湖南省怀化市2021年中考真题数学试题 （word版 含答案）

这是一份湖南省怀化市2021年中考真题数学试题 （word版 含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖南省怀化市2021年中考真题数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．数轴上表示数5的点和原点的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．到2020年底，我国完成了“脱贫攻坚”任务，有约9980万的贫困人口实现了脱贫．将数据9980万用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
3．以下说法错误的是（ ）
A．多边形的内角大于任何一个外角 B．任意多边形的外角和是
C．正六边形是中心对称图形 D．圆内接四边形的对角互补
4．对于一元二次方程，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是 D．有两个不相等的实数根
5．下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（ ）

A． B．
C． D．
6．定义，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）


A． B．AD一定经过的重心
C． D．AD一定经过的外心
8．不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，于E点，交BD于M点，反比例函数的图象经过线段DC的中点N，若，则ME的长为（ ）


A． B．
C． D．

二、填空题
11．比较大小： __________（填写“＞”或“＜”或“＝”）．
12．在函数 中，自变量x的取值范围是___________．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，将先向右平移3个单位长度得到，再绕顺时针方向旋转得到，则的坐标是____________．

14．为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了七名党员5天的学史的时间（单位：h）分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是________，众数是________．
15．如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留）

16．观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是___________．

三、解答题
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中．
19．政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角，分别为和，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．其中，，，，，

20．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，．求证：
（1）
（2）

21．某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图表：
等级
频数（人数）
频率
优秀
60
0.6
良好
a
0.25
合格
10
b
基本合格
5
0.05
合计
c
1

根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）该学校共有1600名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？
（4）在这次测试中，九年级（3）班的甲，乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法成画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率．
22．如图，在半径为5cm的中，AB是的直径，CD是过上点C的直线，且于点D，AC平分，E是BC的中点，．


（1）求证：CD是的切线；
（2）求AD的长，
23．某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：
进货批次
A型水杯（个）
B型水杯（个）
总费用（元）
一
100
200
8000
二
200
300
13000
（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？
（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？
24．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．



参考答案
1．B
【分析】
根据数轴上点的表示及几何意义可直接进行排除选项．
【详解】
解：数轴上表示数5的点和原点的距离是；
故选B．
【点睛】
本题主要考查数轴上点的表示及几何意义，熟练掌握数轴上点的表示及几何意义是解题的关键．
2．D
【分析】
结合科学记数法的书写规则即可求解．
【详解】
解：9980万即99800000，
故答案是：D．
【点睛】
本题考察科学记数法的书写规则，属于基础题，难度不大．科学记数法的表示形式：，其中，为整数，解题的关键是确定、的值．
3．A
【分析】
根据多边形的概念及外角和，正多边形的性质及圆内接四边形的性质可直接进行排除选项．
【详解】
解：对于A选项，多边形的内角不一定大于任何一个外角，如正方形，故错误，符合题意；
对于B选项，任意多边形的外角和是360°，正确，故不符合题意；
对于C选项，正六边形是中心对称图形，正确，故不符合题意；
对于D选项，圆内接四边形的对角互补，正确，故不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题主要考查多边形的概念及外角和，正多边形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握多边形的概念及外角和，正多边形的性质及圆内接四边形的性质是解题的关键．
4．A
【分析】
先找出，再利用根的判别式判断根的情况即可．
【详解】
解：
∵
∴
∴这个一元二次方程没有实数根，故A正确、D错误．
∵，故C错误．
，故B错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况、根的判别式、根与系数的关系、熟练掌握D<0，一元二次方程没有实数根是关键．
5．B
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为扇形判断即可．
【详解】
解：由圆锥的侧面展开图是扇形可知选B，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆锥侧面展开图的形状，题型比较简单，熟知关于圆锥的知识点是解决本题的关键．
6．B
【分析】
根据新定义,变形方程求解即可
【详解】
∵,
∴变形为,
解得 ，
经检验 是原方程的根，
故选B
【点睛】
本题考查了新定义问题，根据新定义把方程转化一般的分式方程，并求解是解题的关键
7．C
【分析】
根据题意易得AD平分∠BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．
【详解】
解：∵AD平分∠BAC，
∴，故C正确；
在△ABD中，由三角形三边关系可得，故A错误；
由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过的重心，故B选项错误；
由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过的外心，故D选项错误；
故选C．
【点睛】
本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键．
8．C
【分析】
分别解两个不等式，将它们的解集表示在同一数轴上即可求解；
带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点．
【详解】
解不等式
得：，
解不等式
得：，
故不等式组的解集为：-2≤x＜2，
在数轴上表示为：

故选C．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解法，一元一次不等式的解集在数轴上的表示方法；依次解不等式，注意空心点和实心点的区别是解题关键．
9．A
【分析】
不可能事件是一定不会发生的事件，根据定义即可判断．
【详解】
A选项，水中捞月，一定不会发生，是不可能事件，符合题意；
B选项，守株待兔，可能会发生，是随机事件，不符合题意；
C选项，百步传杨，可能会发生，是随机事件，不符合题意；
D选项，瓮中捉鳖，一定会发生，是必然事件，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
10．D
【分析】
根据菱形的性质得出D点的坐标，利用反比例函数的图象经过线段DC的中点N，求出C点的坐标，进而得出；根据菱形的性质可得，，可判定是等边三角形；最后找到ME、AM、AE、OB之间的数量关系求解．
【详解】
∵菱形ABCD，
∴
∴D点的坐标为（0，2）
设C点坐标为（，0）
∵线段DC的中点N
∴设N点坐标为（，1）
又∵反比例函数的图象经过线段DC的中点N
∴，解得
即C点坐标为（，0），
在中，
∴
∵菱形ABCD
∴，，
∴是等边三角形
又∵于E点，于O点
∴，
∵，，
∴
∴
又∵在中，
∴
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和特殊角的三角函数．菱形的性质，四边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分一组对角．等边三角形的判定，有一个角为角的等腰三角形是等边三角形．特殊角的三角函数，，，．
11．＞
【分析】
直接用，结果大于0，则大；结果小于0，则大．
【详解】
解：，
∴，
故答案为：＞．
【点睛】
本题主要考查实数的大小比较，常用的比较大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正确理解和记忆方法背后的知识点是解题关键．
12．且
【分析】
根据二次根式中的被开方数是非负数与分母不能为0进行求解．
【详解】
由题意知，且，
解得，且，
故答案为：且．
【点睛】
本题考查函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义，①当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；②当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．（2，2）．
【分析】
直接利用平移的性质和旋转的性质得出对应点位置，然后作图，进而得出答案．
【详解】
解：如图示：，为所求，

根据图像可知，的坐标是（2，2），
故答案是：（2，2）．
【点睛】
本题主要考查了平移作图和旋转作图，熟悉相关性质是解题关键．
14．4 3
【分析】
根据中位数和众数的概念分析即可．
【详解】
这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，3，3，4，5，5，6，则中位数为4，众数为3．
【点睛】
本题主要考查中位数和众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据个数是偶数，则最中间两个数的平均数就是这组数据的中位数．将一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数．
15．
【分析】
由，根据圆周角定理得出，根据S阴影=S扇形AOB－可得出结论．
【详解】
解：∵，
∴，
∴S阴影=S扇形AOB－

，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．
16．
【分析】
根据规律将，，，……，用含的代数式表示，再计算的和，即可计算的和．
【详解】
由题意规律可得：．
∵
∴，
∵，
∴．
．
．
……
∴．
故．
令

②-①，得
∴=
故答案为：．
【点睛】
本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．
17．11
【分析】
根据非零实数0次幂、二次根式、负整数次幂、特殊角三角函数值根据实数加减混合运算法则计算即可．
【详解】
解：原式．
【点睛】
本题主要考查非零实数0次幂、二次根式、负整数次幂、特殊角三角函数值根据实数加减混合运算法则，正确掌握每个知识点是解决本题的关键．
18．
【分析】
先将乘法部分因式分解并约分化简，再通分合并，最后代值计算即可求解．
【详解】
解：原式=
当时，原式=
故答案是：．
【点睛】
本题考察分式的化简求值、因式分解和分母有理化，题目难度不大，属于基础计算题．解题的关键是掌握分式的计算法则．
19．41.7米
【分析】
根据AE∥DB,确定∠ABD=67°，∠ACD=22°，利用正切函数求得DB，DC的长度即可求解.
【详解】
如图，∵AE∥DB,

∴∠ABD=67°，∠ACD=22°，
∵tan∠ABD=，tan∠ACD=，
∴DB==，DC==50，
∴BC=DC-DB=50-≈41.7（米）.
【点睛】
本题考查了俯角的意义，解直角三角形，准确理解俯角的意义，熟练运用三角函数是解题的关键．
20．（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，再证明∠EAD=∠FCB，利用SAS证明两三角形全等即可．
（2）利用，得出∠E=∠F，再利用内错角相等两直线平行即可证明．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC
∴∠DAC=∠ACB
∴∠EAD=∠FCB
在△ADE和△CBF中，

∴ (SAS)
（2）∵
∴∠E=∠F
∴ED∥BF
【点睛】
本题考查全等三角形的证明、平行四边形的性质、平行线的判定及性质、灵活进行角的转换是关键．
21．（1）25；0.1；100；（2）见详解；（3）1520人；（4）
【分析】
（1）根据成绩为优秀的频数和频率计算出本次抽取的人数，然后计算a、b的值；
（2）根据求解的良好部分的人数，补全统计图即可；
（3）根据统计图中的数据，可以计算该校测试成绩等级在合格以上的学生共有多少人；
（4）列树状图将可能出现的情况列出来，找出甲、乙两名同学同时被选中的情况，进一步计算概率即可．
【详解】
（1）(人)，即；
(人)，即；
，即；
（2）补全图形如下：
；
（3）(人)，
答：成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有1520人；
（4）画树状图如图：

共有12种可能出现的结果，甲、乙两名同学同时被选中的有两种，
所以甲、乙两名同学同时被选中的概率为：．
【点睛】
本题主要考查根据频数、频率计算样本总数，根据样本情况估算满足情况的总人数，频数直方图的画法，用列表法或树状图求概率等知识点，准确理解统计图中所给数据、正确画出树状图是解决本题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OC，由题意知∠DAC＝∠OAC＝∠OCA，据此得，根据AD⊥DC即可得证；
（2）连接BC，证△ADC∽△ACB即可得．
【详解】
解：（1）如图，连接OC，

∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAO，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）如图，连接BC，OE，

∵E是BC的中点， ，
∴，
∵AB是⊙O的直径，AD⊥DC，半径，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，，
又∵∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
则，
∴．
【点睛】
本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键．
23．（1）A型号水杯进价为20元，B型号水杯进价为30元；（2）超市应将B型水杯降价5元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A，B两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b为4元，利润为3000元．
【分析】
（1）主要运用二元一次方程组，设A型号水杯为x元，B型号水杯为y元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A、B型号水杯的单价；
（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B型水杯降价z元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为w，每个水杯的利润为元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；
（3）根据（1）A型号水杯为20元，B型号水杯为30元．设10000元购买A型水杯m个，B型水杯n个，所得利润为W元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b，W．
【详解】
（1）解：设A型号水杯进价为x元，B型号水杯进价为y元，
根据题意可得：，
解得：，
∴A型号水杯进价为20元，B型号水杯进价为30元．
（2）设：超市应将B型水杯降价z元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为w，
根据题意可得：，
化简得：，
当时，
，
∴超市应将B型水杯降价5元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元．
（3）设购买A型水杯m个，B型水杯n个，所得利润为W元，
根据题意可得：
将①代入②可得：，
化简得：，
使得A，B两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变，
则，得，
当时，，
∴A，B两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b为4元，利润为3000元．
【点睛】
题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用．
24．（1）；（2）存在，或；（3）点，最短路程为，理由见详解；（4）存在，当以点Q为直角顶点的等腰时，点或，理由见详解．
【分析】
（1）由题意易得，然后设二次函数的解析式为，进而代入求解即可；
（2）由题意易得，要使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则可分①当时，②当时，进而分类求解即可；
（3）由题意可得作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，最后求解即可；
（4）由题意可分①当点Q在第二象限时，存在等腰，②当点Q在第一象限时，存在等腰，然后利用“k型”进行求解即可．
【详解】
解：（1）∵，，，
∴，
设二次函数的解析式为，代入点C的坐标可得：，解得：，
∴二次函数的解析式为，即为；
（2）存在以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，理由如下：
由（1）可得抛物线的解析式为，则有对称轴为直线，
设直线BC的解析式为，代入点B、C坐标可得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
∴点，，
∴由两点距离公式可得，
若使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则有，
①当时，则有轴，如图所示：

∴点，
②当时，如图所示：

∴，
∴，
∴点；
（3）由题意得：动点G从点D出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知要使点G走过的路程最短则有作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，如图所示：

∵OC=8，点D为CO的中点，
∴OD=4，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
设直线HI的解析式为，则把点H、I坐标代入得：，
解得：，
∴直线HI的解析式为，
当y=0时，则有，解得：，
当x=1时，则有，
∴点，
∴点G走过的最短路程为；
（4）存在以点Q为直角顶点的等腰，理由如下：
设点，则有：
①当点Q在第二象限时，存在等腰时，如图所示：

过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，如图所示，
∴，
∴四边形COLK是矩形，
∴CK=OL，
∵等腰，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴；
②当点Q在第一象限时，存在等腰时，如图所示：

同理①可得，
解得：（不符合题意，舍去），
∴；
综上所述：当以点Q为直角顶点的等腰时，点或．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定、轴对称的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的综合、相似三角形的性质与判定、轴对称的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．