2022版高考数学大一轮复习课时作业13《变化率与导数、导数的计算》(含答案详解)

这是一份2022版高考数学大一轮复习课时作业13《变化率与导数、导数的计算》(含答案详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
给出下列结论：
①若y=lg2x，则y′=eq \f(1,xln2)；
②若y=－eq \f(1,\r(x))，则y′=eq \f(1,2x\r(x))；
③若f(x)=eq \f(1,x2)，则f′(3)=－eq \f(2,27)；
④若y=ax(a>0)，则y′=axlna.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
已知函数f(x)=eq \f(x,ex)(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)=( )
A.eq \f(1＋x,ex) B.eq \f(1－x,ex) C.1＋x D.1－x
若函数f(x)=x3－x＋3的图象在点P处的切线平行于直线y=2x－1，则点P坐标为( )
A.(1,3) B.(－1,3) C.(1,3)或(－1,3) D.(1，－3)
已知直线2x－y＋1=0与曲线y=aex＋x相切(其中e为自然对数底数)，则实数a值是( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.2 D.e
曲线y=2lnx上的点到直线2x－y＋3=0的最短距离为( )
A.eq \r(5) B.2eq \r(5) C.3eq \r(5) D.2
过点(－1,1)与曲线f(x)=x3－x2－2x＋1相切的直线有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
已知函数f(x)=ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，
则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,eq \f(1,e)) B.(eq \f(1,e),+∞) C.(eq \f(1,e),e) D.(e，＋∞)
给出定义：设f′(x)是函数y=f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，
若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.
已知函数f(x)=3x＋4sinx－csx的拐点是M(x0，f(x0))，则点M( )
A.在直线y=－3x上 B.在直线y=3x上
C.在直线y=－4x上 D.在直线y=4x上
已知函数f(x)=e2x－2ex＋ax－1，曲线y=f(x)上存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为( )
A.(3，＋∞) B.(3,3.5) C.(-∞,3.5) D.(0,3)
若曲线C1：y=x2与曲线C2：y=eq \f(ex,a)(a>0)存在公共切线，则a的取值范围为( )
A.(0,1) B.(1,eq \f(e2,4)) C.[eq \f(e2,4),2] D.[eq \f(e2,4),+∞)
二、填空题
曲线y=(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a= .
已知函数f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=(2x－1)lnx，则曲线y=f(x)在点(－1，f(－1))处切线的斜率为 .
若函数y=2x3＋1与y=3x2－b的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b= .
三、解答题
已知函数f(x)=x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程.
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.
已知函数f(x)=eq \f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围；
(2)若曲线C存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.
已知函数f(x)=x2－lnx.
(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)在函数f(x)=x2－lnx的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[0.5,1]上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由.
\s 0 答案详解
答案为：D.
答案为：B.
解析：函数f(x)=eq \f(x,ex)，则其导函数f′(x)=eq \f(ex－xex,e2x)=eq \f(1－x,ex)，故选B.
答案为：C.
解析：f′(x)=3x2－1，令f′(x)=2，即3x2－1=2⇒x=1或－1，
又f(1)=3，f(－1)=3，所以P(1,3)或(－1,3)，
经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y=2x－1上，
故点P的坐标为(1,3)或(－1,3).
答案为：B.
解析：由题意知y′=aex＋1=2，则a>0，x=－lna，代入曲线方程得y=1－lna，
所以切线方程为y－(1－lna)=2(x＋lna)，即y=2x＋lna＋1=2x＋1⇒a=1.
答案为：A.
解析：设与直线2x－y＋3=0平行且与曲线y=2lnx相切的直线方程为2x－y＋m=0.
设切点为P(x0，y0)，∵y′=eq \f(2,x)，∴斜率k=eq \f(2,x0)=2，解得x0=1，因此y0=2ln1=0，
∴切点为P(1,0)，则点P到直线2x－y＋3=0的距离d=eq \f(|2－0＋3|,\r(22＋－12))=eq \r(5)，
∴曲线y=2lnx上的点到直线2x－y＋3=0的最短距离是eq \r(5).
答案为：C.
解析：设切点P(a，a3－a2－2a＋1)，由f′(x)=3x2－2x－2，
当a≠－1时，可得切线的斜率k=3a2－2a－2=eq \f(a3－a2－2a＋1－1,a－－1)，
所以(3a2－2a－2)(a＋1)=a3－a2－2a，即(3a2－2a－2)(a＋1)=a(a－2)(a＋1)，
所以a=1，此时k=－1.又(－1,1)是曲线上的点且f′(－1)=3≠－1，故切线有2条.
答案为：B.
解析：由题意知，方程f′(x)=－eq \f(1,e)有解，即ex－m=－eq \f(1,e)有解，即ex=m－eq \f(1,e)有解，
故只要m－eq \f(1,e)>0，即m>eq \f(1,e)即可，故选B.
答案为：D.
解析：f′(x)=3＋4csx＋sinx，f″(x)=－4sinx＋csx，结合题意知4sinx0－csx0=0，
所以f(x0)=3x0，故M(x0，f(x0))在直线y=3x上.故选B.
答案为：B.
解析：f(x)=e2x－2ex＋ax－1的导函数为f′(x)=2e2x－2ex＋a，
由题意可得2e2x－2ex＋a=3的解有两个，即有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex－\f(1,2)))2=eq \f(7－2a,4)，
即为ex=eq \f(1,2)＋eq \f(\r(7－2a),2)或ex=eq \f(1,2)－eq \f(\r(7－2a),2)，即有7－2a>0且7－2a<1，解得3 答案为：D.
解析：曲线y=x2在点(m，m2)的切线斜率为2m，
曲线y=eq \f(ex,a)(a>0)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，\f(1,a)en))的切线斜率为eq \f(1,a)en，如果两条曲线存在公共切线，
那么2m=eq \f(1,a)en.又由直线的斜率公式得到2m=eq \f(m2－\f(1,a)en,m－n)，则有m=2n－2，
则由题意知4n－4=eq \f(1,a)en有解，即y=4x－4，y=eq \f(1,a)ex的图象有交点.
若直线y=4x－4与曲线y=eq \f(1,a)ex相切，设切点为(s，t)，则eq \f(1,a)es=4，且t=4s－4=eq \f(1,a)es，
可得切点为(2,4)，此时eq \f(1,a)=eq \f(4,e2)，故要使满足题意，需eq \f(1,a)≤eq \f(4,e2)，则a≥eq \f(e2,4)，
故a的取值范围是a≥eq \f(e2,4).故选D.
答案为：-3.
解析：y′=(ax＋1＋a)ex，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为－2，
得y′|x=0=(ax＋1＋a)ex|x=0=1＋a=－2，所以a=－3.
答案为：-1.
解析：当x>0时，f′(x)=2lnx＋eq \f(2x－1,x)，则f′(1)=1，
∵函数f(x)是偶函数，∴f′(－1)=－1.
答案为：0或-1.
解析：设公共切点的横坐标为x0，函数y=2x3＋1的导函数为y′=6x2，
y=3x2－b的导函数为y′=6x.由图象在一个公共点处的切线相同，
可得6xeq \\al(2,0)=6x0且1＋2xeq \\al(3,0)=3xeq \\al(2,0)－b，解得x0=0，b=－1或x0=1，b=0.故实数b=0或－1.
解：(1)因为f′(x)=3x2－8x＋5，
所以f′(2)=1，
又f(2)=－2，
所以曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2=x－2，
即x－y－4=0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，xeq \\al(3,0)－4xeq \\al(2,0)＋5x0－4)，
因为f′(x0)=3xeq \\al(2,0)－8x0＋5，
所以切线方程为y－(－2)=(3xeq \\al(2,0)－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点P(x0，xeq \\al(3,0)－4xeq \\al(2,0)＋5x0－4)，
所以xeq \\al(3,0)－4xeq \\al(2,0)＋5x0－2=(3xeq \\al(2,0)－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)=0，解得x0=2或1，
所以经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4=0或y＋2=0.
解：(1)由题意得f′(x)=x2－4x＋3=(x－2)2－1≥－1，
即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞).
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≥－1，,－\f(1,k)≥－1，))解得－1≤k<0或k≥1，
故由－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－eq \r(2)]∪(1,3)∪[2＋eq \r(2)，＋∞).
解：(1)由题意可得f(1)=1，且f′(x)=2x－eq \f(1,x)，f′(1)=2－1=1，
则所求切线方程为y－1=1×(x－1)，即y=x.
(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1，x2∈[0.5,1]，不妨设x1结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得(2x1－eq \f(1,x1))(2x2－eq \f(1,x2))=－1，
又函数f′(x)=2x－eq \f(1,x)在区间[0.5,1]上单调递增，函数的值域为[－1，1]，
故－1≤2x1－eq \f(1,x1)<2x2－eq \f(1,x2)≤1，
据此有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x1－\f(1,x1)＝－1，,2x2－\f(1,x2)＝1，))解得x1=eq \f(1,2)，x2=1(x1=－1，x2=－eq \f(1,2))舍去，
故存在两点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，ln2＋\f(1,4)))，(1,1)满足题意.