类型1题型1数式规律-2022年中考数学二轮复习重难题型突破试卷（教师版+学生版）

类型一数式规律

1．探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=_________，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（　　）

A．363        B．153      C．159      D．456

【答案】B；

【解析】把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153．故选B．

【点评】此题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求的黑洞数．可以任意找一个3的倍数，如6．第一次立方后得到216；第二次得到225；…；第十次得到153；开始重复，则可知T=153．

2．(1)有一列数，…，那么依此规律，第7个数是______；

（2）已知

依据上述规律，则        ．

【答案】(1) ； （2）.

【解析】(1) 符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第几个数就是几，即第7个数分子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第7个数是.

（2）

【点评】(1) 规律：（n为正整数）；

（2）规律：（n为正整数）.

3．（1）先找规律，再填数：

（2）对实数a、b，定义运算★如下：a★b=，

例如2★3=2-3=.计算[2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]=         .

【答案】（1）；（2）1；

【解析】（1）规律为：（n为正整数）.

（2） [2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]=2-4×（-4）2=1.

4.a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则           ．

【答案】因为，

……..三个一循环，因此

5．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算8×9和6×7的两个示例．
 

（1）用法国“小九九”计算7×8，左、右手依次伸出手指的个数是多少？
（2）设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算a×b的正确性？

【答案】2，3

【解析】

（1）按照题中示例可知：要计算7×8，左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指；
    （2）按照题中示例可知：要计算a×b，左手应伸出（a-5）个手指，未伸出的手指数为5-（a-5）=10-a；右手应伸出（b-5）个手指，未伸出的手指数为5-（b-5）=10-b
两手伸出的手指数的和为（a-5）+（b-5）=a+b-10，
未伸出的手指数的积为（10-a）×（10-b）=100-10a-10b+a×b
根据题中的规则，a×b的结果为10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）
而10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）=10a+10b-100+100-10a-10b+a×b=a×b
所以用题中给出的规则计算a×b是正确的．

6．将正偶数按下表排列：

           第1列  第2列  第3列  第4列

    第1行    2

    第2行    4      6

    第3行    8     10      12

    第4行   14     16      18     20

    ……

根据上面的规律，则2006所在行、列分别是________．

【答案】第45行第13列

【解析】观察数列2，4，6，8，10，...每个比前一个增大2，2006是这列数字第1003个.

每行数字的个数按照1，2，3，4，5，...，n 递增，根据等差数列求和公式，第n行（包括n行）以前的所有数字的个数.

如果2006在第n行，那么

设,解得n约为44.5，n取整数，因此n=45。

到第44行（含44行）共有数字（44+1）×=990个；

到第45行（含45行）共有数字（45+1）×=1035个；

2006是第1003个，在45行13列.

7．在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图（1）所示的几何图形．

（1）请你利用这个几何图形求的值为_______．

（2）请你利用图（2）再设计一个能求的值的几何图形．

【答案】

（1）

(2)

8.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；

（2）推算出OA10的长；

（3）求出S12+ S22+ S32+…+ S102的值.

【答案】

（1）由题意可知，图形满足勾股定理，

（2）因为OA1=，OA2=，OA3=…，

所以OA10=

（3）S12+ S22+ S32+…+ S102

=

=

=.

9.根据以下10个乘积，回答问题：
　　11×29；　 12×28；　 13×27；　 14×26；　 15×25；
　　16×24；　 17×23；　 18×22；　 19×21；　 20×20.
　　(1)试将以上各乘积分别写成一个“□2-○2”(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；
　　(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
　　(3)试由(1)、(2)猜想一个一般性的结论.(不要求证明)
   【答案】
　　(1)11×29=202-92；12×28=202-82；
　　　 13×27=202-72；14×26=202-62；
　　　 15×25=202-52；16×24=202-42；
　　　 17×23=202-32；18×22=202-22；
　　 　19×21=202-12；20×20=202-02；
　　例如：11×29；假设11×29=□2-○2；
　　　 　 因为□2-○2=(□+○)(□-○)
　　 　 　所以，可以令□-○=11，□+○=29
　　 　 　解得，□=20，○=9，故11×29=202-92
　　 　 　(或11×29=(20-9)(20+9)=202-92)
　　(2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：
　　　 11×29<12×28<13×27<14×26<15×25<16×24<17×23<18×22<19×21<20×20.
　　(3)①若a+b=40,a,b是自然数，则ab≤202=400.
　　   ②若a+b=40，则ab≤202=400.
　　   ③若a+b=m，a，b是自然数，则
　　   ④若a+b=m，则
　　   ⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=40，且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|，
　　　   则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn.
　　   ⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=m，且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|，
　　  　 则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn.
     10、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_________．

【答案】：50

【解析】：仔细观察这一数列中的各个数字的构成特点，不难发现如下；

第一个数是1，第二个数数1+1，第三个数是1+1+3，第四个数是1+1+3+5，第五个数是1+1+3+5+7，第六个数是1+1+3+5+7+9，     

为了使规律凸显的明显，我们不妨把第一个数1也写成两个数的和的形式，为1+0，

这样，就发现数字1是固定不变的，规律就蕴藏在新数列0，1，4，9，16      中，而0，1，4，9，16     这些数都是完全平方数，并且底数恰好等于这个数字对应的序号与1的差，即1=1+（1-1）2，2=1+（2-1）2，5=1+（3-1）2，10=1+（4-1）2，17=1+（5-1）2，

26=1+（5-1）2，这样，第n个数为1+（n-1）2，找到数列变化的一般规律后，就很容易求得任何一个序号的数字了。因此，第八个数就是当n=8时，代数式1+（n-1）2的值，此时，代数式1+（n-1）2的值为1+（8-1）2=50。所以，本空填50。

11.古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为_________.

【答案】：199

【解析】：本题中数列的数字，不容易发现其变化的规律。我们不妨利用函数的思想去试一试。

当序号为1时，对应的值是1，有序号和对应的数值构成的点设为A，

则A（1，1）；

当序号为2时，对应的值是3，有序号和对应的数值构成的点设为B，

则B（2，3）；

当序号为3时，对应的值是6，有序号和对应的数值构成的点设为C，

则C（3，6）；

因为，，，所以有：成立，所以，对应的数值y是序号n的二次函数，因此，我们不妨设y=an2+bn+c，

把A（1，1），B（2，3），C（3，6）分别代入y=an2+bn+c中，

得：a+b+c=1，4a+2b+c=3，9a+3b+c=6，解得：a=，b=，c=0，

所以，y= n2+n，因此，当n=100时，y= ×1002+×100，

当n=98时，y= ×982+×98，因此（×1002+×100）-（×982+×98）=199，所以该空应该填199。

12、为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比

赛．如图所示：

按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（    ）

　A．        B．      C．          D．

【答案】：A

【解析】：

第一个图需要火柴的根数是8，有序号和对应的数值构成的点设为A，则A（1，8）；

第二个图需要火柴的根数是14，有序号和对应的数值构成的点设为B，则B（2，14）；

第三个图需要火柴的根数是20，有序号和对应的数值构成的点设为C，则C（3，20）；

因为，，，所以有：成立，所以，每个图形中所需要的火柴的总根数y是这个图形的序号n的一次函数，因此，我们不妨设y=kn+b，

把A（1，8），B（2，14）分别代入y=kn+b中得：k+b=8，2k+b=14，解得：k=6，b=2，

所以，y=6n+2。因此选A。

13、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为_______________。

【答案】：50

【解析】：

仔细观察第一个图，正方形的个数为1，第二个图形中正方形的特点是中间是3个，左右两边各一个，即为1+3+1个，第三个图形中正方形的特点是中间是5个，左右分别是1+3个，即为1+3+5+3+1，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n个图形中正方形的个数为1+3+5+    +（2n-1）+     +5+3+1=2n2-2n+1，这样，第5个图形中正方形的个数，也就是当n=5时，代数式2n2-2n+1的值，所以，代数式的值为：2n2-2n+1=2×52-2×5+1=41个。所以，本空填50。

14、按如下规律摆放三角形：

则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为_____________.

【答案】：14,3n+2

【解析】：

仔细观察第一个图形，三角形排列的特点是中间3=(1+2)个,左右各1个,即图1中三角形的总数为1+(1+2)+1,第二个图形中三角形形的特点是中间是4=(2+2)个，左右两边各2个，即为2+(2+2)+2个，第三个图形中三角形的特点是中间是5=(3+2)个，左右分别是3个，即为3+(3+2)+3，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n个图形中三角形的个数为n+（n+2）+n =3n+2，这样，第4个图形中三角形正方形的个数，也就是当n=4时，代数式3n+2的值，所以，代数式的值为：3n+2=3×4+2=14个。所以，本题的两个空分别填14和3n+2。

15、下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第幅图中共有        个。

【答案】：2n+1

【解析】：

仔细观察第一个图形，有一个菱形，第二个图形中有3个菱形，第三个图形中有5个菱形，………仔细观察这些数的特点，恰好是奇数构成的数列，由此，就清楚了变化的规律了。所以，第n个图形中有2n+1个菱形。

16、试观察下列各式的规律，然后填空：

……

则_______________。

【答案】：

【解析】：要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。

仔细观察式子，不难发现等式左边中的（x-1）是个固定不变的量。左边式子中第二个括号中多项式的次数是不断变化的，且多项式的次数等于对应等式的序号数，即第一个等式中的多项式的次数是1，第二个等式中的多项式的次数为2， 所以，第n个等式中的多项式的次数为n，这是等式左边的变化规律；

等式右边的规律，容易找些，多项式中的常数项是保持不变的，字母x的指数随等式的序号变化而变化，且满足字母x的指数等于等式的序号加1。所以，第10个等式的结果为。

17、观察下列各式：

……依此规律，第n个等式（n为正整数）为          。

【答案】：（10n+5）2=n（n+1）×100+52。

【解析】：要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。

等式左边底数的特点是，个位数字都5，是个不变的量，十位数字与对应的序号一致，分别是1、2、3、4…………；

等式右边的特点是：第一个数字与对应的序号是一致的，括号里的数字的特点是对应的序号与常数1的和；第三个数字又是一个固定的常数100；第四个数字是常数5的平方，也是固定不变的。

通过分析，我们知道在这里对应的序号是问题的根本。而第n个等式的序号为n，所以第n个等式应该是：（10n+5）2=n（n+1）×100+52。

18、观察下列等式：

第一行     3=4－1  

第二行     5=9－4

第三行      7=16－9

第四行      9=25－16

 …     …　按照上述规律，第n行的等式为____________  

【答案】：2n+1=（n+1）2- n2。

【解析】：

等式的左边的特点是：奇数3、5、7、9 …，

这些奇数可以用对应的序号表示，3=2×1+1， 5=2×2+1，7=2×3+1，9=2×4+1，

其中1、2、3、4等恰好是对应的序号，所以，第n 个奇数为2n+1，这样，我们就把等式左边的规律找出来了；

等式右边的特点是：被减数为4、9、16、25、…恰好是22，32，42，52，…等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号+1，这样，我们就又找到了一部分规律，

第n 个被减数为（n+1）2；

减数分别为1、4、9、16…恰好是12，22，32，42，…等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号，这样，我们就又找到了一部分规律，第n 个减数为n2；

所以，本题的变化规律为：2n+1=（n+1）2- n2。

19、观察下列各式：

请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来                 。

【答案】：=(  n+1   )。

【解析】：仔细观察我们发现，等式的左边的特点是：

被开方数中，第一个加数分别是1、2、3、………等的自然数，第二个加数是一个分数，且分子都是1，是固定不变的，这就是一条规律；分母分别是3、4、5、6………，这些数与第一个加数的关系是：分母=第一个加数+2，这是第二规律；

等式的右边的特点是：二次根式的系数分别是2、3、4、5、………，这些数与左边的被开方数中的第一个加数的关系是：二次根式系数=左边的被开方数中的第一个加数+1，这是右边的第一个规律；而被开方数也是一个分数，且分子是1，保持不变，这是一条规律，分数中的分母与左边分数中分母一样。这是第二条规律。这样的话，因为，第n个等式中的第一个加数为n，所以，第n个等式为：=(  n+1   )。

20、已知：21=2，22=4，23=8，24=16、25=32，…………………，

仔细观察，式子的特点，根据你发现的规律，则22008的个位数字是：    

A 2         B 4          C  6       D 8

【答案】：C

【解析】：

仔细观察，不难发现，当幂的指数能被4整除时，这个数的个位数字是6，当被4除，余数是3时，这个数的个位数字为8，当被4除，余数是2时，这个数的个位数字为4，当被4除，余数是1时，这个数的个位数字为2， 所以，问题解决的关键，就是看幂的指数被4除的情形就可了。我们知道2008是能被4整除的，所以，22008的个位数字是6，

所以，选C。

21、把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：

1

2，3，

4，5，6，7，

8，9，10，11，12，13，14，15，

…   …   …   …  

按此规律，可知第n行有         个正整数

【答案】：

【解析】：

仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有4个数字，第四行有8个数字，再用我们前面所用的方法，我们就不容易找到变化的规律了。我们不妨换一种思路。利用幂指数的思想试一试。由于第一个数字是1，联想到任何不是零的数的任何次幂都是1，所以，指数0=序号1-1，又因为第二行有2个数字，第三行有4个数字，第四行有8个数字，这些数字都是偶数，所以底数一定是偶数，是2、或4或6等等，但是，第二个数为2，指数等于2-1=1，所以，底数为2，这样，我们就找到规律，第n行中的数字个数为。

22、将正整数按如图所示的规律排列下去。若用有序实数对（，）表示第排，从左到右第个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是         。

【答案】：23

【解析】：

仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有3个数字，第四行有4个数字，……第n行有n 个数字，这是第一条变化规律；我们再来观察一下，每一行最后的一个数字的特点，不难发现，第二行的最后一个数字3=第一行中的数字个数1+第二行数字个数2，第三行最后的数字6=第一行数字个数1+第二行数字2+第三行数字个数3；因此，第n行的最后一个数字=1+2+3+4+ …………+n=，

所以，第六行最后的数字为：==21，所以，第七行的第一个数字为22，第二个数字位23，因为（7，2）的意义就是第七行第二个数的意思，所以，（7，2）表示的实数是 23。

23.验证: =.

验证：= = = ；

验证: =．验证：== = ．

(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4的变形结果并进行验证；

(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并­给出证明．

【答案】

    (1)4=．

验证:4====

(2)由题设及(1)的验证结果,可猜想对任意自­然数n(n≥2)都有:

n=．

证明：∵n = ==，

∴n=．

24．我们把分子为1的分数叫做单位分数．如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，，，…

（1）根据对上述式子的观察，你会发现，请写出□，○所表示的数；

（2）进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数）＝，请写出△，⊙所表示的式，并加以验证．

【答案】

（1）□表示的数为6，○表示的数为30；（2）△表示的式为，⊙表示的式为．

验证：，所以上述结论成立．