福建省2021年中考数学试卷

这是一份福建省2021年中考数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在实数，，0，中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．
2．如图所示的六角螺栓，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：
如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，点F在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．若反比例函数的图象过点，则k的值等于_________．
12．写出一个无理数x，使得，则x可以是_________（只要写出一个满足条件的x即可）
13．某校共有1000名学生．为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图．根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是_________．
14．如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________．
15．已知非零实数x，y满足，则的值等于_________．
16．如图，在矩形中，，点E，F分别是边上的动点，点E不与A，B重合，且，G是五边形内满足且的点．现给出以下结论：
①与一定互补；
②点G到边的距离一定相等；
③点G到边的距离可能相等；
④点G到边的距离的最大值为．
其中正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．如图，在中，D是边上的点，，垂足分别为E，F，且．求证：．
19．解不等式组：
20．某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．
（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？
21．如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上．
（1）求证：；
（2）求证：．
22．如图，已知线段，垂足为a．
（1）求作四边形，使得点B，D分别在射线上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形的边的中点，求证：直线相交于同一点．
23．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
24．如图，在正方形中，E，F为边上的两个三等分点，点A关于的对称点为，的延长线交于点G．
（1）求证：；
（2）求的大小；
（3）求证：．
25．已知抛物线与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点，求的最小值；
（2）已知点中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证：与的面积相等．
数学试题参考答案
一、选择题：本题考查基础知识与基本技能．每小题4分，满分40分．
1．A 2．A 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．C 9．D 10．C
二、填空题：本题考查基础知识与基本技能．每小题4分，满分24分．
11．1 12．答案不唯一（如等） 13．270 14．
三、解答题：本题共9小题，共86分．
17．本小题考查二次根式的化简、绝对值的意义、有理数负指数幂等基础知识，考查运算能力．满分8分．
解：原式
．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
18．本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观．满分8分．
证明：∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
19．本小题考查一元一次不等式组的解法等基础知识，考查运算能力．满分8分．
解：解不等式①，得．
解不等式②，得．
所以原不等式组的解集是．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
20．本小题考查列方程（组）解应用题、二元一次方程组的解法、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想．满分8分．
解：（1）设该公司当月零售农产品x箱，批发农产品y箱．
依题意，得
解得
所以该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱．
（2）设该公司零售农产品m箱，获得总利润w元．
则批发农产品的数量为箱，
依题意，得．
因为，所以w随着m的增大而增大，
所以时，取得最大值49000元，
此时．
所以该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
21．本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，考查推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想．满分8分．
证明：（1）在等腰直角三角形中，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）连接．
由平移的性质得．
∴，
∴，
∴．
∴是等腰直角三角形，
∴．
由（1）得，
∴，
∴，∴．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
22．本小题考查尺规作图、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想．满分10分．
解：（1）
四边形是所求作的四边形．
（2）设直线与相交于点S，
∵，∴，
∴．
设直线与相交于点，
同理．
∵P，Q分别为的中点，
∴，
∴，∴，
即，∴，
∴，故点S与重合，即三条直线相交于同一点．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
23．本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想．满分10分．
解：（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．
此时，比赛的所有可能对阵为：，，，，共四种．
其中田忌获胜的对阵有（，，共两种，
故此时田忌获胜的概率为．
（2）不是．
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是．
综上所述，田忌获胜的所有对阵是，，，，，．
齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是，，，，，，共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，所以，此时田忌获胜的概率．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
24．本小题考查正方形的性质、轴对称的性质、多边形内角与外角的关系、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、圆的基本概念与性质、解直角三角形等基础知识，考查推理能力、运算能力，考查空间观念与几何直观，考查化归与转化思想．满分12分．
解：（1）设直线与相交于点T，
∵点A与关于对称，
∴垂直平分，即．
∵E，F为边上的两个三等分点，
∴，
∴是的中位线，
∴，即．
（2）连接，∵四边形是正方形，
∴，
∵，∴，
∴，∴．
∴，
∴，又，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，∴，
∴．
取的中点O，连接，
在和中，
，
∴，
∴点'，F，B，G都在以为直径的上，
∴．
（3）设，则．
由（2）得，
∴，即，∴．
设，则，在中，由勾股定理，得，
∴．
在中，由勾股定理，得．
又，∴，
∴．
∵，∴，∴．
由（2）知，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
25．本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想及化归与转化思想．满分14分．
解：因为抛物线与x轴只有一个公共点，
以方程有两个相等的实数根，
所以，即．
（1）因为抛物线过点，所以，
所以，即．
所以，
当时，取到最小值．
（2）①因为抛物线与x轴只有一个公共点，
所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧．
又点中恰有两点在抛物线的图象上，
所以只能是在抛物线的图象上，
由对称性可得抛物线的对称轴为，所以，
即，因为，所以．
又点在抛物线的图象上，所以，
故抛物线的解析式为．
②由题意设，则．
记直线为m，分别过M，N作，垂足分别为E，F，
即，
因为，所以．
又，所以，所以．
所以，所以，即．
所以，
即．①
把代入，得，
解得，
所以．②
将②代入①，得，
即，解得，即．
所以过点A且与x轴垂直的直线为，
将代入，得，即，
将代入，得，
即，
所以，因此，
所以与的面积相等．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
项目
作品
甲
乙
丙
丁
创新性
90
95
90
90
实用性
90
90
95
85