广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用习题课二导数的综合应用课件新人教版选择性必修第二册

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习题课二　导数的综合应用一 导数在不等式中的应用1.不等式的证明问题可以从所证不等式的结构和特点出发,结合已有的知识利用转化与化归思想,构造一个新的函数,再借助导数确定函数的单调性,利用单调性实现问题的转化,从而使不等式得到证明,其一般步骤是:构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论.2.不等式恒成立问题若f(x)≥a或g(x)≤a恒成立,只需满足f(x)min≥a或g(x)max≤a,利用导数方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值,从而问题得解.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是A(1,1),且在点A处的切线互相垂直,所以g(1)=1,且f'(1)·g'(1)=-1,即g(1)=a+1-b=1,g'(1)=-a-1-b=1,解得a=-1,b=-1.解题技巧 利用导数法证明不等式的思路(1)若要证明f(x)>a成立,只需证明f(x)min>a即可.(2)若要证明f(x)>g(x)在区间D上成立,基本方法是构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后根据函数h(x)的单调性证明h(x)min>0.【跟踪训练1】已知函数f(x)= 的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+y+3=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设g(x)=ln x,求证:g(x)≥f(x)在区间[1,+∞)内恒成立.命题角度2.利用“f(x)min与g(x)max的大小关系”证明不等式【典型例题2】已知函数f(x)=xln x-ax.(1)当a=-1时,求函数f(x)在区间(0,+∞)内的最值;(1)解:函数f(x)=xln x-ax的定义域为(0,+∞).当a=-1时,f(x)=xln x+x,f'(x)=ln x+2.解题技巧 1.在不等式的证明中,若无法转化为一个函数的最值问题,则可考虑转化为两个函数的最值问题.2.在证明过程中,等价转化是关键,此处f(x)min≥g(x)max恒成立,从而f(x)>g(x),但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”.【跟踪训练2】已知f(x)=-x3+3x-1,g(x)=xln x+ (a≥1).(1)求f(x)的极值;(2)求证:对任意x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)≤g(x2).(1)解:依题意,得f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),则f(x)在区间(-∞,-1)和区间(1,+∞)内单调递减,在区间(-1,1)内单调递增,所以f(x)极小值=f(-1)=-3,f(x)极大值=f(1)=1.命题角度3.已知不等式恒成立求参数 当00,故φ(x)在区间(0,x0)内单调递增,又φ(0)=0,从而φ(x)在区间(0,x0)内大于零,这与sin x-ax<0恒成立相矛盾.当a≤0时,在区间 内,φ'(x)>0,即函数φ(x)单调递增,又φ(0)=0,所以sin x-ax>0恒成立,这与sin x-ax<0恒成立相矛盾.故实数a的取值范围是a≥1,最小值为1.解题技巧 1.在不等式的证明中,若无法转化为一个函数的最值问题,则可考虑转化为两个函数的最值问题.2.利用导数研究含参数的不等式恒成立问题,若能够分离参数,则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式,通过求函数y=f(x)的最值求得参数的取值范围.【跟踪训练3】已知函数f(x)=xln x(x>0).(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若对任意x∈(0,+∞),f(x)≥ 恒成立,求实数m的最大值.命题角度4.已知不等式能成立求参数的取值范围【典型例题4】已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+aln x(a∈R).(1)若f(x)在区间[1,2]上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)函数g(x)=(1-a)x,若∃x0∈[1,e]使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围.解:(1)f'(x)= ,若导函数f'(x)的零点x=a落在区间(1,2)内,则函数f(x)在区间[1,2]上就不是单调函数,即a∉(1,2),所以实数a的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).解题技巧 1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法a≥f(x)在x∈D上能成立,则a≥f(x)min;a≤f(x)在x∈D上能成立,则a≤f(x)max.2.含全称量词、存在量词的不等式能成立问题(1)若存在x1∈A,对任意x2∈B有f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max;(2)若对任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min.二 导数与函数的零点利用导数研究函数的零点考查的主要形式:(1)求函数的零点、图象交点的个数;(2)根据函数的零点个数求参数的值或取值范围.求解的基本思路是利用导数研究函数在某区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象,结合图象求解.命题角度1.判断零点的个数【典型例题5】已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x∈R|-1≤x≤3}.(1)求函数f(x)的解析式;解:(1)∵f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x∈R|-1≤x≤3},∴可设f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0.∴f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.令g'(x)=0,得x1=1,x2=3.当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表.当03时,g(e5)=e5- -20-2>25-1-22=9>0.又因为g(x)在区间(3,+∞)内单调递增,所以g(x)在区间(3,+∞)内只有1个零点,故g(x)仅有1个零点.解题技巧 利用导数确定函数零点或方程根的个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g'(x)易求,g'(x)=0可解),转化为确定g(x)的零点个数问题,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势),画出g(x)的图象(或草图),数形结合求解函数零点的个数.(2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,再利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号等,进而判断函数在该区间上零点的个数.命题角度2.已知函数零点个数求参数的取值范围【典型例题6】已知函数f(x)=ax+xln x在x=1处取得极值.(1)求f(x)的单调区间;(2)若y=f(x)-m-1在定义域内有两个不同的零点,求实数m的取值范围.解:(1)函数f(x)=ax+xln x的定义域为(0,+∞).f'(x)=a+ln x+1,因为f'(1)=a+1=0,所以a=-1,当a=-1时,f(x)=-x+xln x,f'(x)=ln x.令f'(x)>0,解得x>1;令f'(x)<0,解得0-1,即m>-2,①当0e时,f(x)>0.当x>0且x→0时,f(x)→0;当x→+∞时,f(x)→+∞.画出函数f(x)的草图,如图.由图可知,m+1<0,即m<-1,②由①②可得-20时,f(x)≥2a+aln .解题技巧 1.在(1)中,当a>0时,f'(x)在区间(0,+∞)内单调递增,从而f'(x)在区间(0,+∞)内至多有一个零点,问题的关键是找到b,使f'(b)<0.2.由(1)知,函数f'(x)在区间(0,+∞)内存在唯一零点x0,则f(x0)为函数的最小值,从而把问题转化为证明f(x0)≥2a+aln .(2)证明:由(1)知x1,x2满足ln x-x-m=0,且01,ln x1-x1-m=ln x2-x2-m=0,由题意可知ln x2-x2=m<-22,