2020-2021学年第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试课后复习题

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小船过河是运动合成和分解中一种非常具有代表性的运动形式，它对学生正确理解合运动、分运动的概念；弄清合运动、分运动之间的等时性、等效性，以及各分运动之间的独立性等，都有着非常高的思维能力要求。因此是学生学习运动合成与分解的一个难点。那么如何正确解决小船渡河问题呢？笔者认为要想学好这个问题，必须理解好三个方面的关系：
（1）运动关系：小船在有一定的河水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对于水的运动（即在静水中船的运动），船的实际运动是合运动。
（2）时间关系：①合运动和分运动的等时性；②当船头与河岸垂直时，渡河时间最短。（3）位移关系：①合运动和分运动的位移等效关系；②理解在什么情况下位移最小。下面就对以上关系加以分析和应用举例:
例：设一条河的宽度为L，水流速度为v1,已知船在静水中的速度为v2，那么：
（1）怎样渡河时间最短？ （2）若v2> v1,怎样渡河位移最小？
（3）若v2< v1,怎样渡河位移最小？
L
v1
v2
θ
解析：（1）如图所示，设船头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船的速度在y方向的速度分量为vy=v2sinθ,渡河所需的时间为可以看出：L和v2一定时，t随sinθ增大而就减小，当θ=900时sinθ=1（最大），所以，船头与河岸垂直时，渡河时间最短，为.
L
v1
v2
θ
v
а
L
v1
v2
θ
v
(2)如图所示，渡河的最小位移即河的宽度，为了使渡河的位移等于L，必须使船的合速度v 的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，根据三角函数关系有，即。因为，所以只有在v2> v1时，船才有可能垂直于河岸过河。
v1
v2
v
θ
L
S
（3）如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论穿的航向如何，总要被水冲向下游，如图所示，设船头与河岸成θ角，合速度与河岸成а角，可以看出：а越大，船漂向下游的距离越短，以v1的矢尖为圆心，以v2为半径画圆，当v与相切时，а角最大，根据，船头与河岸的夹角应为：，此时渡河的最短位移为。
例2（07启东月考）一艘小艇从河岸A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直方向行驶，经过10min到达正对岸下游120m的C处，如图所示，如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游于河岸成角方向行驶，则经过12.5min正好到达河正对岸B处，求：河的宽度d为多少？
解析：设河水流速为，船速为，船两次运动速度合成如图所示。
依题意有： d=-------①
SBC=---------② ----③
由①②③式联立可解得：；；d=200m.
A
B
C
A
例3（06 天津模拟）如图所示为一条河流，河水流速为v ,一只船从A点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶速度为u,第一次船头向着AB方向行驶，渡河时间为t1,船的位移为s1；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为s2,若AB、AC与河岸的垂线的夹角相等，则有（ ）。
A． B.
C. D.
解析：由题可知，渡河时间由船垂直河岸方向的分运动决定，由AB、AC与河岸的夹角相同可知，两次船垂直河岸的分速度相等，故渡河时间相等，即t1。=t2；另船头沿AB方向时，其合速度方向和船头沿AC方向时，其合速度方向分别如图所示，对比可知。故D正确。