式．
7．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
8．二元一次方程组的定义
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
9．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
10．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
11．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
12．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
13．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
14．三元一次方程组的应用
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．
（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．