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2020年辽宁省抚顺市中考数学试卷
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这是一份2020年辽宁省抚顺市中考数学试卷，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年辽宁省抚顺市中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2020•辽阳）﹣2的倒数是（ ）
A．-12 B．﹣2 C．12 D．2
2．（3分）（2020•辽阳）如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2020•辽阳）下列运算正确的是（ ）
A．m2+2m＝3m3 B．m4÷m2＝m2 C．m2•m3＝m6 D．（ m2）3＝m5
4．（3分）（2020•辽阳）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2020•辽阳）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）（2020•辽阳）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
7．（3分）（2020•辽阳）一组数据1，8，8，4，6，4的中位数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．（3分）（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ ）
A．3000x=4200x-80 B．3000x+80=4200x
C．4200x=3000x-80 D．3000x=4200x+80
9．（3分）（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（ ）
A．2 B．52 C．3 D．4
10．（3分）（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2020•辽阳）截至2020年3月底，我国已建成5G基站198000个，将数据198000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）（2020•辽阳）若一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），则m＝ ．
13．（3分）（2020•辽阳）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 ．
14．（3分）（2020•辽阳）如图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 ．
15．（3分）（2020•辽阳）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为 ．
16．（3分）（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为 ．
17．（3分）（2020•辽阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC=15OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为 ．
18．（3分）（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）（2020•辽阳）先化简，再求值：（xx-3-13-x）÷x+1x2-9，其中x=2-3．
20．（12分）（2020•辽阳）为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C （4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）（2020•辽阳）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
22．（12分）（2020•辽阳）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）
五、解答题（满分12分）
23．（12分）（2020•辽阳）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤15，且x为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
六、解答题（满分12分）
24．（12分）（2020•辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）（2020•辽阳）如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．
（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；
（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°，tan∠DAB=13时，请直接写出CEBE的值．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）（2020•辽阳）如图，抛物线y＝ax2﹣23x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
2020年辽宁省抚顺市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2020•辽阳）﹣2的倒数是（ ）
A．-12 B．﹣2 C．12 D．2
【解答】解：有理数﹣2的倒数是-12．
故选：A．
2．（3分）（2020•辽阳）如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看，“底座长方体”看到的图形是矩形，“上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形，因此选项C的图形符合题意，
故选：C．
3．（3分）（2020•辽阳）下列运算正确的是（ ）
A．m2+2m＝3m3 B．m4÷m2＝m2 C．m2•m3＝m6 D．（ m2）3＝m5
【解答】解：A．m2与2m不是同类项，不能合并，所以A错误；
B．m4÷m2＝m4﹣2＝m2，所以B正确；
C．m2•m3＝m2+3＝m5，所以C错误；
D．（ m2）3＝m6，所以D错误；
故选：B．
4．（3分）（2020•辽阳）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（3分）（2020•辽阳）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：∵s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，且平均数相等，
∴s甲2＜s乙2＜s丙2＜s丁2，
∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，
故选：A．
6．（3分）（2020•辽阳）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝20°，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴∠2＝45°﹣∠3＝25°，
故选：C．
7．（3分）（2020•辽阳）一组数据1，8，8，4，6，4的中位数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【解答】解：一组数据1，4，4，6，8，8的中位数是4+62=5，
故选：B．
8．（3分）（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ ）
A．3000x=4200x-80 B．3000x+80=4200x
C．4200x=3000x-80 D．3000x=4200x+80
【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
依题意，得：3000x=4200x+80．
故选：D．
9．（3分）（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（ ）
A．2 B．52 C．3 D．4
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB=12BD=12×6＝3，OA＝OC=12AC=12×8＝4，AC⊥BD，
由勾股定理得，BC=OB2+OC2=32+42=5，
∴AD＝5，
∵OE＝CE，
∴∠DCA＝∠EOC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠EOC，
∴OE∥AD，
∵AO＝OC，
∴OE是△ADC的中位线，
∴OE=12AD＝2.5，
故选：B．
10．（3分）（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，
∴AB＝4，∠A＝45°，
∵CD⊥AB于点D，
∴AD＝BD＝2，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
∴CE＝PF，PE＝CF，
∵点P运动的路程为x，
∴AP＝x，
则AE＝PE＝x•sin45°=22x，
∴CE＝AC﹣AE＝22-22x，
∵四边形CEPF的面积为y，
∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，
即0＜x＜2时，
y＝PE•CE
=22x（22-22x）
=-12x2+2x
=-12（x﹣2）2+2，
∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；
当点P沿D→C路径运动时，
即2≤x＜4时，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PE＝PF，
∴四边形CEPF是正方形，
∵AD＝2，PD＝x﹣2，
∴CP＝4﹣x，
y=12（4﹣x）2=12（x﹣4）2．
∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．
故选：A．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2020•辽阳）截至2020年3月底，我国已建成5G基站198000个，将数据198000用科学记数法表示为 1.98×105 ．
【解答】解：198000＝1.98×105，
故答案为：1.98×105．
12．（3分）（2020•辽阳）若一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），则m＝ 8 ．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），
∴m＝2×3+2＝8．
故答案为：8．
13．（3分）（2020•辽阳）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 k＜﹣1 ．
【解答】解：由题意可知：△＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故答案为：k＜﹣1
14．（3分）（2020•辽阳）如图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 59 ．
【解答】解：设阴影部分的面积是5x，则整个图形的面积是9x，
则这个点取在阴影部分的概率是5x9x=59．
故答案为：59．
15．（3分）（2020•辽阳）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为 2 ．
【解答】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=12BC＝2，MN∥BC，
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE＝CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．
故答案为：2．
16．（3分）（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为 5 ．
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴AE＝EB，
设AE＝EB＝x，
∵EC＝3，AC＝2BC，
∴BC=12（x+3），
在Rt△BCE中，∵BE2＝BC2+EC2，
∴x2＝32+[12（x+3）]2，
解得，x＝5或﹣3（舍弃），
∴BE＝5，
故答案为5．
17．（3分）（2020•辽阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC=15OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为 3 ．
【解答】解：作AE⊥BC于E，连接OA，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE，
∵OC=15OB，
∴OC=12CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴S△CEAS△COD=（CEOC）2＝4，
∵△BCD的面积等于1，OC=15OB，
∴S△COD=14S△BCD=14，
∴S△CEA＝4×14=1，
∵OC=12CE，
∴S△AOC=12S△CEA=12，
∴S△AOE=12+1=32，
∵S△AOE=12k（k＞0），
∴k＝3，
故答案为3．
18．（3分）（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为 2n+12n ．（用含正整数n的式子表示）
【解答】解：∵AE＝DA，点F1是CD的中点，矩形ABCD的面积等于2，
∴△EF1D和△EAB的面积都等于1，
∵点F2是CF1的中点，
∴△EF1F2的面积等于12，
同理可得△EFn﹣1Fn的面积为12n-1，
∵△BCFn的面积为2×12n÷2=12n，
∴△EFnB的面积为2+1﹣1-12-⋯-12n-1-12n=2﹣（1-12n）=2n+12n．
故答案为：2n+12n．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）（2020•辽阳）先化简，再求值：（xx-3-13-x）÷x+1x2-9，其中x=2-3．
【解答】解：原式＝（xx-3+1x-3）•(x+3)(x-3)x+1
=x+1x-3•(x+3)(x-3)x+1
＝x+3，
当x=2-3时，原式=2-3+3=2．
20．（12分）（2020•辽阳）为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C （4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生；
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 108 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
【解答】解：（1）本次共调查学生1326%=50（名），
故答案为：50；
（2）扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为360°×1550=108°，
故答案为：108；
（3）C等级人数为50﹣（4+13+15）＝18（名），
补全图形如下：
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为2，
所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率212=16．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）（2020•辽阳）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
【解答】解：（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，
依题意，得：x+2y=1702x+3y=290，
解得：x=70y=50．
答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，
依题意，得：70m+50（30﹣m）≤1600，
解得：m≤5．
答：学校最多可购买甲种词典5本．
22．（12分）（2020•辽阳）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB•sin∠ABD＝80×sin60°＝80×32=403，
∵∠CAB＝30°+45°＝75°，
∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AC=2AD=2×403=406（海里）．
答：货船与港口A之间的距离是406海里．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）（2020•辽阳）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤15，且x为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得：
12k+b=9014k+b=80，
解得：k=-5b=150，
∴y与x之间的函数关系为y＝﹣5x+150；
（2）根据题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5（x﹣20）2+500，
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，w有最大值，
∴当x＜20时，w随着x的增大而增大，
∵10≤x≤15且x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，
即：w＝﹣5×（15﹣20）2+500＝375，
答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）（2020•辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（AAS），
∴∠DEA＝∠CAB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DEA＝90°，
∴DE⊥AE，
∵AE是⊙A的半径，
∴DE与⊙A相切；
（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE，∠EAB＝60°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE＝CE，
∴CE＝BE，
∴S△ABC=12AB•AC=12×4×43=83，
∴S△ACE=12S△ABC=12×83=43，
∵∠CAE＝30°，AE＝4，
∴S扇形AEF=30π×AE2360=30π×42360=4π3，
∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝43-4π3．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）（2020•辽阳）如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．
（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；
（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°，tan∠DAB=13时，请直接写出CEBE的值．
【解答】解：（1）连接AC，如图①所示：
∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，
∴∠ABC＝∠AEC＝90°，
∴A、B、E、C四点共圆，
∴∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，
∵∠CAB＝∠CAE+∠BAE，
∴∠BCE+∠CBE＝∠CAB，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∴∠BCE+∠CBE＝45°，
∴∠BEC＝180°﹣（∠BCE+∠CBE）＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠AEC＝135°﹣90°＝45°；
（2）AE=3BE+CE，理由如下：
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：
∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，
∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBE中，AF=CE∠A=∠CAB=CB，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，
∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，
∴∠ABD＝∠FBE，
∵∠ABC＝120°，
∴∠FBE＝120°，
∵BF＝BE，
∴∠BFE＝∠BEF=12×（180°﹣∠FBE）=12×（180°﹣120°）＝30°，
∵BH⊥EF，
∴∠BHE＝90°，FH＝EH，
在Rt△BHE中，BH=12BE，FH＝EH=3BH=32BE，
∴EF＝2EH＝2×32BE=3BE，
∵AE＝EF+AF，AF＝CE，
∴AE=3BE+CE；
（3）分两种情况：
①当点D在线段CB上时，
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：
由（2）得：FH＝EH=32BE，
∵tan∠DAB=BHAH=13，
∴AH＝3BH=32BE，
∴CE＝AF＝AH﹣FH=32BE-32BE=3-32BE，
∴CEBE=3-32；
②当点D在线段CB的延长线上时，
在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示：
同①得：FH＝EH=32BE，AH＝3BH=32BE，
∴CE＝AF＝AH+FH=32BE+32BE=3+32BE，
∴CEBE=3+32；
综上所述，当α＝120°，tan∠DAB=13时，CEBE的值为3-32或3+32．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）（2020•辽阳）如图，抛物线y＝ax2﹣23x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把点O（0，0）和A（6，0）代入y＝ax2﹣23x+c中，
得到c=036a-123+c=0，
解得a=33c=0，
∴抛物线的解析式为y=33x2﹣23x．
（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．
∵y=33x2﹣23x=33（x﹣3）2﹣33，
∴顶点B（3，﹣33），M（3，0），
∴OM＝3．BM＝33，
∴tan∠MOB=BMOM=3，
∴∠MOB＝60°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠MON＝∠MOB﹣∠BOD＝30°，
∴MN＝OM•tam30°=3，
∴N（3，-3），
∴直线ON的解析式为y=-33x，
由y=-33xy=33x2-23x，解得x=0y=0或x=5y=-533，
∴D（5，-533）．
（3）如图②﹣1中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合，由题意OF＝BF，可得F（32，-332），E（3，-3），利用平移的性质可得H（32，32）．
如图②﹣2中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧，由题意EF＝BF，可得F（2，﹣23），利用平移的性质可得H（72，-332）．
如图②﹣3中当∠FGE＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，由题意EF⊥BE，可得F（1，-3），G（32，-32），利用平移的性质，可得H（52，-332）．
综上所述，满足条件的点H的坐标为（32，32）或（52，-333）或（72，-332）．
2020年辽宁省抚顺市中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2020•辽阳）﹣2的倒数是（ ）
A．-12 B．﹣2 C．12 D．2
2．（3分）（2020•辽阳）如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2020•辽阳）下列运算正确的是（ ）
A．m2+2m＝3m3 B．m4÷m2＝m2 C．m2•m3＝m6 D．（ m2）3＝m5
4．（3分）（2020•辽阳）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2020•辽阳）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）（2020•辽阳）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
7．（3分）（2020•辽阳）一组数据1，8，8，4，6，4的中位数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．（3分）（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ ）
A．3000x=4200x-80 B．3000x+80=4200x
C．4200x=3000x-80 D．3000x=4200x+80
9．（3分）（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（ ）
A．2 B．52 C．3 D．4
10．（3分）（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2020•辽阳）截至2020年3月底，我国已建成5G基站198000个，将数据198000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）（2020•辽阳）若一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），则m＝ ．
13．（3分）（2020•辽阳）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 ．
14．（3分）（2020•辽阳）如图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 ．
15．（3分）（2020•辽阳）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为 ．
16．（3分）（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为 ．
17．（3分）（2020•辽阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC=15OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为 ．
18．（3分）（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）（2020•辽阳）先化简，再求值：（xx-3-13-x）÷x+1x2-9，其中x=2-3．
20．（12分）（2020•辽阳）为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C （4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）（2020•辽阳）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
22．（12分）（2020•辽阳）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）
五、解答题（满分12分）
23．（12分）（2020•辽阳）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤15，且x为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
六、解答题（满分12分）
24．（12分）（2020•辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）（2020•辽阳）如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．
（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；
（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°，tan∠DAB=13时，请直接写出CEBE的值．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）（2020•辽阳）如图，抛物线y＝ax2﹣23x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
2020年辽宁省抚顺市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2020•辽阳）﹣2的倒数是（ ）
A．-12 B．﹣2 C．12 D．2
【解答】解：有理数﹣2的倒数是-12．
故选：A．
2．（3分）（2020•辽阳）如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看，“底座长方体”看到的图形是矩形，“上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形，因此选项C的图形符合题意，
故选：C．
3．（3分）（2020•辽阳）下列运算正确的是（ ）
A．m2+2m＝3m3 B．m4÷m2＝m2 C．m2•m3＝m6 D．（ m2）3＝m5
【解答】解：A．m2与2m不是同类项，不能合并，所以A错误；
B．m4÷m2＝m4﹣2＝m2，所以B正确；
C．m2•m3＝m2+3＝m5，所以C错误；
D．（ m2）3＝m6，所以D错误；
故选：B．
4．（3分）（2020•辽阳）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（3分）（2020•辽阳）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：∵s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，且平均数相等，
∴s甲2＜s乙2＜s丙2＜s丁2，
∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，
故选：A．
6．（3分）（2020•辽阳）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝20°，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴∠2＝45°﹣∠3＝25°，
故选：C．
7．（3分）（2020•辽阳）一组数据1，8，8，4，6，4的中位数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【解答】解：一组数据1，4，4，6，8，8的中位数是4+62=5，
故选：B．
8．（3分）（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ ）
A．3000x=4200x-80 B．3000x+80=4200x
C．4200x=3000x-80 D．3000x=4200x+80
【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
依题意，得：3000x=4200x+80．
故选：D．
9．（3分）（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（ ）
A．2 B．52 C．3 D．4
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB=12BD=12×6＝3，OA＝OC=12AC=12×8＝4，AC⊥BD，
由勾股定理得，BC=OB2+OC2=32+42=5，
∴AD＝5，
∵OE＝CE，
∴∠DCA＝∠EOC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠EOC，
∴OE∥AD，
∵AO＝OC，
∴OE是△ADC的中位线，
∴OE=12AD＝2.5，
故选：B．
10．（3分）（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，
∴AB＝4，∠A＝45°，
∵CD⊥AB于点D，
∴AD＝BD＝2，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
∴CE＝PF，PE＝CF，
∵点P运动的路程为x，
∴AP＝x，
则AE＝PE＝x•sin45°=22x，
∴CE＝AC﹣AE＝22-22x，
∵四边形CEPF的面积为y，
∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，
即0＜x＜2时，
y＝PE•CE
=22x（22-22x）
=-12x2+2x
=-12（x﹣2）2+2，
∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；
当点P沿D→C路径运动时，
即2≤x＜4时，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PE＝PF，
∴四边形CEPF是正方形，
∵AD＝2，PD＝x﹣2，
∴CP＝4﹣x，
y=12（4﹣x）2=12（x﹣4）2．
∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．
故选：A．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2020•辽阳）截至2020年3月底，我国已建成5G基站198000个，将数据198000用科学记数法表示为 1.98×105 ．
【解答】解：198000＝1.98×105，
故答案为：1.98×105．
12．（3分）（2020•辽阳）若一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），则m＝ 8 ．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），
∴m＝2×3+2＝8．
故答案为：8．
13．（3分）（2020•辽阳）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 k＜﹣1 ．
【解答】解：由题意可知：△＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故答案为：k＜﹣1
14．（3分）（2020•辽阳）如图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 59 ．
【解答】解：设阴影部分的面积是5x，则整个图形的面积是9x，
则这个点取在阴影部分的概率是5x9x=59．
故答案为：59．
15．（3分）（2020•辽阳）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为 2 ．
【解答】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=12BC＝2，MN∥BC，
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE＝CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．
故答案为：2．
16．（3分）（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为 5 ．
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴AE＝EB，
设AE＝EB＝x，
∵EC＝3，AC＝2BC，
∴BC=12（x+3），
在Rt△BCE中，∵BE2＝BC2+EC2，
∴x2＝32+[12（x+3）]2，
解得，x＝5或﹣3（舍弃），
∴BE＝5，
故答案为5．
17．（3分）（2020•辽阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC=15OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为 3 ．
【解答】解：作AE⊥BC于E，连接OA，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE，
∵OC=15OB，
∴OC=12CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴S△CEAS△COD=（CEOC）2＝4，
∵△BCD的面积等于1，OC=15OB，
∴S△COD=14S△BCD=14，
∴S△CEA＝4×14=1，
∵OC=12CE，
∴S△AOC=12S△CEA=12，
∴S△AOE=12+1=32，
∵S△AOE=12k（k＞0），
∴k＝3，
故答案为3．
18．（3分）（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为 2n+12n ．（用含正整数n的式子表示）
【解答】解：∵AE＝DA，点F1是CD的中点，矩形ABCD的面积等于2，
∴△EF1D和△EAB的面积都等于1，
∵点F2是CF1的中点，
∴△EF1F2的面积等于12，
同理可得△EFn﹣1Fn的面积为12n-1，
∵△BCFn的面积为2×12n÷2=12n，
∴△EFnB的面积为2+1﹣1-12-⋯-12n-1-12n=2﹣（1-12n）=2n+12n．
故答案为：2n+12n．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）（2020•辽阳）先化简，再求值：（xx-3-13-x）÷x+1x2-9，其中x=2-3．
【解答】解：原式＝（xx-3+1x-3）•(x+3)(x-3)x+1
=x+1x-3•(x+3)(x-3)x+1
＝x+3，
当x=2-3时，原式=2-3+3=2．
20．（12分）（2020•辽阳）为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C （4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生；
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 108 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
【解答】解：（1）本次共调查学生1326%=50（名），
故答案为：50；
（2）扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为360°×1550=108°，
故答案为：108；
（3）C等级人数为50﹣（4+13+15）＝18（名），
补全图形如下：
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为2，
所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率212=16．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）（2020•辽阳）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
【解答】解：（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，
依题意，得：x+2y=1702x+3y=290，
解得：x=70y=50．
答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，
依题意，得：70m+50（30﹣m）≤1600，
解得：m≤5．
答：学校最多可购买甲种词典5本．
22．（12分）（2020•辽阳）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB•sin∠ABD＝80×sin60°＝80×32=403，
∵∠CAB＝30°+45°＝75°，
∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AC=2AD=2×403=406（海里）．
答：货船与港口A之间的距离是406海里．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）（2020•辽阳）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤15，且x为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得：
12k+b=9014k+b=80，
解得：k=-5b=150，
∴y与x之间的函数关系为y＝﹣5x+150；
（2）根据题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5（x﹣20）2+500，
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，w有最大值，
∴当x＜20时，w随着x的增大而增大，
∵10≤x≤15且x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，
即：w＝﹣5×（15﹣20）2+500＝375，
答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）（2020•辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（AAS），
∴∠DEA＝∠CAB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DEA＝90°，
∴DE⊥AE，
∵AE是⊙A的半径，
∴DE与⊙A相切；
（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE，∠EAB＝60°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE＝CE，
∴CE＝BE，
∴S△ABC=12AB•AC=12×4×43=83，
∴S△ACE=12S△ABC=12×83=43，
∵∠CAE＝30°，AE＝4，
∴S扇形AEF=30π×AE2360=30π×42360=4π3，
∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝43-4π3．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）（2020•辽阳）如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．
（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；
（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°，tan∠DAB=13时，请直接写出CEBE的值．
【解答】解：（1）连接AC，如图①所示：
∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，
∴∠ABC＝∠AEC＝90°，
∴A、B、E、C四点共圆，
∴∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，
∵∠CAB＝∠CAE+∠BAE，
∴∠BCE+∠CBE＝∠CAB，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∴∠BCE+∠CBE＝45°，
∴∠BEC＝180°﹣（∠BCE+∠CBE）＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠AEC＝135°﹣90°＝45°；
（2）AE=3BE+CE，理由如下：
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：
∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，
∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBE中，AF=CE∠A=∠CAB=CB，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，
∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，
∴∠ABD＝∠FBE，
∵∠ABC＝120°，
∴∠FBE＝120°，
∵BF＝BE，
∴∠BFE＝∠BEF=12×（180°﹣∠FBE）=12×（180°﹣120°）＝30°，
∵BH⊥EF，
∴∠BHE＝90°，FH＝EH，
在Rt△BHE中，BH=12BE，FH＝EH=3BH=32BE，
∴EF＝2EH＝2×32BE=3BE，
∵AE＝EF+AF，AF＝CE，
∴AE=3BE+CE；
（3）分两种情况：
①当点D在线段CB上时，
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：
由（2）得：FH＝EH=32BE，
∵tan∠DAB=BHAH=13，
∴AH＝3BH=32BE，
∴CE＝AF＝AH﹣FH=32BE-32BE=3-32BE，
∴CEBE=3-32；
②当点D在线段CB的延长线上时，
在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示：
同①得：FH＝EH=32BE，AH＝3BH=32BE，
∴CE＝AF＝AH+FH=32BE+32BE=3+32BE，
∴CEBE=3+32；
综上所述，当α＝120°，tan∠DAB=13时，CEBE的值为3-32或3+32．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）（2020•辽阳）如图，抛物线y＝ax2﹣23x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把点O（0，0）和A（6，0）代入y＝ax2﹣23x+c中，
得到c=036a-123+c=0，
解得a=33c=0，
∴抛物线的解析式为y=33x2﹣23x．
（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．
∵y=33x2﹣23x=33（x﹣3）2﹣33，
∴顶点B（3，﹣33），M（3，0），
∴OM＝3．BM＝33，
∴tan∠MOB=BMOM=3，
∴∠MOB＝60°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠MON＝∠MOB﹣∠BOD＝30°，
∴MN＝OM•tam30°=3，
∴N（3，-3），
∴直线ON的解析式为y=-33x，
由y=-33xy=33x2-23x，解得x=0y=0或x=5y=-533，
∴D（5，-533）．
（3）如图②﹣1中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合，由题意OF＝BF，可得F（32，-332），E（3，-3），利用平移的性质可得H（32，32）．
如图②﹣2中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧，由题意EF＝BF，可得F（2，﹣23），利用平移的性质可得H（72，-332）．
如图②﹣3中当∠FGE＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，由题意EF⊥BE，可得F（1，-3），G（32，-32），利用平移的性质，可得H（52，-332）．
综上所述，满足条件的点H的坐标为（32，32）或（52，-333）或（72，-332）．
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