2021广西区中考数学几何题试卷（无答案）

这是一份2021广西区中考数学几何题试卷（无答案），共23页。试卷主要包含了辅助线添加策略3，添加辅助线的方法及举例4，等腰三角形个数的讨论，截长补短等内容，欢迎下载使用。

一、辅助线添加策略3
策略1 按定义添辅助线3
策略2 按基本模型添辅助线3
二、添加辅助线的方法及举例4
方法1 求角思想及模型4
第一类：方程思想求角度4
第二类：转化思想求角度4
第三类：整体思想求角度5
第四类：数学模型—角平分线模型6
第五类：数学模型—对顶三角形模型6
第六类：分类讨论思想求角度7
方法2 关于中点的辅助线7
第一类：已知中点7
第二类：证中点8
方法3 截长补短法9
方法4 作垂线构造全等求点的坐标10
方法5 关于角平分线的辅助线11
第一类：角平分线上的点向两边作垂线11
第二类：过边上的点向两边作垂线12
第三类：过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形13
第四类：利用角平分线的性质，在角两边截长补短13
方法6 等腰三角形的辅助线14
第一类：分类讨论思想14
第二类：“三线合一”作辅助线15
第三类：构造等腰三角形16
方法7 等边三角形的辅助线19
第一类：构造30°的直角三角形19
第二类：作平行线构造等边三角形20
第三类：共顶点的等边三角形21
一、辅助线添加策略
三角形是基础几何图形，是一切几何图形证明的基础。在求证几何图形时，往往需要添加辅助线构成新图形，进而形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为常规问题去解决，则是三角形证明中的常规策略。
添加辅助线有二种常见策略：按定义添加辅助线、按基本模型添加辅助线。
策略1 按定义添辅助线
（1）角平分线性质：角平分线上的点到两边的距离相等。
利用这个性质，常见辅助线为：取角平分线上一点，向角的两边作垂线。
（2）垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
利用这个性质，常见辅助线为：取垂直平分线上一点，连接该点与线段的两个端点。
策略2 按基本模型添辅助线
几何图形的学习，主要是模型的积累的过程。几何模型比较多，例如中线模型、等腰三角形模型、角平分线模型、等边三角形模型等，具体分析见下文。每一种模型，因其独有的特性，往往有比较确定的几种辅助线方法。在解决几何问题的过程中，我们要抓住图形的关键特征，确定图形的基本模型，然后借助该模型的辅助线的方法，按照规律添加合适的辅助线，切勿乱添线。
二、添加辅助线的方法及举例
方法1 求角思想及模型
第一类：方程思想求角度
性质：（1）三角形内角和=180°；
（2）对顶角相等，邻补角互补；
（3）三角形外角=不相邻两个内角和。
解题技巧：若图形中角比较多，用设未知数方法，利用上述3条性质，将图形角度之间的关系转化为方程的形式求解。
例1.在△ABC中，∠A－∠B=30°，∠C=4∠B，求∠C的度数。
例2.如图，△ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数。
例3.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠1=∠A，∠2=∠C，求∠A的度数。
第二类：转化思想求角度
解题技巧：求解多个角度和问题时，先利用三角形角度间的基本性质，将不规则图形中的角度转化到同一个三角形（多边形）中；再利用三角形（多边形）内角和性质求解角度。
例1.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
例2.如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，证明AF∥CD。
例3.如图，△ABC的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，∠A=70°，求∠FPB+∠EPC的度数。
第三类：整体思想求角度
解题技巧：根据题干特点，有时单一的看待某个角度，难以解出题目要求的角度。这时，需要将2个角或多个角看成一个整体，在利用三角形内角和等性质进行转化求解。
例1.如图，点D在△ABC内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，求∠A。
例2.如图，将△ABC沿EF折叠，使点C落在点D处，求∠1，∠2与∠C的数量关系。
第四类：数学模型—角平分线模型
性质：角平分线将一个角平分为相等的两部分
解题技巧：此类题型，往往会告知多个角平分线，要求求解某一特定角。建议设平分后的角为未知数，利用方程的思想，转化为求解方程的形式来求解特定的角。
例1.已知△ABC中，点P为∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，证明∠P=
例2.如图，在四边形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC。
求∠B+∠C与∠AED。
第五类：数学模型—对顶三角形模型
性质：若两个三角形有一个对顶角，则这两个对顶角相等，那么这两个三角形剩下的两个角的和相等。
解题技巧：利用对顶三角形另两个角的和相等的性质，列写对顶三角形另两个角之和相等的等式，通过转化，求解出题干要求的角度。
例1.如图，AC，BD相交于点O，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，且交于点P。若BP、CP分别为∠ABD、∠ACD的外角平分线，求∠P与∠A、∠D的关系。
第六类：分类讨论思想求角度
解题技巧：当题目中未出现图形时，往往有多解情况，需要分类讨论。
（1）等腰三角形中，腰和底的讨论
锐角、直角、钝角三角形高的讨论
例1.在等腰△ABC中，∠A=80°，求∠B。
例2.在等腰△ABC中，∠A=60°，求∠B。
例3.已知AD为△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数。
方法2 关于中点的辅助线
第一类：已知中点
（1）中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。
目的： = 1 \* GB3 ①构造出一组全等三角形； = 2 \* GB3 ②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中去。
例1.如图，△ABC中，D为BC的中点
（1）求证：AB+AC＞2AD；
（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围。
例2.如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求证：AE=2AD。
（2）向中线作垂线：过线段两端点向终点处的线段作垂线。
目的：构造出一组全等三角形
辅助线技巧：锐角三角形的垂线在中线线段上；钝角三角形的垂线在中线线段的延长线上。
例1.已知AC=BC，AC⊥BC，过C点任作直线l，过点A、B分别作l的垂线AD、BE，垂足分别为D，E。若AD=2，BE=4，求DE的长。
例2.如图，∠C=90°，BE⊥AB且BE=AB，BD⊥BC且BD=BC，CB的延长线交DE于F。求证：点F是ED的中点；
第二类：证中点
（1）过端点作另一边的平行线：
目的：构造出一组全等三角形
特点：中线倍长的反向应用
例1.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，D，E分别是AC和AC的延长线上的点，连接BD，BE，若AB=CE，∠DBC=∠EBC。求证：D是AC的中点。
例2.如图，AB⊥AE，AB=AE，AC⊥AD，AC=AD，AH⊥DE于点H，延长AH交BC于点M。求证：M是BC的中点。
（2）两端点向中线作垂线：
目的：构造出一组全等三角形
特点：与已知中点时向中线作垂线方法一致
例1.如图，AB⊥AC，AB=AC，D是AB上一点，CE⊥CD，CE=CD，连接BE交AC于点F，求证：F是BE的中点。
例2.如图，A、B、C三点共线，D、C、E三点共线，∠A=∠DBC，EF⊥AC于点F，AE=BD。
（1）求证：C是DE的中点；
（2）求证：AB=2CF
方法3 截长补短法
截长补短法使用范围：线段和差的证明
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；
= 2 \* GB3 ②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例：如图，求证BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；
= 2 \* GB3 ②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE
（3）旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等。
注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线）
例：如图，已知AB=AC，∠ABM=CAN=90°，求证BM+CN=MN
方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE=MN
例1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC，E，F分别在AD，CD上，且∠EBF=60°，求证：EF=AE+CF。
方法4 作垂线构造全等求点的坐标
方法：求点P的坐标，过点P作横纵坐标的垂线，将求坐标转化为线段。利用直角三角形和题干中的特殊条件求证全等三角形，进而求解线段长度。
例1．如图，△ACB为等腰直角三角形，AC=BC，AC⊥BC，A（0,3），C（1,0），求B点的坐标。
例2．如图，△ACB为等腰三角形，A（－1,0），C（1,3），AC⊥BC，求B点的坐标。
方法5 关于角平分线的辅助线
第一类：角平分线上的点向两边作垂线
方法：利用角平分线性质，取角平分线上一点，向被平分的角的两边作垂线
注：锐角三角形的垂线在中线线段上；钝角三角形的垂线在中线线段的延长线上。
目的：构造一组全等三角形
例1.如图，在△ABC中，CD是角平分线，AC=3，BC=5，求的值。
例2.如图，PA=PB，∠1+∠2=180°，求证：OP平分∠AOB。
例3.如图，在四边形ABCD中AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC=180°。求证：BC=CD；
第二类：过边上的点向两边作垂线
方法：取被平分角边上一点，向角平分线作垂线，并延长至与另一个边相交
适用条件：往往题干中已有线段与角平分线垂直，只需延长垂线段即可
目的：构造一组关于角平分线对称的全等直角三角形
例1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD，探究∠ACE，∠B，∠ECD之间的数量关系。
例2.如图，在△ABC中，AB＜BC，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，若△ABC的面积为14，求△BPC的面积。
例3.如图，在△ABC中，AO=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交AO于点D，AE⊥BD交BD延长线于点E。求证：BD=2AE。
第三类：过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形
方法： = 1 \* GB3 ①有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。如下图1
= 2 \* GB3 ②通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如下2图
例1. 如图，△ABC中，∠A=36°AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，求图中等腰三角形的个数。
例2.如图，在△ABC中CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线与G。求证：EF=FG。
第四类：利用角平分线的性质，在角两边截长补短
方法：在角的两边上实施截长或补短
目的：构造出已角平分线为对称轴的全等三角形
例1.如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
例2.如图，已知AC⊥BC，PA⊥PB，且PC平分∠ACB，求证：PA=PB。
方法6 等腰三角形的辅助线
第一类：分类讨论思想
一、腰和底（顶角和底角）的讨论
（1）腰和底的讨论
方法：已知等腰三角形的两条边a，b，求另一条边c时，要分2种情况讨论：
= 1 \* GB3 ①设a为腰，b为底，则c=a；
= 2 \* GB3 ②设a为底，b为腰，则c=b
注：分类讨论后，还需利用三角形边的关系判定每种假设是否成立
例1. 等腰三角形两边的长度分别为5和6，求周长。
例2.等腰三角形两边的长度分别为4和9，求其周长。
（2）顶角和底角的讨论
方法：已知等腰三角形的一个角A，求另外两个角B和C，要分2种情况讨论：
= 1 \* GB3 ①设∠A为底角，则∠B=∠A，∠C=180°－2∠A；
= 2 \* GB3 ②设∠A为顶角，则∠B=∠C=
例1. 等腰三角形一个角为70°，求其顶角的度数。
例2.等腰三角形的一个角为100°，求其顶角的度数。
二、锐角三角形、钝角三角形的讨论
方法：当题干中未告知图形，我们往往将三角形分为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论。因为锐角三角形（高在三角形内部）和钝角三角形（高在三角形外部）的高位置不同，会导致图形不同，最终导致不同结果。
例1.已知△ABC中，CA=CB，AD⊥BC于点D，∠CAD=50°，求∠B的度数。
例2.已知△ABC的高AD，BE所在的直线交于点F，若BF=AC，求∠ABC的度数。
三、等腰三角形个数的讨论
方法：此类题型往往已知2个点（A和B）或者1条边，求另一个点，使之能构成等腰三角形。分2类讨论：
（1）已知直线为底，另一个点在这条直线的垂直平分线上（AB左右两侧皆可），即以点C为顶点；
（2）已知直线为腰，以点A为顶点，AB长度作弧，另一点在圆弧上；或以点B为顶点，BA长度作弧，另一点在圆弧上（AB左右两侧皆可）。
例1.平面直角坐标系中，已知A（2,2），B（4,0），若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，求满足条件的点C的个数。
第二类：“三线合一”作辅助线
方法：利用等腰三角形的性质，底边上的高、中线和角平分线三线合一。已知三角形为等腰三角形时，我们往往作底边的高（或中线或角平分线），则此线段既是三角形的高，又是三角形的中线和角平分线。
例1.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF，求证DE=DF。
例2.如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O为AB的中点，OE⊥OF交AC，BC于E，F。求证：OE=OF
例3.如图，点D，E在△ABC的边AB上，CA=CB，CD=CE，求证：AD=BE
第三类：构造等腰三角形
一、作平行线
图1 图2 图3 图4 图5
（1）作腰的平行线
方法：常见方法有2种。
= 1 \* GB3 ①如图1，在腰AC上任取一点D，作DE∥BC，则构造出等腰三角形ADE
= 2 \* GB3 ②如图2，在底AB的延长线上取一点D，作DE∥BC交AC延长线于点E，则构造出等腰三角形ADE
例1.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF。
例2.如图，AB=CE，且∠A+∠ACE=180°，求证：BM=EM。
（2）作底的平行线
方法：常见方法有3种。
= 1 \* GB3 ①如图3，在腰AC上任取一点D，作DE∥AB，则构造出等腰三角形CDE
= 2 \* GB3 ②如图4，在腰BC延长线上取一点D，作DE∥AB，交AC延长线于点E，则构造出等腰三角形CDE
= 3 \* GB3 ③如图5，过点C作底边AB的平行线，当CD=CE时，则构造出等腰三角形CDE。
例1.如图，在△ABC中，CA=CB，D在AC的延长线上，E在BC上，且CD=CE，求证：DE⊥AB。
例2.如图，BD为△ABC的角平分线，点E在CD上，AD=DE，EF∥BC，求证：AB=EF。
二、二倍角
下列图形中，已知∠B=2∠C
图1 图2 图3
（1）作二倍角的平分线
方法：如图1，作∠B的平分线BD，则∠ABD=∠DBC=∠C，则构造出等腰三角形BCD
例1.如图，△ABC中，∠BCA=2∠A，BC=，求∠A的度数。
（2）延长二倍角的一边
方法：2种方法
= 1 \* GB3 ①如图2，延长BC，使BD=AB。则∠D=∠DAB=，则∠D=∠C。因此构造出等腰三角形BDA和等腰三角形ADC
= 2 \* GB3 ②如图3，延长AB，使BD=BC，则∠D=∠DCB=。因此构造出等腰三角形BDC。
例1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ABC=2∠C，求证：AB+BD=AC
三、中点
（1）中线倍长
方法：已知中点，求证两条线段相等，但这两条线段难以结合到一起，可以考虑用中线倍长法，将某一条线段转化到构造的全等三角形中去。
例1.若∠BAD=∠CAF，D为BC的中点，求证AB=AC
（2）向中线作垂线
方法：已知中线的另一种辅助线方法，与中线倍长法的作用类似，将某条线段转化到构造的全等三角形中去。
例1.如图，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD，CE交于点F，且AE=EF。求证：AB=CF（2种方法）
四、截长补短
方法：如上述“截长补短”法（截长、补短、旋转），可构造等腰三角形来来实现边、角之间的转换。
例1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ABC=2∠C，求证：AC+AD=BC
例2.如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，求证：BC=CD+AB。
方法7 等边三角形的辅助线
第一类：构造30°的直角三角形
方法：有时，题干要求求解三角形中某些边的长度之间的关系，这是要想到利用30°直角三角形的特点：30°角对应的边是斜边的一半。一般情况下，图形中不会直接出现30°的直角三角形，需要我们通过辅助线构造。常见的构造方法如下3种：
（1）连接两点构造30°的直角三角形
例1.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线交BC于D，交AC于E，DE=2，求BC的长。
例2.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE=2，求CE的长。
（2）延长两边构造30°的直角三角形
例1.如图，四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长。
（3）作垂线构造30°的直角三角形
例1.如图，，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD=30°，求证：AB=2BC。
例2.如图，点P是△ABC的边BC上一点，PC=2PB，∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的度数。
第二类：作平行线构造等边三角形
方法：取等边三角形ABC中AB上任一点D，作DE∥BC，交AC于点E，则构造出等边三角形ADE。
例1.如图，等边△ABC中，D是AC的中点，延长BC至E，使CE=AD，连接DB，DE，求证：DB=DE。
例2.如图，等边△ABC中，D是AB上一点，延长BC至E，使CE=AD，DE交AC于F，求证：DF=EF。
例3. 如图，D是等边△ABC的AC边的中点，F在AB上，E在BC的延长线上，∠FDE=120°。
（1）求证：DF=DE；（2）求证：CE+BF=BC
第三类：共顶点的等边三角形
模型：如图，△ABC与△ACE都是等边三角形。
结论： = 1 \* GB3 ①BE=CD； = 2 \* GB3 ②∠BFC=120°； = 3 \* GB3 ③AF平分交DFE； = 4 \* GB3 ④AF+BF=DF。