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2020年四川省南充市中考数学试卷
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这是一份2020年四川省南充市中考数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题每小题都有代号为A，解答题解答应写出必要的文字说明等内容，欢迎下载使用。
2020年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1．（4分）若1x=-4，则x的值是（ ）
A．4 B．14 C．-14 D．﹣4
2．（4分）2020年南充市各级各类学校在校学生人数约为1150000人，将1150000用科学记数法表示为（ ）
A．1.15×106 B．1.15×107 C．11.5×105 D．0.115×107
3．（4分）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．3a•2a＝6a2
C．a3+a4＝a7 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（4分）八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位：环）：4，5，6，6，6，7，8．则下列说法错误的是（ ）
A．该组成绩的众数是6环
B．该组成绩的中位数是6环
C．该组成绩的平均数是6环
D．该组成绩数据的方差是10
6．（4分）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（ ）
A．a+b2 B．a-b2 C．a﹣b D．b﹣a
7．（4分）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（ ）
A．14S B．18S C．112S D．116S
8．（4分）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（ ）
A．26 B．2626 C．2613 D．1313
9．（4分）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．19≤a≤3 B．19≤a≤1 C．13≤a≤3 D．13≤a≤1
10．（4分）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则-43＜a≤﹣1或1≤a＜43；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜-54或a≥1．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上.
11．（4分）计算：|1-2|+20＝ ．
12．（4分）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝ 度．
13．（4分）从长分别为1，2，3，4的四条线段中，任意选取三条线段，能组成三角形的概率是 ．
14．（4分）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔 支．
15．（4分）若x2+3x＝﹣1，则x-1x+1= ．
16．（4分）△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙O上，已知AE＝2，tanD＝3，则AB＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，其86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）先化简，再求值：（1x+1-1）÷x2-xx+1，其中x=2+1．
18．（8分）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．
19．（8分）今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助．某批次派出20人组成的专家组，分别赴A、B、C、D四个国家开展援助工作，其人员分布情况如统计图（不完整）所示：
（1）计算赴B国女专家和D国男专家人数，并将条形统计图补充完整．
（2）根据需要，从赴A国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率．
20．（10分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式1x1+1x2=k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
21．（10分）如图，反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象与y＝2x的图象相交于点C，过直线上点A（a，8）作AB⊥y轴交于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝4BD．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求四边形OCDB的面积．
22．（10分）如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF＝42，求tan∠EAD的值．
23．（10分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
24．（10分）如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．
（1）求证：AM＝BN．
（2）请判定△OMN的形状，并说明理由．
（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK＝x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为110，请直接写出AK长．
25．（12分）已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=53，求点K的坐标．
2020年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1．（4分）若1x=-4，则x的值是（ ）
A．4 B．14 C．-14 D．﹣4
【解答】解：∵1x=-4，
∴x=-14，
故选：C．
2．（4分）2020年南充市各级各类学校在校学生人数约为1150000人，将1150000用科学记数法表示为（ ）
A．1.15×106 B．1.15×107 C．11.5×105 D．0.115×107
【解答】解：1150000＝1.15×106，
故选：A．
3．（4分）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【解答】解：由题意可得：点B运动路径的长度为=90×π×2180=π，
故选：A．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．3a•2a＝6a2
C．a3+a4＝a7 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝6a2，符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意．
故选：B．
5．（4分）八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位：环）：4，5，6，6，6，7，8．则下列说法错误的是（ ）
A．该组成绩的众数是6环
B．该组成绩的中位数是6环
C．该组成绩的平均数是6环
D．该组成绩数据的方差是10
【解答】解：A、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是6环，故本选项正确；
B、该组成绩的中位数是6环，故本选项正确；
C、该组成绩的平均数是：17（4+5+6+6+6+7+8）＝6（环），故本选项正确；
D、该组成绩数据的方差是17[（4﹣6）2+（5﹣6）2+3×（6﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]=107，故本选项错误；
故选：D．
6．（4分）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（ ）
A．a+b2 B．a-b2 C．a﹣b D．b﹣a
【解答】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，
∴∠ABD＝36°＝∠A，
∴BD＝AD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∵AB＝AC＝a，BC＝b，
∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，
故选：C．
7．（4分）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（ ）
A．14S B．18S C．112S D．116S
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S=12AC×BD，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF=12OC=14AC，EG=12OB=14BD，
∴矩形EFOG的面积＝EF×EG=14AC×14BD=18S；
故选：B．
8．（4分）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（ ）
A．26 B．2626 C．2613 D．1313
【解答】解：如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB=32+22=13，AC=32+32=32，
∵S△ABC=12AC•BD=12×32•BD=12×1×3，
∴BD=22，
∴sin∠BAC=BDAB=2213=2626．
故选：B．
9．（4分）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．19≤a≤3 B．19≤a≤1 C．13≤a≤3 D．13≤a≤1
【解答】解：当抛物线经过（1，3）时，a＝3，
当抛物线经过（3，1）时，a=19，
观察图象可知19≤a≤3，
故选：A．
10．（4分）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则-43＜a≤﹣1或1≤a＜43；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜-54或a≥1．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x=-4a2a=2，
∴x1＝2+m与x2＝2﹣m关于直线x＝2对称，
∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；
故①正确；
当x＝3时，y＝﹣3a﹣5，当x＝4时，y＝﹣5，
若a＞0时，当3≤x≤4时，﹣3a﹣5＜y≤﹣5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴1≤a＜43，
若a＜0时，当3≤x≤4时，﹣5≤y＜﹣3a﹣5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴-43＜a≤﹣1，
故②正确；
若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a﹣20a﹣5≥0，
∴16a2+20a＞05a-5≥0，
∴a≥1，
若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a﹣20a﹣5≤0，
∴16a2+20a＞05a-5≤0，
∴a＜-54，
综上所述：当a＜-54或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上.
11．（4分）计算：|1-2|+20＝ 2 ．
【解答】解：原式=2-1+1
=2．
故答案为：2．
12．（4分）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝ 38 度．
【解答】解：∵两直线交于点O，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠2＝76°，
∴∠1＝38°．
故答案为：38．
13．（4分）从长分别为1，2，3，4的四条线段中，任意选取三条线段，能组成三角形的概率是 14 ．
【解答】解：画树状图如图：
共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有6个，
∴能组成三角形的概率为624=14；
故答案为：14．
14．（4分）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔 10 支．
【解答】解：设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，由题意得：
7x+5y＝100，
∵x与y为整数，
∴x的最大值为10，
故答案为：10．
15．（4分）若x2+3x＝﹣1，则x-1x+1= ﹣2 ．
【解答】解：x-1x+1
=x(x+1)-1x+1
=x2+x-1x+1，
∵x2+3x＝﹣1，
∴x2＝﹣1﹣3x，
∴原式=-1-3x+x-1x+1=-2x-2x+1=-2(x+1)x+1=-2，
故答案为：﹣2．
16．（4分）△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙O上，已知AE＝2，tanD＝3，则AB＝ 103 ．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠ACB＝90°，
∵将△ABC绕点C旋转到△EDC，
∴AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，
∵tanD=CECD=3，
∴设CE＝3x，CD＝x，
∴DE=10x，
∵∠ACE＝∠BCD，∠D＝∠ABC＝∠AEC，
∴△ACE∽△DCB，
∴ACBC=CECD=AEBD=3，
∵AE＝2，
∴BD=23
∴BE＝DE﹣BD=10x-23，
∵AE2+BE2＝AB2，
∴22+（10x-23）2＝（10x）2，
∴x=103，
∴AB＝DE=103，
故答案为：103．
三、解答题（本大题共9个小题，其86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）先化简，再求值：（1x+1-1）÷x2-xx+1，其中x=2+1．
【解答】解：（1x+1-1）÷x2-xx+1
=1-(x+1)x+1⋅x+1x(x-1)
=1-x-1x(x-1)
=-xx(x-1)
=11-x，
当x=2+1时，原式=11-2-1=-22．
18．（8分）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．
【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠ACB＝∠CED．
在△ABC和△CDE中，
∠ACB=∠CEDBC=DE∠ABC=∠CDE，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AB＝CD．
19．（8分）今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助．某批次派出20人组成的专家组，分别赴A、B、C、D四个国家开展援助工作，其人员分布情况如统计图（不完整）所示：
（1）计算赴B国女专家和D国男专家人数，并将条形统计图补充完整．
（2）根据需要，从赴A国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率．
【解答】解：（1）（2+3）÷25%＝20（人），
所以调查的总人数为20人，
赴B国女专家人数为20×40%﹣5＝3（人）
赴D国男专家人数为20×（1﹣20%﹣40%﹣25%）﹣2＝1（人）
条形统计图补充为：
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中所抽取的两名专家恰好是一男一女的结果数为12，
所以所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率=1220=35．
20．（10分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式1x1+1x2=k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，
解得：k≤﹣1．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．
∵1x1+1x2=k﹣2，
∴x1+x2x1x2=2k+2=k﹣2，
∴k2﹣6＝0，
解得：k1=-6，k2=6．
又∵k≤﹣1，
∴k=-6．
∴存在这样的k值，使得等式1x1+1x2=k﹣2成立，k值为-6．
21．（10分）如图，反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象与y＝2x的图象相交于点C，过直线上点A（a，8）作AB⊥y轴交于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝4BD．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求四边形OCDB的面积．
【解答】解：（1）∵点A（a，8）在直线y＝2x上，
∴a＝4，A（4，8），
∵AB⊥y轴于D，AB＝4BD，
∴BD＝1，即D（1，8），
∵点D在y=kx上，
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y=8x．
（2）由y=2xy=8x，解得x=2y=4或x=-2y=-4（舍弃），
∴C（2，4），
∴S四边形OBDC＝S△AOB﹣S△ADC=12×4×8-12×4×3＝10．
22．（10分）如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF＝42，求tan∠EAD的值．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODF中，OD＝2，DF＝42，
∴OF=OD2+DF2=6，
∵OD∥AE，
∴ODAE=OFAF=DFEF，
∴2AE=68=42ED+42，
∴AE=83，ED=423，
∴tan∠EAD=DEAE=22．
23．（10分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
【解答】解：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则12k+b=16，20k+b=14，
解得：k=-14，b=19，
∴z=-14x+19，
∴z关于x的函数解析式为z=16，(0＜x≤12)z=-14x+19，(12＜x≤20)．
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；
②当12＜x≤20时，
w＝（-14x+19﹣10）（5x+40）
=-54x2+35x+360
=-54（x﹣14）2+605，
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
24．（10分）如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．
（1）求证：AM＝BN．
（2）请判定△OMN的形状，并说明理由．
（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK＝x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为110，请直接写出AK长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBM＝90°，
∵AM⊥BM，CN⊥BN，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，
∴∠MAB＝∠CBM，
∴△ABM≌△BCN（AAS），
∴AM＝BN；
（2）△OMN是等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接OB，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，
∵∠MAB＝∠CBM，
∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC，
∴∠MAO＝∠NBO，
又∵AM＝BN，OA＝OB，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON，
∵∠AON+∠BON＝90°，
∴∠AON+∠AOM＝90°，
∴∠MON＝90°，
∴△MON是等腰直角三角形；
（3）在Rt△ABK中，BK=AK2+AB2=x2+1，
∵S△ABK=12×AK×AB=12×BK×AM，
∴AM=AK⋅ABBK=xx2+1，
∴BN＝AM=xx2+1，
∵cos∠ABK=BMAB=ABBK，
∴BM=AB⋅ABBK=1x2+1，
∴MN＝BM﹣BN=1-xx2+1
∵S△OMN=14MN2=(1-x)24x2+4，
∴y=x2-2x+14x2+4（0＜x＜1）；
当点K在线段AD上时，则110=x2-2x+14x2+4，
解得：x1＝3（不合题意舍去），x2=13，
当点K在线段AD的延长线时，同理可求y=x2-2x+14x2+4（x＞1），
∴110=x2-2x+14x2+4，
解得：x1＝3，x2=13（不合题意舍去），
综上所述：AK的值为3或13时，△OMN的面积为110．
25．（12分）已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=53，求点K的坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
∵二次函数图象过点C（0，4），
∴4＝a（0+2）（0﹣4），
∴a=-12，
∴二次函数的解析式为y=-12（x+2）（x﹣4）=-12x2+x+4；
（2）存在，
理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，
∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，
∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC=(4-0)2+(0-4)2=42，
设直线BP解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：2=-k+b0=4k+b，
解得：k=-25b=85
∴直线BP的解析式为：y=-25x+85，
∵∠BMC＝90°
∴点M在以BC为直径的圆上，
∴设点M（c，-25c+85），
∵点Q是Rt△BCM的中点，
∴MQ=12BC＝22，
∴MQ2＝8，
∴（c﹣2）2+（-25c+85-2）2＝8，
∴c＝4或-2429，
当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，
∴c=-2429，则点M坐标（-2429，5629），
故线段PB上存在点M（-2429，5629），使得∠BMC＝90°；
（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，
∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，
∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝∠EBD＝45°，
∴DE＝BE=BD2=322，
∵点B（4，0），C（0，4），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，
设点E（n，﹣n+4），
∴﹣n+4=32，
∴n=52，
∴点E（52，32），
在Rt△DNE中，NE=DEtanθ=32253=9210，
①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），
∵NE＝BN﹣BE，
∴9210=2（4﹣m）-322，
∴m=85，
∴点N（85，125），
∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，
联立方程组可得：y=4x-4y=-12x2+x+4，
解得：x1=2y1=4或x2=-8y2=-36，
∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；
②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），
∵NE＝BE﹣BN，
∴9210=322-2（4﹣m），
∴m=175，
∴点N（175，35），
∴直线DK解析式为：y=14x-14，
联立方程组可得：y=14x-14y=-12x2+x+4，
解得：x3=3+1454y3=-1+14516或x4=3-1454y4=-1-14516，
∴点K坐标为（3+1454，-1+14516）或（3-1454，-1-14516），
综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（3+1454，-1+14516）或（3-1454，-1-14516）．
2020年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1．（4分）若1x=-4，则x的值是（ ）
A．4 B．14 C．-14 D．﹣4
2．（4分）2020年南充市各级各类学校在校学生人数约为1150000人，将1150000用科学记数法表示为（ ）
A．1.15×106 B．1.15×107 C．11.5×105 D．0.115×107
3．（4分）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．3a•2a＝6a2
C．a3+a4＝a7 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（4分）八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位：环）：4，5，6，6，6，7，8．则下列说法错误的是（ ）
A．该组成绩的众数是6环
B．该组成绩的中位数是6环
C．该组成绩的平均数是6环
D．该组成绩数据的方差是10
6．（4分）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（ ）
A．a+b2 B．a-b2 C．a﹣b D．b﹣a
7．（4分）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（ ）
A．14S B．18S C．112S D．116S
8．（4分）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（ ）
A．26 B．2626 C．2613 D．1313
9．（4分）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．19≤a≤3 B．19≤a≤1 C．13≤a≤3 D．13≤a≤1
10．（4分）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则-43＜a≤﹣1或1≤a＜43；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜-54或a≥1．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上.
11．（4分）计算：|1-2|+20＝ ．
12．（4分）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝ 度．
13．（4分）从长分别为1，2，3，4的四条线段中，任意选取三条线段，能组成三角形的概率是 ．
14．（4分）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔 支．
15．（4分）若x2+3x＝﹣1，则x-1x+1= ．
16．（4分）△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙O上，已知AE＝2，tanD＝3，则AB＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，其86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）先化简，再求值：（1x+1-1）÷x2-xx+1，其中x=2+1．
18．（8分）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．
19．（8分）今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助．某批次派出20人组成的专家组，分别赴A、B、C、D四个国家开展援助工作，其人员分布情况如统计图（不完整）所示：
（1）计算赴B国女专家和D国男专家人数，并将条形统计图补充完整．
（2）根据需要，从赴A国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率．
20．（10分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式1x1+1x2=k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
21．（10分）如图，反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象与y＝2x的图象相交于点C，过直线上点A（a，8）作AB⊥y轴交于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝4BD．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求四边形OCDB的面积．
22．（10分）如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF＝42，求tan∠EAD的值．
23．（10分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
24．（10分）如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．
（1）求证：AM＝BN．
（2）请判定△OMN的形状，并说明理由．
（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK＝x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为110，请直接写出AK长．
25．（12分）已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=53，求点K的坐标．
2020年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1．（4分）若1x=-4，则x的值是（ ）
A．4 B．14 C．-14 D．﹣4
【解答】解：∵1x=-4，
∴x=-14，
故选：C．
2．（4分）2020年南充市各级各类学校在校学生人数约为1150000人，将1150000用科学记数法表示为（ ）
A．1.15×106 B．1.15×107 C．11.5×105 D．0.115×107
【解答】解：1150000＝1.15×106，
故选：A．
3．（4分）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【解答】解：由题意可得：点B运动路径的长度为=90×π×2180=π，
故选：A．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．3a•2a＝6a2
C．a3+a4＝a7 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝6a2，符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意．
故选：B．
5．（4分）八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位：环）：4，5，6，6，6，7，8．则下列说法错误的是（ ）
A．该组成绩的众数是6环
B．该组成绩的中位数是6环
C．该组成绩的平均数是6环
D．该组成绩数据的方差是10
【解答】解：A、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是6环，故本选项正确；
B、该组成绩的中位数是6环，故本选项正确；
C、该组成绩的平均数是：17（4+5+6+6+6+7+8）＝6（环），故本选项正确；
D、该组成绩数据的方差是17[（4﹣6）2+（5﹣6）2+3×（6﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]=107，故本选项错误；
故选：D．
6．（4分）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（ ）
A．a+b2 B．a-b2 C．a﹣b D．b﹣a
【解答】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，
∴∠ABD＝36°＝∠A，
∴BD＝AD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∵AB＝AC＝a，BC＝b，
∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，
故选：C．
7．（4分）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（ ）
A．14S B．18S C．112S D．116S
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S=12AC×BD，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF=12OC=14AC，EG=12OB=14BD，
∴矩形EFOG的面积＝EF×EG=14AC×14BD=18S；
故选：B．
8．（4分）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（ ）
A．26 B．2626 C．2613 D．1313
【解答】解：如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB=32+22=13，AC=32+32=32，
∵S△ABC=12AC•BD=12×32•BD=12×1×3，
∴BD=22，
∴sin∠BAC=BDAB=2213=2626．
故选：B．
9．（4分）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．19≤a≤3 B．19≤a≤1 C．13≤a≤3 D．13≤a≤1
【解答】解：当抛物线经过（1，3）时，a＝3，
当抛物线经过（3，1）时，a=19，
观察图象可知19≤a≤3，
故选：A．
10．（4分）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则-43＜a≤﹣1或1≤a＜43；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜-54或a≥1．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x=-4a2a=2，
∴x1＝2+m与x2＝2﹣m关于直线x＝2对称，
∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；
故①正确；
当x＝3时，y＝﹣3a﹣5，当x＝4时，y＝﹣5，
若a＞0时，当3≤x≤4时，﹣3a﹣5＜y≤﹣5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴1≤a＜43，
若a＜0时，当3≤x≤4时，﹣5≤y＜﹣3a﹣5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴-43＜a≤﹣1，
故②正确；
若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a﹣20a﹣5≥0，
∴16a2+20a＞05a-5≥0，
∴a≥1，
若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a﹣20a﹣5≤0，
∴16a2+20a＞05a-5≤0，
∴a＜-54，
综上所述：当a＜-54或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上.
11．（4分）计算：|1-2|+20＝ 2 ．
【解答】解：原式=2-1+1
=2．
故答案为：2．
12．（4分）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝ 38 度．
【解答】解：∵两直线交于点O，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠2＝76°，
∴∠1＝38°．
故答案为：38．
13．（4分）从长分别为1，2，3，4的四条线段中，任意选取三条线段，能组成三角形的概率是 14 ．
【解答】解：画树状图如图：
共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有6个，
∴能组成三角形的概率为624=14；
故答案为：14．
14．（4分）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔 10 支．
【解答】解：设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，由题意得：
7x+5y＝100，
∵x与y为整数，
∴x的最大值为10，
故答案为：10．
15．（4分）若x2+3x＝﹣1，则x-1x+1= ﹣2 ．
【解答】解：x-1x+1
=x(x+1)-1x+1
=x2+x-1x+1，
∵x2+3x＝﹣1，
∴x2＝﹣1﹣3x，
∴原式=-1-3x+x-1x+1=-2x-2x+1=-2(x+1)x+1=-2，
故答案为：﹣2．
16．（4分）△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙O上，已知AE＝2，tanD＝3，则AB＝ 103 ．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠ACB＝90°，
∵将△ABC绕点C旋转到△EDC，
∴AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，
∵tanD=CECD=3，
∴设CE＝3x，CD＝x，
∴DE=10x，
∵∠ACE＝∠BCD，∠D＝∠ABC＝∠AEC，
∴△ACE∽△DCB，
∴ACBC=CECD=AEBD=3，
∵AE＝2，
∴BD=23
∴BE＝DE﹣BD=10x-23，
∵AE2+BE2＝AB2，
∴22+（10x-23）2＝（10x）2，
∴x=103，
∴AB＝DE=103，
故答案为：103．
三、解答题（本大题共9个小题，其86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）先化简，再求值：（1x+1-1）÷x2-xx+1，其中x=2+1．
【解答】解：（1x+1-1）÷x2-xx+1
=1-(x+1)x+1⋅x+1x(x-1)
=1-x-1x(x-1)
=-xx(x-1)
=11-x，
当x=2+1时，原式=11-2-1=-22．
18．（8分）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．
【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠ACB＝∠CED．
在△ABC和△CDE中，
∠ACB=∠CEDBC=DE∠ABC=∠CDE，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AB＝CD．
19．（8分）今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助．某批次派出20人组成的专家组，分别赴A、B、C、D四个国家开展援助工作，其人员分布情况如统计图（不完整）所示：
（1）计算赴B国女专家和D国男专家人数，并将条形统计图补充完整．
（2）根据需要，从赴A国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率．
【解答】解：（1）（2+3）÷25%＝20（人），
所以调查的总人数为20人，
赴B国女专家人数为20×40%﹣5＝3（人）
赴D国男专家人数为20×（1﹣20%﹣40%﹣25%）﹣2＝1（人）
条形统计图补充为：
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中所抽取的两名专家恰好是一男一女的结果数为12，
所以所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率=1220=35．
20．（10分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式1x1+1x2=k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，
解得：k≤﹣1．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．
∵1x1+1x2=k﹣2，
∴x1+x2x1x2=2k+2=k﹣2，
∴k2﹣6＝0，
解得：k1=-6，k2=6．
又∵k≤﹣1，
∴k=-6．
∴存在这样的k值，使得等式1x1+1x2=k﹣2成立，k值为-6．
21．（10分）如图，反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象与y＝2x的图象相交于点C，过直线上点A（a，8）作AB⊥y轴交于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝4BD．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求四边形OCDB的面积．
【解答】解：（1）∵点A（a，8）在直线y＝2x上，
∴a＝4，A（4，8），
∵AB⊥y轴于D，AB＝4BD，
∴BD＝1，即D（1，8），
∵点D在y=kx上，
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y=8x．
（2）由y=2xy=8x，解得x=2y=4或x=-2y=-4（舍弃），
∴C（2，4），
∴S四边形OBDC＝S△AOB﹣S△ADC=12×4×8-12×4×3＝10．
22．（10分）如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF＝42，求tan∠EAD的值．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODF中，OD＝2，DF＝42，
∴OF=OD2+DF2=6，
∵OD∥AE，
∴ODAE=OFAF=DFEF，
∴2AE=68=42ED+42，
∴AE=83，ED=423，
∴tan∠EAD=DEAE=22．
23．（10分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
【解答】解：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则12k+b=16，20k+b=14，
解得：k=-14，b=19，
∴z=-14x+19，
∴z关于x的函数解析式为z=16，(0＜x≤12)z=-14x+19，(12＜x≤20)．
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；
②当12＜x≤20时，
w＝（-14x+19﹣10）（5x+40）
=-54x2+35x+360
=-54（x﹣14）2+605，
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
24．（10分）如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．
（1）求证：AM＝BN．
（2）请判定△OMN的形状，并说明理由．
（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK＝x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为110，请直接写出AK长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBM＝90°，
∵AM⊥BM，CN⊥BN，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，
∴∠MAB＝∠CBM，
∴△ABM≌△BCN（AAS），
∴AM＝BN；
（2）△OMN是等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接OB，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，
∵∠MAB＝∠CBM，
∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC，
∴∠MAO＝∠NBO，
又∵AM＝BN，OA＝OB，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON，
∵∠AON+∠BON＝90°，
∴∠AON+∠AOM＝90°，
∴∠MON＝90°，
∴△MON是等腰直角三角形；
（3）在Rt△ABK中，BK=AK2+AB2=x2+1，
∵S△ABK=12×AK×AB=12×BK×AM，
∴AM=AK⋅ABBK=xx2+1，
∴BN＝AM=xx2+1，
∵cos∠ABK=BMAB=ABBK，
∴BM=AB⋅ABBK=1x2+1，
∴MN＝BM﹣BN=1-xx2+1
∵S△OMN=14MN2=(1-x)24x2+4，
∴y=x2-2x+14x2+4（0＜x＜1）；
当点K在线段AD上时，则110=x2-2x+14x2+4，
解得：x1＝3（不合题意舍去），x2=13，
当点K在线段AD的延长线时，同理可求y=x2-2x+14x2+4（x＞1），
∴110=x2-2x+14x2+4，
解得：x1＝3，x2=13（不合题意舍去），
综上所述：AK的值为3或13时，△OMN的面积为110．
25．（12分）已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=53，求点K的坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
∵二次函数图象过点C（0，4），
∴4＝a（0+2）（0﹣4），
∴a=-12，
∴二次函数的解析式为y=-12（x+2）（x﹣4）=-12x2+x+4；
（2）存在，
理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，
∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，
∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC=(4-0)2+(0-4)2=42，
设直线BP解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：2=-k+b0=4k+b，
解得：k=-25b=85
∴直线BP的解析式为：y=-25x+85，
∵∠BMC＝90°
∴点M在以BC为直径的圆上，
∴设点M（c，-25c+85），
∵点Q是Rt△BCM的中点，
∴MQ=12BC＝22，
∴MQ2＝8，
∴（c﹣2）2+（-25c+85-2）2＝8，
∴c＝4或-2429，
当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，
∴c=-2429，则点M坐标（-2429，5629），
故线段PB上存在点M（-2429，5629），使得∠BMC＝90°；
（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，
∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，
∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝∠EBD＝45°，
∴DE＝BE=BD2=322，
∵点B（4，0），C（0，4），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，
设点E（n，﹣n+4），
∴﹣n+4=32，
∴n=52，
∴点E（52，32），
在Rt△DNE中，NE=DEtanθ=32253=9210，
①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），
∵NE＝BN﹣BE，
∴9210=2（4﹣m）-322，
∴m=85，
∴点N（85，125），
∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，
联立方程组可得：y=4x-4y=-12x2+x+4，
解得：x1=2y1=4或x2=-8y2=-36，
∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；
②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），
∵NE＝BE﹣BN，
∴9210=322-2（4﹣m），
∴m=175，
∴点N（175，35），
∴直线DK解析式为：y=14x-14，
联立方程组可得：y=14x-14y=-12x2+x+4，
解得：x3=3+1454y3=-1+14516或x4=3-1454y4=-1-14516，
∴点K坐标为（3+1454，-1+14516）或（3-1454，-1-14516），
综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（3+1454，-1+14516）或（3-1454，-1-14516）．
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