人教版九年级上册第二十四章 圆24.3 正多边形和圆随堂练习题

第二十四章 圆

24.3   正多边形和圆

自主预习

1．已知一个正多边形的内角和为1080°，则这个正多边形是        边形，它的每个内角是           ，它的每个外角是           .

2．         边形的内角和与外角和相等，        边形的内角和是外角和2倍.

3．正六边形的半径为2厘米，那么它的周长为（  ）

A. 6厘米         B. 12厘米   C. 24厘米        D. 12厘米

4．已知正六边形的边长为10 cm，则它的边心距为（    ）

A. cm         B. 5 cm       C. 5cm         D. 10 cm

互动训练

知识点一：正多边形与圆的有关概念

1. 填空：

（1）正三角形的边长为a，则其中心角为        ，半径为_____，边心距为______ ；

（2）正三角形半径为R，则其边长为          ，边心距为          ；

（3）正六边形的边长为a，则其中心角为        ，半径为_____，边心距为______ ；

（4）正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成       个全等的直角三角形；

（5）正 n 边形的一个外角为30°，则它的边数为      ，它的内角和为          .

2．下面图形中，是正多边形的是(   )

A．矩形           B．菱形        C．正方形      D．等腰梯形

3．正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是(   )

A．240°          B．120°         C．60°          D．30°

4． 若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作a3，a4，a6，

则a3︰a4︰a6等于（　　）

　 A.1︰︰ B．1︰2︰3 C．3︰2︰1 D．︰︰1

5．如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是(　　)

A．矩形          B．菱形           C．正方形          D．不能确定

6．如图所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB. 求证：五边形AEBCD是正五边形．

                                                                 6题图

知识点二：正多边形与圆的有关计算

7．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是(　　)

A．4          B．5       C．6       D．7

8．若正方形的边长为6，则其内切圆半径的大小为(　　)

A．3       B．3        C．6       D．6

9．若正六边形的半径为4，则它的边长等于(　　)

A．4         B．2        C．2     D．4

10. 如图，八边形ABCDEFGH中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠G=∠H=135°，AB=CD=EF=GH=1cm，BC=DE=FG=HA=cm，则这个八边形的面积等于（    ）

A．7cm2        B．8cm2        C．9cm2      D．14cm2

      10题图                           11题图

11．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形，则原来的纸带宽为(　　)

A．1        B．         C．         D．2

12．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．

12题图

13．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 ，试求正六边形的周长．

                                                             13题图

知识点三：等分圆周画正多边形

14．如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：

对于甲、乙两人的作法，可判断(     )

14题图

A．甲、乙均正确  B．甲、乙均错误  C．甲正确，乙错误   D．甲错误，乙正确

15．图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形．

如图2，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹)．

16．已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正方形和内接正六边形(点A为正方形和正六边形的顶点)（要求：写出主要作法或作图步骤）．

16题图

课时达标

1．正八边形的中心角等于________度．

2. 一个正多边形的中心角为20°，则它是正          边形．

3．一个外角等于它的一个内角的正多边形是              ．

4．边心距为5cm的正四边形的面积为              ．

5．同一个圆的内接正方形和外切正六边形的边长之比为_________．

6．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于

________．(结果保留根号)

7．边长相等的正五边形和正六边形如图所示拼接在一起，则∠ABC＝________°.

    6题图               7题图                     8题图

8．如图是正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝       .

9．对于一个正多边形，下列四个命题错误的是(　　)

A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴

B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心

C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角

D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补

10. 已知正多边形的每个内角均为108°，则这个正多边形的边数为（    ）．

A．3      B．4      C．5       D．6

11．若正六边形的边长为8cm，则它的边心距为（    ）．

A．8cm    B．6cm    C．4cm    D．2cm

12. 已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）

　 A．3 B．9 C．18 D． 36

13．正三角形、正方形、圆三者的周长都等于m，它们的面积分别为S1，S2、S3，则(    )．

    A．S1＝S2＝S3    B．S3＜S1＜S2    C．S1＜S2＜S3    D．S2＜S1＜S3

14．中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连接五个等分点而得到的(如图所示)．五角星的每一个角的度数是(    )．

A．30°         B．35°        C．36°         D．37°

14题图               15题图                  16题图

15．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是(　　)

A．60°　　　　　B．45°             C．30°　　　   　　D．22.5°

16.如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（　　）

A．60°         B．65°         C．72°         D．75°

17．如图，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.

求证：(1)AC＝BE；  (2) AM⊥CD.

                                                           17题图

18. 已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．

19．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，

求⊙O的半径R．

19题图

拓展探究

1．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(　　)

A.         B．          C．        D．

2．如图，A，B，C，D，E是⊙O上的5等分点，连接AC，CE，EB，BD，DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.

(1)求∠CAD的度数．

(2)连接AE，求证：AE＝ME.

 2题图  

3．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．

(1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为            ；

(2)连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．

3题图

24.3   正多边形和圆答案

自主预习

1. 八，135°，45°. 

2. 四，八.

3. B.  4. C. 

互动训练

1. （1）120°，a, a；   （2）R，R；  （3）60°，a，a；

（4）2n；   （5）十二，1800°；

2. C.   3. B. 

4. D．解析：设圆的半径是r，则多边形的半径是r，

如图1，则内接正三角形的边长a3=r，

如图2，内接正方形的边长是a4=r，

如图3，正六边形的边长是a6=r，

∴同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比a3︰a4︰a6=︰︰1．

故选D．

5. C. 解析：只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆，故四边形是正方形．故选C.

6．证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝36°，

∴∠ABC＝∠ACB＝72°.

又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°，

即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE，

∴＝＝＝＝，

∴A，E，B，C，D是⊙O的五等分点，

∴五边形AEBCD是正五边形．

7. B. 解析 设这个正多边形为正n边形，由题意可知72n＝360，解得n＝5.故选B.

8. B.

9. A. 解析：正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边组成一个等边三角形．因为正六边形的外接圆半径等于4，所以正六边形的边长等于4.

10. A.  11. C.

12. （1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，

AB=BC，∠ABC=∠C=120°，

在△ABG与△BCH中

，

∴△ABG≌△BCH；

（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，

∴∠BAG=∠HBC，

∴∠BPG=∠ABG=120°，

∴∠APH=∠BPG=120°．

13．解：如图，连接OA，作OH⊥AC于点H，则∠OAH＝30°.

13题图

在Rt△OAH中，设OA＝R，则OH＝R，

由勾股定理可得AH＝＝＝ R.

而△ACE的面积是△OAH面积的6倍，

即6×× R×R＝48 ，解得R＝8，

即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.

14. A.

15. 解：如图．

   15题图              16题图

16．解：如图所示．

作法：①作直径AC；

②作直径BD⊥AC，依次连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是⊙O的内接正方形；

③分别以点A，C为圆心，OA的长为半径画弧，交⊙O于点E，H和F，G，顺次连接AE，EF，FC，CG，GH，HA，则六边形AEFCGH为⊙O的内接正六边形．

课时达标

1. 45.   2. 十八.   3. 正方形.  4．100cm2．5．

6．1＋. 解析：如图，∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝1，

6题图

∴BD＝，∴正方形的边长等于AB＋2BD＝1＋.

7．24. 解析：正六边形的一个内角＝×(6－2)×180°＝120°，

正五边形的一个内角＝×(5－2)×180°＝108°，

∴∠BAC＝360°－(120°＋108°)＝132°.

∵两个正多边形的边长相等，即AB＝AC，

∴∠ABC＝×(180°－132°)＝24°.

8. 75°.   9. B.    10.  C.  11. C.

12. C. 解析：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，

等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，

∴正六边形的面积=18，故选C．   

13. C. 解析：当周长一定时，边数越多的正多边形其面积越大，当它成为圆时面积最大．

14. C. 解析：五角星的每一个角所对的弧为圆的，∴每段弧的度数为72°，

因而每个角的度数为36°，故选C．

15. C. 解析：连接OB，则∠AOB＝60°，∴∠ADB＝∠AOB＝30°.

16题图

17．证明：(1)由五边形ABCDE是正五边形，

得AB＝AE，∠ABC＝∠BAE，AB＝BC，

∴△ABC≌△EAB，∴AC＝BE.

(2)连接AD，由五边形ABCDE是正五边形，

得AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，

∴△ABC≌△AED，∴AC＝AD.

又∵M是CD的中点，∴ AM ⊥ CD.

18.方法一：（1）用量角器画圆心角∠AOB=120°，∠BOC=120°；

（2）连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．

方法二：（1）用量角器画圆心角∠BOC=120°；

（2）在⊙O上用圆规截取；

（3）连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形．

方法三：（1）作直径AD；

(2）以O为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C；

(3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．

方法四：（1）作直径AE；

（2）分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C；

（3）连接AB，BC，CA（或连接EF，ED，DF），

则△ABC（或△EFD）为圆内接正三角形．

18题图                                 19题图

19. 解：连接OB，OC，OD，

∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，

∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°，

∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，

∵OC=OD，∴∠OCD=45°，

∴OC=5×=5（cm）．

即⊙O的半径R=5cm．

拓展探究

1. A. 解析：如图①，∵OC＝2，∴OD＝1.

如图②，∵OB＝2，∴OE＝.

如图③，∵OA＝2，∴OD＝.

∴该三角形的三边长分别为1，，.

∵12＋()2＝()2，∴该三角形是直角三角形，

∴该三角形的面积是×1×＝.故选A.

2. (1)解：如图，连接OA，OB，OC，OD，OE.

2题图

(2)证明：∵∠AEB＝∠BDA，∠DAE＝∠EBD，

∠CAD＝∠EBD＝∠BDA＝36°，

∴∠MAE＝72°，∠AEB＝36°，

∴∠AME＝180°－72°－36°＝72°，

∴∠AME＝∠MAE，∴AE＝ME.

3. 解：BE是⊙O的内接正十二边形的一边，

理由：连接OA，OB，OE，

在正方形ABCD中，∠AOB＝90°，

在正六边形AEFCGH中，∠AOE＝60°，

∴∠BOE＝30°.

∵n＝＝12，

∴BE是正十二边形的边．

     3题图